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Resposta: C) 9 
 Explicação: A raiz quadrada de 81 é 9, pois \( 9^2 = 81 \). 
 
43. Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (\sin(x) \cos(x)) \)? 
 A) \( \cos^2(x) - \sin^2(x) \) 
 B) \( \sin^2(x) - \cos^2(x) \) 
 C) \( \cos^2(x) + \sin^2(x) \) 
 D) \( \cos(2x) \) 
 
 Resposta: D) \( \cos(2x) \) 
 Explicação: Usando a regra do produto e a identidade \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), temos a 
derivada de \( \sin(x) \cos(x) \) é \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) \). 
 
44. Qual é a fórmula para a soma dos primeiros \( n \) números naturais? 
 A) \( \frac{n(n + 1)}{2} \) 
 B) \( \frac{n^2 + 1}{2} \) 
 C) \( \frac{n(n - 1)}{2} \) 
 D) \( n(n + 1) \) 
 
 Resposta: A) \( \frac{n(n + 1)}{2} \) 
 Explicação: A fórmula para a soma dos primeiros \( n \) números naturais é \( \frac{n(n + 
1)}{2} \). 
 
45. Qual é o valor da soma \( \sum_{n=1}^5 n^2 \)? 
 A) 55 
 B) 50 
 C) 45 
 D) 60 
 
 Resposta: A) 55 
 Explicação: A soma dos quadrados dos primeiros 5 números naturais é \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + 
4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 \). 
 
46. Qual é o valor da integral definida \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx\)? 
 A) \( \frac{1}{2} \) 
 B) \( \frac{11}{12} \) 
 C) \( \frac{5}{6} \) 
 D) \( \frac{7}{12} \) 
 
 Resposta: B) \( \frac{11}{12} \) 
 Explicação: A integral é \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx = \left[\frac{2x^4}{4} + 
\frac{3x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{11}{12} \). 
 
47. Qual é o valor da expressão \( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} \)? 
 A) 1 
 B) 0 
 C) \( \sqrt{2} \) 
 D) 2 
 
 Resposta: A) 1 
 Explicação: A expressão \( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1 \). 
 
48. Qual é o valor de \( \int x e^x \, dx \)? 
 A) \( e^x (x - 1) + C \) 
 B) \( e^x (x + 1) + C \) 
 C) \( e^x x + C \) 
 D) \( e^x \ln(x) + C \) 
 
 Resposta: A) \( e^x (x - 1) + C \) 
 Explicação: Usando a integração por partes, obtemos \( \int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \). 
 
49. Qual é o valor de \( \log_{10}(1000) \)? 
 A) 2 
 B) 3 
 C) 4 
 D) 5 
 
 Resposta: B) 3 
 Explicação: \( \log_{10}(1000) = \log_{10}(10^3) = 3 \). 
 
50. Qual é a soma dos ângulos internos de um quadrado? 
 A) \( 360^\circ \) 
 B) \( 180^\circ \) 
 C) \( 270^\circ \) 
 D) \( 360^\circ \) 
 
 Resposta: A) \( 360^\circ \) 
 Explicação: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero (incluindo um quadrado) é 
\( 360^\circ \). 
Claro! Vamos começar a gerar as questões. Vou criar 100 problemas de cálculo diferencial e 
integral de nível avançado, com suas respectivas respostas e explicações. 
 
1. Qual é a integral definida de \(\int_{0}^{1} x^2 e^{x} \, dx\)? 
 a) \(e - 2\) 
 b) \(e - 1\) 
 c) \(2e - 1\) 
 d) \(e - 1 - 2e\) 
 **Resposta: b) \(e - 1\)** 
 **Explicação:** Utilizando integração por partes, com \(u = x^2\) e \(dv = e^x dx\), temos 
\(du = 2x dx\) e \(v = e^x\). A integral é \([x^2 e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2x e^x \, dx\). Resolva 
a integral restante novamente por partes, e obtemos a resposta \(e - 1\). 
 
2. Calcule o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\). 
 a) 1