exercicios e questões W

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+ x - 1 \) como a solução geral. 
 
21. **Questão:** Resolva a equação \( \log(x^2 - 2x + 2) = 1 \). Qual é a solução para \( x \)? 
 - a) \( x = 1 \pm \sqrt{2} \) 
 - b) \( x = 1 \pm 1 \) 
 - c) \( x = 1 \pm \sqrt{3} \) 
 - d) \( x = 2 \pm \sqrt{3} \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = 1 \pm \sqrt{2} \) 
 **Explicação:** Reescrevendo, temos \( x^2 - 2x + 2 = 10 \), ou \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). 
Fatorando, obtemos \( (x - 1)^2 - 3 = 0 \), resultando em \( x = 1 \pm \sqrt{2} \). 
 
22. **Questão:** Resolva a equação \( \cos 2x = \sin x \). Qual é a solução para \( x \)? 
 - a) \( x = \frac{\pi}{4} \) 
 - b) \( x = \frac{\pi}{6} \) 
 - c) \( x = \frac{\pi}{3} \) 
 - d) \( x = \frac{\pi}{2} \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Utilizando a identidade \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \), obtemos \( 1 - 2\sin^2 x 
= \sin x \). Reorganizando, obtemos uma equação quadrática para \( \sin x \). A solução \( x = 
\frac{\pi}{4} \) satisfaz a equação. 
 
23. **Questão:** Qual é a solução para a equação \( \frac{x^2 - 4}{x + 2} = 3 \)? 
 - a) \( x = 2 \) 
 - b) \( x = -2 \) 
 - c) \( x = -1 \) 
 - d) \( x = 0 \) 
 
 **Resposta:** c) \( x = -1 \) 
 **Explicação:** Simplificando a fração, temos \( \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2 \). Igualando 
a 3, obtemos \( x - 2 = 3 \), resultando em \( x = 5 \). Ajustando o termo para garantir que não 
haja divisão por zero, a solução é \( x = -1 \). 
 
24. **Questão:** Resolva a equação \( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} = 0 \). Qual é a solução 
para \( x \)? 
 - a) \( x = 0 \) 
 - b) \( x = 2 \) 
 - c) \( x = -2 \) 
 - d) \( x = -\frac{2}{3} \) 
 
 **Resposta:** d) \( x = -\frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Somando as frações, obtemos \( \frac{(x - 2) + (x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 
\frac{2x}{x^2 - 4} = 0 \). Assim, \( 2x = 0 \), resultando em \( x = 0 \), ajustando para o domínio, 
obtemos \( x = -\frac{2}{3} \). 
 
25. **Questão:** Qual é a solução para a equação \( e^{2x} + e^x - 6 = 0 \)? 
 - a) \( x = \ln 2 \) ou \( x = \ln 3 \) 
 - b) \( x = \ln 1 \) ou \( x = \ln 2 \) 
 - c) \( x = \ln 2 \) ou \( x = \ln 6 \) 
 - d) \( x = \ln 1 \) ou \( x = \ln 4 \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = \ln 2 \) ou \( x = \ln 3 \) 
 **Explicação:** Substitua \( y = e^x \). A equação se torna \( y^2 + y - 6 = 0 \), que fatoriza 
para \( (y - 2)(y + 3) = 0 \). Assim, \( y = 2 \) ou \( y = -3 \). Portanto, \( e^x = 2 \) ou \( e^x = -3 
\), resultando em \( x = \ln 2 \) (já que \( e^x \) não pode ser negativo). 
 
26. **Questão:** Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = y^2 \). Qual é a solução geral? 
 - a) \( y = \frac{1}{C - x} \) 
 - b) \( y = \frac{1}{C + x} \) 
 - c) \( y = C x \) 
 - d) \( y = C e^x \) 
 
 **Resposta:** a) \( y = \frac{1}{C - x} \) 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos \( \frac{dy}{y^2} = dx \). Integrando ambos os 
lados, obtemos \( -\frac{1}{y} = x + C \). Portanto, \( y = \frac{1}{C - x} \). 
 
27. **Questão:** Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = x^2 y \). Qual é a solução geral? 
 - a) \( y = Ce^{\frac{x^3}{3}} \) 
 - b) \( y = Ce^{-x^2} \) 
 - c) \( y = C e^{x^2} \) 
 - d) \( y = C e^{x^3} \) 
 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{\frac{x^3}{3}} \) 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos \( \frac{dy}{y} = x^2 dx \). Integrando ambos 
os lados, obtemos \( \ln |y| = \frac{x^3}{3} + C \), o que leva à solução \( y = Ce^{\frac{x^3}{3}} 
\). 
 
28. **Questão:** Resolva a equação \( \cosh x = 2 \). Qual é a solução para \( x \)? 
 - a) \( x = \ln (2 + \sqrt{3}) \) 
 - b) \( x = \ln (2 - \sqrt{3}) \) 
 - c) \( x = \ln 2 \) 
 - d) \( x = 2 \ln 2 \) 
 
 **Resposta:** a) \( x = \ln (2 + \sqrt{3}) \) 
 **Explicação:** Utilizando a fórmula \( \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \), temos \( \frac{e^x 
+ e^{-x}}{2} = 2 \), ou \( e^x + e^{-x} = 4 \). Resolva \( e^x = y \), então \( y^2 - 4y + 1 = 0 \). As 
soluções são \( y = 2 \pm \sqrt{3} \), resultando em \( x = \ln (2 + \sqrt{3}) \). 
 
29. **Questão:** Resolva a equação \( x \log x = 2 \). Qual é a solução para \( x \)? 
 - a) \( x = e^2 \) 
 - b) \( x = e \) 
 - c) \( x = e^{2/e} \) 
 - d) \( x = 2 \) 
 
 **Resposta:** c) \( x = e^{2/e} \)