contas e numeros 135

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27. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = x^4 e^{-x}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = (4x^3 e^{-x} - x^4 e^{-x})\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto. 
 
28. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4} - x \right)\). 
 **Resposta:** \(2\) 
 **Explicação:** Multiplicando por \(\sqrt{x^2 + 4} + x\) para racionalizar. 
 
29. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(y' = xy\). 
 **Resposta:** \(y(x) = Ce^{\frac{x^2}{2}}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação separável; integrando obtemos a solução. 
 
30. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é a função arcotangente. 
 
31. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^{1} x^2 \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{9}\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, onde \(u = \ln(x)\) e \(dv = x^2 dx\). 
 
32. **Problema:** Encontre a derivada da função \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia. 
 
33. **Problema:** Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) converge ou 
diverge. 
 **Resposta:** Converge (Teste de Leibniz). 
 **Explicação:** A série alternada converge, pois \(a_n\) é decrescente e \(\lim_{n \to \infty} 
a_n = 0\). 
 
34. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\). 
 **Resposta:** \(1\) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental. 
 
35. **Problema:** Encontre a integral \(\int (2x + 1)(3x^2 - x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C\) 
 **Explicação:** Multiplicando os termos e integrando. 
 
36. **Problema:** Resolva a equação \(e^x + x = 0\). 
 **Resposta:** Não tem solução real. 
 **Explicação:** A função \(e^x\) é sempre positiva e \(x\) é negativa, então nunca se 
igualam. 
 
37. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2)^2 \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{20}\) 
 **Explicação:** Expansão do polinômio e integração termo a termo. 
 
38. **Problema:** Determine a integral \(\int x^2 e^{x^3} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^3\). 
 
39. **Problema:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(\sin(x))\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \cot(x)\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia. 
 
40. **Problema:** Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
 **Resposta:** \(2\) 
 **Explicação:** Aplicando a regra do limite fundamental. 
 
41. **Problema:** Determine a integral \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(1\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\), então \([\ln(x)]_1^e = 1\).