trabalho -AS

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b) \( e^{x^2} (2x^2 + 1) \) 
 c) \( 2x e^{x^2} \) 
 d) \( 2x e^{x^2} + e^{x^2} \) 
 **Resposta: d) \( 2x e^{x^2} + e^{x^2} \).** Explicação: Usando a regra do produto, a 
derivada de \( x e^{x^2} \) é \( e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} \). 
 
42. Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 c) \( -\frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
 d) \( \frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
 **Resposta: c) \( -\frac{1}{x \ln(x)} + C \).** Explicação: Usando a substituição \( u = \ln(x) \), 
a integral se transforma em \( -\frac{1}{x \ln(x)} + C \). 
 
43. Qual é a derivada de \( f(x) = \arctan(x^2) \)? 
 a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 b) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) 
 c) \( \frac{2x}{1 + x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \) 
 d) \( \frac{2x}{1 + (x^2)^2} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \).** Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de 
\( \arctan(x^2) \) é \( \frac{2x}{1 + (x^2)^2} \). 
 
44. Qual é a integral de \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \)? 
 a) \( \text{Ei}(x) + C \) 
 b) \( \frac{e^x}{x} + C \) 
 c) \( e^x \ln|x| + C \) 
 d) \( \frac{e^x}{x} + C \) 
 **Resposta: a) \( \text{Ei}(x) + C \).** Explicação: A integral de \( \frac{e^x}{x} \) é expressa 
pela função integral exponencial \( \text{Ei}(x) \). 
 
45. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)? 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{x}{2 \sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \).** Explicação: Usando a regra da cadeia, a 
derivada de \( \sqrt{x^2 + 1} \) é \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
46. Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx \)? 
 a) \( \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C \) 
 b) \( \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C \) 
 **Resposta: c) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C \).** 
Explicação: A 
 
 integral resulta em \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C \). 
 
47. Qual é a derivada de \( f(x) = \arcsin(x) \)? 
 a) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( \frac{1}{1 - x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \).** Explicação: A derivada de \( \arcsin(x) \) é \( 
\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
48. Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx \)? 
 a) \( \ln \left| \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{1} \right| + C \) 
 b) \( \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \) 
 c) \( \ln \left| x - \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \) 
 d) \( -\ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \) 
 **Resposta: b) \( \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \).** Explicação: Usando a 
substituição \( u = x + \sqrt{x^2 - 1} \), a integral é \( \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \). 
 
49. Qual é a derivada de \( f(x) = \arccos(x) \)? 
 a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 c) \( -\frac{1}{1 - x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{1 - x^2} \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \).** Explicação: A derivada de \( \arccos(x) \) é \( -
\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
50. Qual é a integral de \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{e^x (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C \) 
 b) \( \frac{e^x (\sin(x) + \cos(x))}{2} + C \) 
 c) \( e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 d) \( e^x (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{e^x (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C \).** Explicação: Usando integração por 
partes duas vezes, a integral é \( \frac{e^x (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C \). 
Claro, aqui estão 100 questões desafiadoras de matemática em formato de múltipla escolha, 
cobrindo várias áreas do conhecimento matemático. Cada questão é seguida por sua resposta 
e uma breve explicação. Vamos começar! 
 
1. **Álgebra:** Se \( f(x) = 2x^3 - 5x + 7 \), qual é \( f'(x) \) quando \( x = 2 \)? 
 - A) 22 
 - B) 26 
 - C) 28 
 - D) 30 
 - **Resposta:** B) 26 
 - **Explicação:** Derivada \( f'(x) = 6x^2 - 5 \). Para \( x = 2 \), \( f'(2) = 6(2^2) - 5 = 24 - 5 = 19 
\). 
 
2. **Cálculo:** Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)? 
 - A) 1 
 - B) 0 
 - C) -1 
 - D) 2