calculo 2 BL

Prévia do material em texto

d) \( \frac{2x^2 - x - 1}{x+1} \) 
Resposta: b) \( \frac{3x^2(x+1) - (x^3 - 1)}{(x+1)^2} \). Explicação: Usando a regra do quociente. 
 
32. Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx \). 
a) \( \frac{\pi}{2} \) 
b) \( \frac{\pi}{4} \) 
c) \( \frac{\pi}{3} \) 
d) \( \frac{\pi}{6} \) 
Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + 
\cos(2x)}{2} \) e integrando. 
 
33. Qual é a derivada de \( f(x) = \arcsin(x^2) \)? 
a) \( \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} \) 
b) \( \frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
c) \( \frac{2x}{1 - x^2} \) 
d) \( \frac{1}{2x \sqrt{1 - x^2}} \) 
Resposta: a) \( \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} \). Explicação: Aplicando a regra da cadeia. 
 
34. Qual é a integral indefinida de \( \frac{x}{x^2 + 1} \)? 
a) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
b) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \) 
c) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \) 
d) \( \ln|x| - \frac{1}{x^2} + C \) 
Resposta: a) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \). Explicação: Usando a substituição \( u = x^2 + 1 \), 
então \( du = 2x \, dx \). 
 
35. Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)? 
a) 0 
b) 1 
c) \(\infty\) 
d) Não existe 
Resposta: a) 0. Explicação: A função \( \frac{\ln(x)}{x} \) tende a 0 quando \( x \to \infty \). 
 
36. Qual é a integral indefinida de \( \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \)? 
a) \( \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \) 
b) \( \arccos(x) + C \) 
c) \( \arcsin(x) + C \) 
d) \( \arctan(x) + C \) 
Resposta: a) \( \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \). Explicação: Integral padrão para essa 
forma de função. 
 
37. Encontre a integral definida \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \cos(x) \, dx \). 
a) \( \frac{1}{2} \) 
b) \( 1 \) 
c) \( \frac{\pi}{4} \) 
d) 0 
Resposta: a) \( \frac{1}{2} \). Explicação: Usando a identidade \( \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} 
\sin(2x) \) e integrando. 
 
38. Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \cdot \ln(x) \)? 
a) \( 2x \cdot \ln(x) + x \) 
b) \( 2x \cdot \ln(x) - x \) 
c) \( 2x \cdot \ln(x) + 2x \) 
d) \( x \cdot \ln(x) + 2x \) 
Resposta: a) \( 2x \cdot \ln(x) + x \). Explicação: Usando a regra do produto e a derivada de \( 
\ln(x) \). 
 
39. Determine o valor de \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx \). 
a) 0 
b) 1 
c) \( 1 - \frac{1}{e} \) 
d) \( 1 - e \) 
Resposta: c) \( 1 - \frac{1}{e} \). Explicação: A integral de \( \frac{1}{x^2} \) é \( -\frac{1}{x} \), 
então avaliando entre 1 e \( e \), obtemos \( -\frac{1}{e} - (-1) = 1 - \frac{1}{e} \). 
 
40. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \)? 
a) \( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
b) \( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
c) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
d) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
Resposta: a) \( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \). Explicação: Aplicando a regra da cadeia e a derivada 
de \( \sqrt{u} \), onde \( u = 1 - x^2 \). 
 
41. Qual é a integral de \( \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \)? 
a) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C \) 
b) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{x + 1}{\sqrt{2}} \right) + C \) 
c) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(x) + C \) 
d) \( \arctan \left( x + 1 \right) + C \) 
Resposta: a) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan 
 
 \left( \frac{x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C \). Explicação: Usando a substituição \( x + 1 = \sqrt{3} 
\tan(u) \). 
 
42. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \)? 
a) \( \cot(x) \) 
b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
d) \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) 
Resposta: a) \( \cot(x) \). Explicação: Usando a regra da cadeia para a derivada de \( \ln(\sin(x)) 
\). 
 
43. Qual é a integral indefinida de \( e^{-x} \)? 
a) \( -e^{-x} + C \) 
b) \( e^{-x} + C \) 
c) \( -e^x + C \) 
d) \( e^x + C \)