matematica avançada XI

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c) \( 3x^2 - 6x + 9 \) 
d) \( 3x^2 - 6x + 4 \) 
 
**Resposta:** a) \( 3x^2 - 12x + 9 \) 
**Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é calculada utilizando a regra do poder. Para \( x^3 \), a 
derivada é \( 3x^2 \). Para \( -6x^2 \), a derivada é \( -12x \). Para \( 9x \), a derivada é \( 9 \). 
Assim, a derivada total é \( 3x^2 - 12x + 9 \). 
 
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**2. Análise Numérica:** 
 
Qual é o método mais apropriado para resolver uma equação não linear de forma iterativa? 
 
a) Método de Newton-Raphson 
b) Método da Bisseção 
c) Método de Euler 
d) Método de Gauss-Seidel 
 
**Resposta:** a) Método de Newton-Raphson 
**Explicação:** O método de Newton-Raphson é amplamente utilizado para encontrar raízes 
de equações não lineares através de uma abordagem iterativa que utiliza a derivada da função. 
 
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**3. Cálculo:** 
 
Qual é a integral indefinida de \( \int (4x^3 - 2x) \, dx \)? 
 
a) \( x^4 - x^2 + C \) 
b) \( x^4 - x^2 + C \) 
c) \( x^4 - x^2 + C \) 
d) \( x^4 - x^2 + C \) 
 
**Resposta:** a) \( x^4 - x^2 + C \) 
**Explicação:** Integrando termo a termo: \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \) e \( \int -2x \, dx = -x^2 \). 
Portanto, a integral é \( x^4 - x^2 + C \). 
 
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**4. Análise Numérica:** 
 
Qual método é utilizado para resolver sistemas lineares esparsos? 
 
a) Método de Eliminação de Gauss 
b) Método de Jacobi 
c) Método de Runge-Kutta 
d) Método de Newton 
 
**Resposta:** b) Método de Jacobi 
**Explicação:** O método de Jacobi é eficaz para sistemas lineares esparsos e utiliza iterações 
para aproximar a solução. 
 
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**5. Cálculo:** 
 
Qual é o valor da integral definida \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)? 
 
a) 2 
b) 2.5 
c) 3 
d) 3.5 
 
**Resposta:** b) 2.5 
**Explicação:** A integral indefinida é \( x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1^3 + 2 
\cdot 1) - (0^3 + 2 \cdot 0) = 3 - 0 = 3 \). No entanto, a integral definida é \( \int_0^1 (3x^2 + 2) 
\, dx \), o que resulta em \( \frac{3}{3} + 2 = 1 + 2 = 3 \). 
 
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**6. Análise Numérica:** 
 
Qual é a principal vantagem do Método de Runge-Kutta de quarta ordem? 
 
a) Alta precisão 
b) Simplicidade computacional 
c) Menor complexidade algorítmica 
d) Garantia de convergência 
 
**Resposta:** a) Alta precisão 
**Explicação:** O Método de Runge-Kutta de quarta ordem é conhecido por sua alta precisão 
na solução de equações diferenciais ordinárias. 
 
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**7. Cálculo:** 
 
Seja \( f(x) = e^x \). Qual é a integral de \( \int e^x \, dx \)? 
 
a) \( e^x + C \) 
b) \( e^{x+1} + C \) 
c) \( x e^x + C \) 
d) \( e^x \ln(x) + C \) 
 
**Resposta:** a) \( e^x + C \)