questões respondidas x

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**Explicação:** Divida a integral em duas partes e use frações parciais. 
 
40. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{e^x \sin(x)}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma forma elementar para esta integral. 
 **Explicação:** A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 
41. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^4} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{3 x^3} - \frac{1}{9 x^3} + C\) 
 **Explicação:** Use a integração por partes. 
 
42. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{2 \sqrt{x^2 + 1}} + C\) 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x \, dx\). 
 
43. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} \sqrt{x^4 + 1} + C\) 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). 
 
44. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{e^{-x}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma forma elementar para esta integral. 
 **Explicação:** A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 
45. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 4x + 8}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln \left|\frac{2x + 4 + \sqrt{x^2 + 4x + 8}}{2x + 4 - \sqrt{x^2 + 4x 
+ 8}}\right| + C\) 
 **Explicação:** Complete o quadrado no denominador e use uma substituição 
trigonométrica. 
 
46. **Problema:** Encontre a integral \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x^2 \ln(x^2 + 1)}{2} - \frac{x^2}{4} + C\) 
 **Explicação:** Use a integração por partes. 
 
47. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{e^x + 1} + C\) 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = e^x + 1\), então \(du = e^x \, dx\). 
 
48. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\) 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 - 1\), então \(du = 2x \, dx\). 
 
49. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma forma elementar para esta integral; é representada pela 
função integral \(\text{Si}(x)\). 
 **Explicação:** A integral é conhecida como a função integral seno. 
 
50. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x \ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \ln(x) - \frac{1}{2} 
\text{Li}_2\left(\frac{1}{1+x^2}\right) + C\) 
 **Explicação:** Use a integração por partes e a identidade de dilogarítmo. 
 
51. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma forma elementar para esta integral. 
 **Explicação:** A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 
52. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\) 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x \, dx\). 
 
53. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{e^{-x}}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma forma elementar para esta integral. 
 **Explicação:** A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 
54. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\)