livro 1 capitulo XII

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17. Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
a) \( -\sqrt{1-x^2} + C \) 
b) \( \sqrt{1-x^2} + C \) 
c) \( \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + C \) 
d) \( -\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + C \) 
**Resposta: a) \( -\sqrt{1-x^2} + C \)** 
Explicação: Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \), resultando em uma integral simples que leva 
à forma \( -\sqrt{1-x^2} + C \). 
 
18. O que é a integral imprópria \( \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx \)? 
a) Converge para 1 
b) Diverge 
c) Converge para 2 
d) Converge para 0 
**Resposta: a) Converge para 1** 
Explicação: Calculamos \( \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} 
\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + 1\right) = 1 \). 
 
19. Determine a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
b) \( 3x^2 \ln(x) + x^3 \) 
c) \( 3x^2 + \ln(x) \) 
d) \( 3x^2 \ln(x) - \frac{x^2}{x} \) 
**Resposta: a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \)** 
Explicação: Usamos a regra do produto: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \), onde \( u = x^3 \) e \( v = 
\ln(x) \). 
 
20. Calcule \( \int_0^1 x (1-x^2)^{10} \, dx \). 
a) \( \frac{1}{22} \) 
b) \( \frac{1}{21} \) 
c) \( \frac{1}{20} \) 
d) \( \frac{1}{19} \) 
**Resposta: b) \( \frac{1}{21} \)** 
Explicação: Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \) para simplificar a integral, que resulta em \( 
\frac{1}{21} \) após a avaliação. 
 
21. Encontre a integral \( \int \tan(x) \, dx \). 
a) \( -\ln(\cos(x)) + C \) 
b) \( \ln(\sin(x)) + C \) 
c) \( \ln(\tan(x)) + C \) 
d) \( -\ln(\tan(x)) + C \) 
**Resposta: a) \( -\ln(\cos(x)) + C \)** 
Explicação: A integral de \( \tan(x) \) é \( \ln(\sec(x)) \) que é equivalente a \( -\ln(\cos(x)) + C 
\). 
 
22. Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \). 
a) \( \frac{\pi}{8} \) 
b) \( \frac{\pi}{16} \) 
c) \( \frac{\pi}{4} \) 
d) \( \frac{\pi}{6} \) 
**Resposta: b) \( \frac{\pi}{16} \)** 
Explicação: Usamos a identidade \( \sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x) \) e integramos 
para obter \( \frac{\pi}{16} \). 
 
23. Determine o valor de \( \int_0^1 (1-x^2)^{10} \, dx \). 
a) \( \frac{1}{11} \) 
b) \( \frac{10}{11} \) 
c) \( \frac{1}{12} \) 
d) \( \frac{1}{10} \) 
**Resposta: a) \( \frac{1}{11} \)** 
Explicação: Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \) e recalculamos a integral, resultando em \( 
\frac{1}{11} \). 
 
24. Qual é o resultado de \( \int_0^1 e^{-x^2} \, dx \)? 
a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
b) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 
c) \( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \) 
d) Não pode ser expresso em termos de funções elementares. 
**Resposta: d) Não pode ser expresso em termos de funções elementares.** 
Explicação: A integral \( \int_0^1 e^{-x^2} \, dx \) não tem uma solução fechada em funções 
elementares, mas é conhecida como a função erro. 
 
25. Determine o valor de \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
a) \( \arcsin(x) + C \) 
b) \( \arccos(x) + C \) 
c) \( \ln(x) + C \) 
d) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
**Resposta: a) \( \arcsin(x) + C \)** 
Explicação: A integral de \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) é uma forma padrão que resulta em \( 
\arcsin(x) + C \). 
 
26. Calcule a integral \( \int x^4 \sin(x^5) \, dx \) usando substituição. 
a) \( -\frac{1}{5} \cos(x^5) + C \) 
b) \( \frac{1}{5} \cos(x^5) + C \) 
c) \( -\frac{1}{5} \sin(x^5) + C \) 
d) \( \frac{1}{5} \sin(x^5) + C \) 
**Resposta: a) \( -\frac{1}{5} \cos(x^5) + C \)** 
Explicação: Usando a substituição \( u = x^5 \), obtemos \( \int \sin(u) \, du \) que resulta em \( 
-\cos(u) + C \). 
 
27. Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 x \sqrt{1-x^2} \, dx \)? 
a) \( \frac{1}{3} \) 
b) \( \frac{1}{4} \) 
c) \( \frac{1}{2} \) 
d) \( \frac{1}{5} \) 
**Resposta: a) \( \frac{1}{3} \)** 
Explicação: Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \) e integramos, resultando em \( \frac{1}{3} \). 
 
28. Calcule \( \int \sec^2(x) \, dx \). 
a) \( \tan(x) + C \) 
b) \( \sin(x) + C \) 
c) \( \cos(x) + C \) 
d) \( -\tan(x) + C \) 
**Resposta: a) \( \tan(x) + C \)** 
Explicação: A integral de \( \sec^2(x) \) é uma forma padrão que resulta em \( \tan(x) + C \). 
 
29. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) Não existe 
**Resposta: c) 3** 
Explicação: Usamos a regra do limite para \( \sin(kx) \), onde \( k = 3 \) resulta em \( 3 \). 
 
30. Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{n} \, dx \). 
a) \( \frac{1}{2(n+1)} \) 
b) \( \frac{2}{2n+1} \) 
c) \( \frac{1}{n+1} \) 
d) \( \frac{1}{2n} \) 
**Resposta: b) \( \frac{2}{2n+1} \)** 
Explicação: Usamos a fórmula de Beta, que resulta em \( \frac{1}{2} B\left(\frac{1}{2}, n + 
1\right) \). 
 
31. Encontre a integral \( \int e^{x} \cos(e^{x}) \, dx \). 
a) \( \frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
b) \( \frac{e^{x}}{2} \sin(e^{x}) + C \) 
c) \( e^{x} \sin(e^{x}) + C \)