exercicios e questões BU

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Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
21. Qual é a integral indefinida de \( \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)? 
a) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
b) \( \cos^{-1}(x) + C \) 
c) \( \ln|\sqrt{1 - x^2}| + C \) 
d) \( -\sin^{-1}(x) + C \) 
**Resposta: a) \( \sin^{-1}(x) + C \)** 
Explicação: A integral é \( \sin^{-1}(x) + C \), que é a antiderivada da função dada. 
 
22. Determine o valor de \( \frac{d}{dx} (e^x \sin(x)) \). 
a) \( e^x \sin(x) + e^x \cos(x) \) 
b) \( e^x (\sin(x) + \cos(x)) \) 
c) \( e^x (\sin(x) - \cos(x)) \) 
d) \( e^x \sin(x) \) 
**Resposta: a) \( e^x \sin(x) + e^x \cos(x) \)** 
Explicação: Usando a regra do produto, temos \( e^x \sin(x) + e^x \cos(x) \). 
 
23. Qual é a integral de \( \int x e^{-x} \, dx \)? 
a) \( -x e^{-x} - e^{-x} + C \) 
b) \( -x e^{-x} + e^{-x} + C \) 
c) \( e^{-x} (x - 1) + C \) 
d) \( e^{-x} (x + 1) + C \) 
**Resposta: a) \( -x e^{-x} - e^{-x} + C \)** 
Explicação: Usando a integração por partes, obtemos essa resposta. 
 
24. Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3} \)? 
a) 1 
b) 0 
c) -1 
d) \(\infty\) 
**Resposta: a) 1** 
Explicação: Dividindo numerador e denominador por \( x^2 \), obtemos \( \frac{1 - \frac{2}{x} + 
\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \to 1 \) quando \( x \to \infty \). 
 
25. Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 - x) \, dx \). 
a) 1 
b) 2 
c) \(\frac{5}{12}\) 
d) \(\frac{7}{12}\) 
**Resposta: c) \(\frac{5}{12}\)** 
Explicação: A integral definida é \( \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} 
\right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{12} \). 
 
26. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \)? 
a) \( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
b) \( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
c) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
d) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
**Resposta: a) \( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \)** 
Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
27. Qual é a integral de \( \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} \)? 
a) \( \frac{1}{2} \ln \left| x + 2 - \sqrt{1} \right| + C \) 
b) \( \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x + 2}{\sqrt{1}} \right) + C \) 
c) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{x + 2}{\sqrt{3}} \right) + C \) 
d) \( \frac{1}{2} \ln \left| x^2 + 4x + 5 \right| + C \) 
**Resposta: c) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{x + 2}{\sqrt{3}} \right) + C \)** 
Explicação: Completar o quadrado e usar a substituição apropriada leva a essa resposta. 
 
28. Encontre a derivada de \( f(x) = \sin^2(x) \). 
a) \( 2 \sin(x) \cos(x) \) 
b) \( \sin(x) \cos(x) \) 
c) \( \cos^2(x) \) 
d) \( \sin(x) \) 
**Resposta: a) \( 2 \sin(x) \cos(x) \)** 
Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( 2 \sin(x) \cos(x) \), ou seja, \( \sin(2x) \). 
 
29. Qual é a integral indefinida de \( \int \frac{x \, dx}{x^2 + 1} \)? 
a) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
b) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \) 
c) \( \ln|x| + C \) 
d) \( \frac{1}{2} \ln|x| + C \) 
 
 
**Resposta: b) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \)** 
Explicação: Usando substituição \( u = x^2 + 1 \), a integral é \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \). 
 
30. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
a) \( 2x e^{x^2} \) 
b) \( e^{x^2} \) 
c) \( 2x e^x \) 
d) \( 2 e^{x^2} \) 
**Resposta: a) \( 2x e^{x^2} \)** 
Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( 2x e^{x^2} \). 
 
31. Calcule a integral de \( \int x \sin(x) \, dx \). 
a) \( -x \cos(x) + \sin(x) + C \) 
b) \( x \cos(x) + \sin(x) + C \) 
c) \( -x \cos(x) - \sin(x) + C \) 
d) \( x \cos(x) - \sin(x) + C \) 
**Resposta: a) \( -x \cos(x) + \sin(x) + C \)** 
Explicação: Usando a integração por partes, obtemos essa resposta.