analitica 103

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**Resposta:** \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) e \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), onde \(k\) é um 
inteiro. 
 **Explicação:** A solução para \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) são os ângulos \(x = \frac{\pi}{6}\) e 
\(x = \frac{5\pi}{6}\) dentro de um período, e essas soluções se repetem com um período 
\(2\pi\). 
 
31. **Problema:** Qual é a inversa da função \(f(x) = 3x + 2\)? 
 **Resposta:** \(f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}\). 
 **Explicação:** Para encontrar a inversa, resolvemos \(y = 3x + 2\) para \(x\), então \(x = 
\frac{y - 2}{3}\), substituindo \(y\) por \(x\) dá \(f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}\). 
 
32. **Problema:** Qual é a fórmula geral da solução para uma equação quadrática? 
 **Resposta:** \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). 
 **Explicação:** Esta é a fórmula quadrática usada para resolver equações da forma \(ax^2 + 
bx + c = 0\), onde \(a\), \(b\), e \(c\) são constantes. 
 
33. **Problema:** Qual é o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\)? 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando no intervalo [0, \(\pi\)], 
temos \(-\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2\). 
 
34. **Problema:** Qual é a soma dos números primos menores que 10? 
 **Resposta:** 
 
 17. 
 **Explicação:** Os números primos menores que 10 são 2, 3, 5 e 7. A soma é \(2 + 3 + 5 + 7 
= 17\). 
 
35. **Problema:** Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)? 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Isso pode ser demonstrado usando a definição de derivada de \(e^x\) em 
\(x = 0\), que é 1. 
 
36. **Problema:** Qual é o valor de \(2^3 \cdot 3^2\)? 
 **Resposta:** 72. 
 **Explicação:** Calculando, temos \(2^3 = 8\) e \(3^2 = 9\). Multiplicando, \(8 \cdot 9 = 
72\). 
 
37. **Problema:** Resolva a inequação \(3x - 5 < 2x + 1\). 
 **Resposta:** \(x < 6\). 
 **Explicação:** Subtraindo \(2x\) de ambos os lados, obtemos \(x - 5 < 1\). Adicionando 5, 
obtemos \(x < 6\). 
 
38. **Problema:** Qual é a derivada de \(f(x) = \cos(x) \sin(x)\)? 
 **Resposta:** \(f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \(f'(x) = \cos(x) \frac{d}{dx}[\sin(x)] + \sin(x) 
\frac{d}{dx}[\cos(x)]\). A derivada de \(\cos(x)\) é \(-\sin(x)\) e a de \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\), 
então \(f'(x) = \cos(x) \cos(x) - \sin(x) \sin(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 
 
39. **Problema:** Qual é o valor de \(\frac{3!}{2!}\)? 
 **Resposta:** 3. 
 **Explicação:** Calculando, temos \(\frac{6}{2} = 3\). 
 
40. **Problema:** Qual é a soma dos ângulos internos de um dodecágono? 
 **Resposta:** 1800 graus. 
 **Explicação:** Para um polígono com \(n\) lados, a soma dos ângulos internos é \((n-2) 
\cdot 180\). Para um dodecágono (\(n = 12\)), temos \((12-2) \cdot 180 = 1800\) graus. 
 
41. **Problema:** Resolva a equação \(\frac{3}{x-2} = 6\). 
 **Resposta:** \(x = \frac{5}{2}\). 
 **Explicação:** Multiplicando ambos os lados por \(x - 2\), obtemos \(3 = 6(x - 2)\), então 
\(3 = 6x - 12\). Adicionando 12, obtemos \(15 = 6x\) e \(x = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}\). 
 
42. **Problema:** Qual é o valor de \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx\)? 
 **Resposta:** \(\ln(2)\). 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando no intervalo [1,2], temos 
\(\ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\).