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1) + 1 \). 
**Explicação:** Usando o fator integrante \( e^{2x} \), a solução é obtida após integração. 
 
### 21. Cálculo: Série de Fourier 
**Problema:** Encontre o termo geral da série de Fourier para \( f(x) = x \) no intervalo \([- \pi, 
\pi]\). 
**Resposta:** \( f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n} \sin(nx) \). 
**Explicação:** A série de Fourier é composta de termos de seno e cosseno com coeficientes 
calculados pela fórmula de Fourier. 
 
### 22. Álgebra Linear: Normalização 
**Problema:** Normalize o vetor \( \mathbf{v} = (3, 4) \). 
**Resposta:** \( \mathbf{v}_{\text{normalizado}} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \). 
**Explicação:** O vetor normalizado é obtido dividindo cada componente pelo comprimento 
do vetor \( \| \mathbf{v} \| \). 
 
### 23. Cálculo: Teorema Fundamental do Cálculo 
**Problema:** Use o teorema fundamental do cálculo para avaliar \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, 
dx \). 
**Resposta:** \( \ln(2) \). 
**Explicação:** O teorema fundamental do cálculo diz que a integral de \( \frac{1}{x} \) é \( 
\ln(x) \), avaliada nos limites dados. 
 
### 24. Equações Diferenciais: Segunda Ordem 
**Problema:** Resolva \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 \). 
**Resposta:** \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \). 
**Explicação:** A equação diferencial é de segunda ordem com solução geral envolvendo 
exponenciais. 
 
### 25. Análise Numérica: Interpolação 
**Problema:** Use o polinômio de Lagrange para interpolar os pontos \( (1, 2) \) e \( (2, 3) \). 
**Resposta:** \( P(x) = \frac{3 - 2}{2 - 1} (x - 1) + 2 = x + 1 \). 
**Explicação:** O polinômio de Lagrange é construído usando a fórmula para interpolação 
entre pontos dados. 
 
### 26. Cálculo: Integral Imprópria 
**Problema:** Determine a convergência da integral \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \). 
**Resposta:** Converge para 1. 
**Explicação:** A integral imprópria converge se o limite quando \( b \to \infty \) é finito. 
 
### 27. Álgebra Linear: Autovetores 
**Problema:** Encontre os autovetores correspondentes aos autovalores \( 5 \) e \( 2 \) da 
matriz \( A \). 
**Resposta:** Autovetor para \( \lambda = 5 \) é \( (1, 2) \) e para \( \lambda = 2 \) é \( (-1, 1) 
\). 
**Explicação:** Encontrar autovetores envolve resolver \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \). 
 
### 28. Cálculo: Aplicações da Derivada 
**Problema:** Determine os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). 
**Resposta:** Pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 3 \). 
**Explicação:** Pontos críticos são encontrados resolvendo \( f'(x) = 0 \). 
 
### 29. Equações Diferenciais: Método de Euler 
**Problema:** Use o método de Euler para aproximar \( y(0.1) \) com \( y'(x) = y \) e \( y(0) = 1 
\) com passo \( h = 0.1 \). 
**Resposta:** Aproximação é \( y(0.1) \approx 1.1 \). 
**Explicação:** Método de Euler usa \( y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \) para encontrar a 
solução aproximada. 
 
### 30. Cálculo: Integral em Várias Variáveis 
**Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy \, dx \, dy \). 
**Resposta:** \( \frac{1}{4} \). 
**Explicação:** Integra-se primeiro com relação a \( x \) e depois a \( y \). 
 
### 31. Álgebra Linear: Inversa de Matrizes 
**Problema:** Encontre a inversa da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \).