aulas B

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Resposta: \( x = 9 \). 
 Explicação: \( x - 3 = 6 \). Resolva \( x = 9 \). 
Claro! Aqui estão 90 problemas de Cálculo 2, cada um com uma resposta e explicação 
detalhada: 
 
1. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Isso é uma integral padrão que pode ser resolvida usando a substituição \(x 
= \tan(\theta)\). Assim, \(\int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\) é igual a \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} 
\sec^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{2}\). 
 
2. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(e - 3\). 
 **Explicação:** Utilize integração por partes, onde \(u = x^2\) e \(dv = e^x \, dx\). 
Calculando, obtemos a resposta final \(e - 3\). 
 
3. **Problema:** Encontre a integral \(\int_1^2 \frac{x^3 - 1}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{13}{3} - \ln(2)\). 
 **Explicação:** Simplifique a integranda para \(\int_1^2 \left(x - \frac{1}{x^2}\right) \, dx\). 
Após integrar, obtemos \(\frac{13}{3} - \ln(2)\). 
 
4. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\) e integre. 
 
5. **Problema:** Determine a integral \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Essa é a integral que resulta no arco seno, então \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - 
x^2}} \, dx = \sin^{-1}(x) \Big|_0^1 = \frac{\pi}{4}\). 
 
6. **Problema:** Resolva a integral \(\int e^{2x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^{2x}(2\sin(x) - \cos(x))}{5} + C\). 
 **Explicação:** Utilize a integração por partes duas vezes para resolver. 
 
7. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\infty \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \(x = \tan(\theta)\). 
 
8. **Problema:** Determine a integral \(\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\gamma\), onde \(\gamma\) é a constante de Euler-Mascheroni. 
 **Explicação:** Esta é uma forma da integral de Euler. 
 
9. **Problema:** Resolva \(\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação:** Esta é a integral de Riemann zeta \(\zeta(3)\). 
 
10. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\infty \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi \ln(2)}{2}\). 
 **Explicação:** Utilize a técnica de substituição para resolver. 
 
11. **Problema:** Encontre \(\int_0^1 \frac{x \ln(x)}{1 - x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{24}\). 
 **Explicação:** Utilize a expansão em série para resolver a integral. 
 
12. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos(x) \ln(\sin(x)) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\pi \ln(2)\). 
 **Explicação:** Utilize a simetria da função \(\cos(x)\) e propriedades da função 
\(\ln(\sin(x))\). 
 
13. **Problema:** Determine \(\int_0^\pi x \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(2\pi\). 
 **Explicação:** Utilize a integração por partes para resolver. 
 
14. **Problema:** Resolva \(\int_0^1 \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx\).