trabalho -AY

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**Resposta: a) 1** 
 Explicação: Esta é uma série geométrica infinita com razão \(r = \frac{1}{2}\). A soma é 
\(\frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1\). 
 
23. Qual é a fórmula da combinação de \(n\) elementos tomados \(k\) de cada vez? 
 a) \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\) 
 b) \(n! \cdot k! \cdot (n - k)!\) 
 c) \(\frac{n!}{(n - k)!}\) 
 d) \(\frac{n!}{k!}\) 
 
 **Resposta: a) \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\)** 
 Explicação: A fórmula da combinação é \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\). 
 
24. Qual é a fórmula do logaritmo de um produto \(\log_b(xy)\)? 
 a) \(\log_b(x) \cdot \log_b(y)\) 
 b) \(\log_b(x) + \log_b(y)\) 
 c) \(\log_b(x) - \log_b(y)\) 
 d) \(\log_b(x) \div \log_b(y)\) 
 
 **Resposta: b) \(\log_b(x) + \log_b(y)\)** 
 Explicação: A fórmula para o logaritmo de um produto é \(\log_b(xy) = \log_b(x) + 
\log_b(y)\). 
 
25. Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\)? 
 a) \(e - 2\) 
 b) \(1 - e\) 
 c) \(e - 1\) 
 d) \(e\) 
 
 **Resposta: a) \(e - 2\)** 
 Explicação: Usando integração por partes, \(\int x e^x \, dx\) resulta em \(e^x(x - 1) + C\). 
Avaliando de \(0\) a \(1\), temos \((e(1 - 1) - (e^0(0 - 1))) = e - 2\). 
 
26. Qual é o valor da soma dos primeiros 10 termos da progressão aritmética \(2, 5, 8, \ldots\)? 
 a) 155 
 b) 150 
 c) 165 
 d) 160 
 
 **Resposta: b) 150** 
 Explicação: A fórmula da soma dos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética é 
\(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1)d)\). Para \(a = 2\), \(d = 3\), e \(n = 10\), temos \(S_{10} = 
 
 \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 2 + 9 \cdot 3) = 5 \cdot (4 + 27) = 150\). 
 
27. Qual é o valor de \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\)? 
 a) \(\pi\) 
 b) \(2\pi\) 
 c) \(\pi^2\) 
 d) \(\frac{\pi^2}{2}\) 
 
 **Resposta: d) \(\frac{\pi^2}{2}\)** 
 Explicação: Usando integração por partes, \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) 
\big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx = -\pi \cdot (-1) + (\sin(x) \big|_{0}^{\pi}) = \pi + 0 = 
\frac{\pi^2}{2}\). 
 
28. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)? 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) -1 
 
 **Resposta: a) 1** 
 Explicação: Este é um limite fundamental em cálculo e é conhecido por ser igual a \(1\). 
 
29. Qual é a fórmula para o cálculo da raiz quadrada de um número complexo \(z = a + bi\)? 
 a) \(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + i \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\) 
 b) \(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + i \sqrt{\frac{b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\) 
 c) \(\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + i \sqrt{\frac{b + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\) 
 d) \(\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + i \sqrt{\frac{b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\) 
 
 **Resposta: a) \(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + i \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + 
b^2}}{2}}\)** 
 Explicação: A fórmula para a raiz quadrada de um número complexo \(a + bi\) é \(\pm 
\left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + i \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\right)\). 
 
30. Qual é a solução geral da equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0\)? 
 a) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 b) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 c) \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
 d) \(y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\) 
 
 **Resposta: a) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\)** 
 Explicação: A equação diferencial característica é \(r^2 + 4 = 0\), com raízes imaginárias 
\(\pm 2i\), então a solução geral é \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\). 
 
31. Qual é a fórmula do coeficiente de correlação \(r\) para dois conjuntos de dados \(X\) e 
\(Y\)? 
 a) \(\frac{\text{cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\) 
 b) \(\frac{\text{cov}(X, Y)}{N}\) 
 c) \(\frac{\text{var}(X) \text{var}(Y)}{\text{cov}(X, Y)}\) 
 d) \(\frac{\text{mean}(X)}{\text{mean}(Y)}\) 
 
 **Resposta: a) \(\frac{\text{cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)**