teste XX

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31. Qual é a derivada de \( f(x) = \sin^2(x) \)? 
 A) \(2 \sin(x) \cos(x)\) 
 B) \(2 \cos^2(x)\) 
 C) \(\sin(2x)\) 
 D) \(2 \sin(x) \cdot \cos(x)\) 
 **Resposta:** D) \(2 \sin(x) \cos(x)\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\sin^2(x)\) é \(2 \sin(x) \cos(x)\). 
 
32. Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (2x + 1) \, dx \)? 
 A) \(\frac{5}{2}\) 
 B) \(1\) 
 C) \(\frac{3}{2}\) 
 D) \(2\) 
 **Resposta:** C) \(\frac{3}{2}\) 
 **Explicação:** \(\int_0^1 (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2\). 
 
33. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \)? 
 A) \(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 B) \(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 C) \(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 D) \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 **Resposta:** A) \(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx} \left( (1 - x^2)^{1/2} \right) = -
\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\). 
 
34. Qual é o valor da integral \( \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx \)? 
 A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 B) \(\frac{1}{2}\) 
 C) \(1\) 
 D) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** \(\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) \big|_0^1 = \arctan(1) - 
\arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}\). 
 
35. Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 e^x \)? 
 A) \(x^2 e^x + 2x e^x\) 
 B) \(x^2 e^x + e^x\) 
 C) \(x^2 e^x + 2x e^x\) 
 D) \(2x e^x + e^x\) 
 **Resposta:** A) \(x^2 e^x + 2x e^x\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = x^2 e^x + 2x e^x\). 
 
36. Qual é o valor de \( \int x \ln(x) \, dx \)? 
 A) \(x \ln(x) - x + C\) 
 B) \(x \ln(x) + x + C\) 
 C) \(\frac{x^2 \ln(x)}{2} + C\) 
 D) \(x \ln(x) - \frac{x^2}{2} + C\) 
 **Resposta:** D) \(x \ln(x) - \frac{x^2}{2} + C\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, \(\int x \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \frac{x^2}{2} + 
C\). 
 
37. Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)? 
 A) \(\ln|\ln(x)| + C\) 
 B) \(\ln|x| + C\) 
 C) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 D) \(\frac{1}{x} + C\) 
 **Resposta:** A) \(\ln|\ln(x)| + C\) 
 **Explicação:** Usando substituição \( u = \ln(x) \), \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \ln|\ln(x)| 
+ C\). 
 
38. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(x) \cdot \ln(x) \)? 
 A) \(-\cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}\) 
 B) \(\sin(x) \cdot \ln(x) - \cos(x) \cdot \frac{1}{x}\) 
 C) \(\cos(x) \cdot \frac{1}{x} - \sin(x) \cdot \ln(x)\) 
 D) \(-\cos(x) \cdot \frac{1}{x} + \sin(x) \cdot \ln(x)\) 
 **Resposta:** B) \(\sin(x) \cdot \ln(x) - \cos(x) \cdot \frac{1}{x}\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = -\cos(x) \cdot \frac{1}{x} + \sin(x) \cdot 
\ln(x)\). 
 
39. Qual é o valor da integral \( \int_1^e x \ln(x) \, dx \)? 
 A) \(e - 1 - (e - 1)\) 
 B) \(e - 1\) 
 C) \((e - 1) \ln(e) - 1\) 
 D) \(e - 2\) 
 **Resposta:** B) \(e - 1\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, \(\int_1^e x \ln(x) \, dx = \left[ \frac{x^2 
\ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} \right]_1^e = \left( \frac{e^2 \ln(e)}{2} - \frac{e^2}{4} \right) - \left( 
\frac{1 \cdot \ln(1)}{ 
 
2} - \frac{1}{4} \right) = e - 1\). 
 
40. Qual é a derivada de \( f(x) = \arctan(\sqrt{x}) \)? 
 A) \(\frac{1}{2 \sqrt{x} (1 + x)}\) 
 B) \(\frac{1}{2 \sqrt{x} (1 + \sqrt{x}^2)}\) 
 C) \(\frac{1}{2 \sqrt{x} (1 + x)}\) 
 D) \(\frac{1}{2 (1 + x)}\) 
 **Resposta:** B) \(\frac{1}{2 \sqrt{x} (1 + x)}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx} \left( \arctan(\sqrt{x}) \right) = 
\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x} (1 + x)}\). 
 
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1. **Qual é o valor de \(\int_0^1 x e^{-x^2} \, dx\)?** 
 - a) \(\frac{1}{2}(1 - e^{-1})\)