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**Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) + C \). 
 
49. **Qual é o valor de \( \cos(2x) \) usando identidades trigonométricas?** 
 a) \( \cos^2(x) - \sin^2(x) \) 
 b) \( 2 \cos^2(x) - 1 \) 
 c) \( 1 - 2 \sin^2(x) \) 
 d) \( \sin^2(x) - \cos^2(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \cos^2(x) - \sin^2(x) \) 
 **Explicação:** Esta é a identidade para \( \cos(2x) \) usando identidades trigonométricas. 
 
50. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)?** 
 a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( -\frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \). 
Claro! Aqui estão 100 questões de matemática desafiadoras de nível universitário em formato 
de múltipla escolha, cada uma com uma resposta e uma breve explicação. Vou começar a 
geração agora. 
 
1. Qual é o valor de \( \int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx \)? 
 a) \(-\frac{1}{9}\) 
 b) \(-\frac{1}{6}\) 
 c) \(-\frac{1}{12}\) 
 d) \(-\frac{1}{4}\) 
 **Resposta:** b) \(-\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = x^2 dx \), 
calculamos \( \int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx = -\frac{1}{6} \). 
 
2. Qual é o valor de \( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} \)? 
 a) \(\frac{n}{n+1}\) 
 b) \(\frac{n+1}{n}\) 
 c) \(\frac{n}{n+1} - \frac{1}{n+1}\) 
 d) \(\frac{1}{n}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{n}{n+1}\) 
 **Explicação:** Utilizando a decomposição em frações parciais, \(\frac{1}{k(k+1)} = 
\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\). Assim, a soma telescópica resulta em \(\frac{n}{n+1}\). 
 
3. O que é o valor principal de \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx \)? 
 a) \(\pi\) 
 b) \(2\pi\) 
 c) \(1\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta:** a) \(\pi\) 
 **Explicação:** Este é o valor do integral de Dirichlet, conhecido como a integral de 
\(\text{sinc}\) que resulta em \(\pi\). 
 
4. Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \)? 
 a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 c) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 d) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 **Resposta:** a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 **Explicação:** A equação diferencial homogênea com coeficientes constantes tem a 
solução geral \( y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x) \), onde \(\omega = 2\). 
 
5. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) -1 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A função \(\frac{\ln(x)}{x}\) cresce mais devagar do que \(x\), então o limite é 
0. 
 
6. O que é o valor de \( \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)? 
 a) -2 
 b) 2 
 c) -10 
 d) 10 
 **Resposta:** c) -10 
 **Explicação:** O determinante de uma matriz \(2 \times 2\) é calculado como \( ad - bc \), 
então \(\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -10\). 
 
7. Qual é o resultado de \( \frac{d}{dx} \left( e^{x^2} \right) \)? 
 a) \(2x e^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(x e^{x^2}\) 
 d) \(2x^2 e^{x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(2x e^{x^2}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia para derivadas, a derivada de \( e^{x^2} \) é \( 2x 
e^{x^2} \). 
 
8. Qual é o valor de \( \cos(\pi) \)? 
 a) 0 
 b) -1 
 c) 1 
 d) \(\pi\) 
 **Resposta:** b) -1 
 **Explicação:** \(\cos(\pi)\) é conhecido por ser -1. 
 
9. Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono? 
 a) 720° 
 b) 540°