aulas Z

Prévia do material em texto

6. **Problema:** Encontre a raiz da equação \( x^3 - 2x - 5 = 0 \) usando o método de Newton. 
 **Resposta:** Aproximadamente \( x \approx 2.094 \). 
 **Explicação:** A aplicação do método de Newton com uma aproximação inicial de 2 
converge para a raiz. 
 
7. **Problema:** Determine a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula \( A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) \) onde \( det(A) = -2 \). 
 
8. **Problema:** Calcule a integral \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \). 
 **Explicação:** Integrando termo a termo. 
 
9. **Problema:** Calcule a segunda derivada da função \( f(x) = \sin(x) + \ln(x) \). 
 **Resposta:** \( f''(x) = -\sin(x) + \frac{-1}{x^2} \). 
 **Explicação:** Derivamos duas vezes usando a regra da cadeia e a regra do logaritmo. 
 
10. **Problema:** Resolva a equação \( e^x = 5 \). 
 **Resposta:** \( x = \ln(5) \). 
 **Explicação:** Tomamos o logaritmo natural dos dois lados. 
 
11. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 **Resposta:** \( 2 \). 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital ou a identidade limite \( \lim_{u \to 0} 
\frac{\sin(u)}{u} = 1 \). 
 
12. **Problema:** Calcule a integral \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( 2 \). 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \); avaliamos de 0 a \( \pi \). 
 
13. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} \). 
 **Resposta:** \( 0 \). 
 **Explicação:** A função exponencial cresce mais rapidamente do que um polinômio. 
 
14. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \). 
 **Resposta:** \( y = \frac{1}{C - x} \) (onde \( C \) é uma constante). 
 **Explicação:** Esta é uma equação separável; isolamos \( y \) e integramos. 
 
15. **Problema:** Calcule \( \int_0^1 x^3 \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{4} \). 
 **Explicação:** A integral de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \); avaliamos de 0 a 1. 
 
16. **Problema:** Determine a solução da equação \( x^2 + 2x + 1 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = -1 \) (raiz dupla). 
 **Explicação:** Fatoramos como \( (x + 1)^2 = 0 \). 
 
17. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
18. **Problema:** Determine a integral \( \int e^{-x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( -e^{-x} + C \). 
 **Explicação:** A integral da função exponencial negativa é \( -e^{-x} \). 
 
19. **Problema:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** Usamos a identidade limite \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \). 
 
20. **Problema:** Resolva a equação \( x^4 - 16 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2, -2, 2i, -2i \). 
 **Explicação:** Fatoramos como \( (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \).