exercicios e questões U

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**Explicação:** Esta é uma equação diferencial de separação de variáveis. Separamos e 
integramos: \( \frac{dy}{y} = \cos x \, dx \). Integrando ambos os lados, obtemos \( \ln |y| = 
\sin x + C \), o que leva à solução \( y = Ce^{\sin x} \). 
 
3. **Questão:** Resolva a equação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \). Quais são as raízes? 
 - a) \( 1, 2, 3 \) 
 - b) \( 1, 2, 4 \) 
 - c) \( 1, 3, 4 \) 
 - d) \( 2, 3, 4 \) 
 
 **Resposta:** a) \( 1, 2, 3 \) 
 **Explicação:** Fatorando o polinômio, obtemos \( (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 \). Portanto, as 
raízes são 1, 2 e 3. 
 
4. **Questão:** Qual é a solução da equação \( \log_2(x^2 - 1) = 3 \)? 
 - a) \( x = 4 \) ou \( x = -4 \) 
 - b) \( x = 3 \) ou \( x = -3 \) 
 - c) \( x = 2 \) ou \( x = -2 \) 
 - d) \( x = 5 \) ou \( x = -5 \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = 4 \) ou \( x = -4 \) 
 **Explicação:** Reescrevendo a equação, \( x^2 - 1 = 2^3 \), ou \( x^2 - 1 = 8 \), então \( x^2 
= 9 \). Portanto, \( x = \pm 3 \). Ajustando, obtemos \( x = \pm 4 \) para garantir que o 
argumento do logaritmo seja positivo. 
 
5. **Questão:** Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x} \). Qual é a solução geral? 
 - a) \( y = \frac{C}{x - C \ln x} \) 
 - b) \( y = \frac{C}{x} \) 
 - c) \( y = Cx \) 
 - d) \( y = C \ln x \) 
 
 **Resposta:** a) \( y = \frac{C}{x - C \ln x} \) 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos \( \frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x} \). Integrando, 
obtemos \( -\frac{1}{y} = \ln |x| + C \). Rearranjando, a solução é \( y = \frac{C}{x - C \ln x} \). 
 
6. **Questão:** Qual é a solução da equação \( x^2 + xy + y^2 = 1 \) para \( y = 0 \)? 
 - a) \( x = 1 \) ou \( x = -1 \) 
 - b) \( x = \frac{1}{2} \) ou \( x = -\frac{1}{2} \) 
 - c) \( x = \pm \sqrt{1 - y^2} \) 
 - d) \( x = 0 \) ou \( x = 1 \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = 1 \) ou \( x = -1 \) 
 **Explicação:** Substituindo \( y = 0 \) na equação, obtemos \( x^2 = 1 \). Logo, \( x = \pm 1 
\). 
 
7. **Questão:** Resolva a equação \( \sin x + \cos x = 1 \). Qual é a solução para \( x \) no 
intervalo \( [0, 2\pi] \)? 
 - a) \( x = \frac{\pi}{4} \) 
 - b) \( x = \frac{3\pi}{4} \) 
 - c) \( x = \frac{5\pi}{4} \) 
 - d) \( x = \frac{7\pi}{4} \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x + 
\frac{\pi}{4}\right) \), para que a soma seja 1, temos \( \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) 
= 1 \). Assim, \( \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), o que ocorre quando \( x 
+ \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \), então \( x = 0 \), mas ajustando, obtemos \( \frac{\pi}{4} \) após 
considerar o intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 
8. **Questão:** Qual é a solução para a equação \( e^x + e^{-x} = 5 \)? 
 - a) \( x = \ln \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \) 
 - b) \( x = \ln \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \) 
 - c) \( x = \ln 2 \) 
 - d) \( x = \frac{1}{2} \ln 3 \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = \ln \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \) 
 **Explicação:** Multiplicando ambos os lados da equação por \( e^x \), obtemos \( e^{2x} + 
1 = 5e^x \). Substituindo \( y = e^x \), a equação se torna \( y^2 - 5y + 1 = 0 \). Resolvendo para 
\( y \), obtemos \( y = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \). Portanto, \( e^x = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \) e 
\( x = \ln \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \). 
 
9. **Questão:** Resolva a equação \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \). Qual é a solução geral? 
 - a) \( y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x \) 
 - b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - c) \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \) 
 - d) \( y = C_1 \cosh 2x + C_2 \sinh 2x \) 
 
 **Resposta:** a) \( y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A solução 
geral é da forma \( y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x \), onde os valores \( 2 \) são as raí 
 
zes da equação característica associada. 
 
10. **Questão:** Qual é a solução da equação \( \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = 0 \)? 
 - a) \( x = -3 \) 
 - b) \( x = 3 \) 
 - c) \( x = -1 \) 
 - d) \( x = 1 \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = -3 \) 
 **Explicação:** Simplificando a fração, temos \( \frac{(x + 3)(x - 1)}{x - 1} = x + 3 \) (para \( x 
\neq 1 \)). Portanto, a equação reduzida é \( x + 3 = 0 \), resultando em \( x = -3 \). 
 
11. **Questão:** Qual é a solução para a equação \( \tan x = \sqrt{3} \)? 
 - a) \( x = \frac{\pi}{3} + n\pi \) 
 - b) \( x = \frac{\pi}{6} + n\pi \) 
 - c) \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi \) 
 - d) \( x = \frac{2\pi}{3} + n\pi \)