Conjuntos Numéricos e Operações

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CONJUNTOS
NUMÉRICOS
Professor: Carlos Vitor
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais
Conjunto dos Números Inteiros
Conjunto dos Números Racionais
Conjunto dos Números Irracionais
Conjunto dos Números Reais
Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
Os números naturais são usados para contar pessoas, objetos, animais etc.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
O conjunto dos números naturais é infinito.
Subconjunto:
ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} → Naturais não nulos
A soma entre dois números naturais é um número natural. Ex.: 14 + 15 = 29
O produto entre dois números naturais é um número natural. Ex.: 12 x 10 = 120
Exercícios
1) (EsSA – 2014) Os números naturais eram inicialmente utilizados para
Identifique	a	alternativa	que	apresenta	um
facilitar	a	contagem. número natural.
– 4
8
− 7
d) – 8/3
e)	5
(IDHTEC – Prefeitura de Itaquitinga/PE – Assistente Administrativo – 2016) Qual dos números abaixo pertence ao conjunto dos números naturais?
2
– 2
– 4
– 6
– 8
3) (GUALIMP – Câmara Municipal de Conceição da Barra/ES – 2018) Dentre as alternativas a seguir, assinale a que contenha um número que seja concomitantemente ímpar e pertença ao conjuntos dos números naturais (ℕ):
a) 2.467
b)– 3
c) 1/3
d) 0,5
(CONSESP	–	Prefeitura	Municipal	da	Estância	Turística	de	Santa	Fé	do Sul/SP – 2018) Qual dos conjuntos a seguir não contém o número 0 ?
N
N∗
Z
Z+
5) (QUADRIX – Conselho Regional de Administração/PR – 2019) Acerca dos
conjuntos	dos	números	naturais,	dos	números	inteiros	e	dos	números racionais, de suas operações e de suas propriedades, julgue o item
O produto entre dois números naturais é sempre um número natural.
6) (CESPE – SEDUC/AM – 2011) Sabendo que N = {0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto
dos números naturais, julgue o item seguinte, relativo a esse conjunto, a seus subconjuntos e às operações em N.
Considerando-se os números naturais 13 e 39, é correto afirmar que as igualdades 13 + 39 = 39 + 13, 13 x 39 = 39 x 13 e 13 : 39 = 39 : 13 não são todas verdadeiras.
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
ℤ = {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros é infinito.
Todos os números naturais também são inteiros.
ℕ	ℤ
Subconjuntos:
ℤ∗ = {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, ...} → Inteiros não nulos
ℤ+ = {0 , 1, 2, 3, 4, ...} → Inteiros não negativos (ℤ+= ℕ)
ℤ∗
+	+
= {1, 2, 3, 4, ...} → Inteiros positivos (ℤ∗ = ℕ∗)
ℤ− = {0 , - 1, - 2, - 3, - 4, ...} → Inteiros não positivos
−
ℤ∗
= {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} → Inteiros negativos
Exercícios
7) (UEG – Prefeitura Municipal de Iporá/GO – 2017) O conjunto A, formado pelos números A = {..., - 2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, é chamado de conjunto de números
Compostos
Ímpares
Naturais
Simples
inteiros
8)	(IESES	–	CRM/SC	–	Secretária	Executiva	–	2018)	O	conjunto	numérico
{..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} pode ser representado por:
ℤ+
ℤ−
ℤ∗
ℤ
9) (QUADRIX – CRB 6ª REGIÃO – Auxiliar Administrativo – 2014) Qual é a alternativa que representa um conjunto de números que estão no conjunto dos inteiros Z ?
a) {2, – 1, 2/3}
b) {1, 0, – 5}
c) {1.5, – 4, 0}
d) {9/2, – 3, – 3}
e) {3/4, 8, 7}
10) (IDECAN – IFAM – Assistente em Administração – 2019) O conjunto que
dos	números
representa	o	resultado	da	interseção	entre	o	conjunto naturais, N, e o conjunto dos números inteiros, Z, é:
a)	{0}
b)	{ }
N
Z
e)	{-1, 0, 1}
11) (QUADRIX – CRA/PR – 2019) Acerca dos conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais, de suas operações e de suas propriedades, julgue o item.
A união entre o conjuntos dos números naturais e o conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números racionais.
12) (QUADRIX – CRA/PR – 2019) Acerca dos conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais, de suas operações e de suas propriedades, julgue o item.
O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números naturais.
Antecessor de um número
Antecessor = número – 1
Ex.: Determine o antecessor dos números abaixo:
a)	+ 5 → antecessor = + 5 – 1 = + 4
b)	– 89 → antecessor = – 89 – 1 = – 90
c)	+ 18 → antecessor = + 18 – 1 = + 17
Sucessor de um número
Sucessor = número + 1
Ex.: Determine o sucessor dos números abaixo:
a)	+ 5 → sucessor = + 5 + 1 = + 6
b)	– 89 → sucessor = – 89 + 1 = – 88
c)	+ 18 → sucessor = + 18 + 1 = + 19
Exercícios
13)	(IMA	–	Prefeitura	Municipal	de	Penalva/MA	–	2017)	No	conjunto	dos números inteiros, o antecessor do número (- 29) é o número:
a)	– 30
b)	- 28
28
30
14)	(OBJETIVA	–	Prefeitura	Municipal	de	Gramado	dos	Loureiros/RS	–	2020) Considerando-se a propriedade dos números naturais, analisar os itens abaixo:
O sucessor de um número natural x é um número maior do que x.
Os números negativos não fazem parte do conjunto dos números naturais.
Os itens I e II estão corretos.
Somente o item I está correto.
Somente o item II está correto.
Os itens I e II estão incorretos.
15) (OBJETIVA – Prefeitura Municipal de Antônio Prado/RS – 2019) O sucessor do número natural 72 é o antecessor do número:
71
73
74
75
70
16)	(FUNDATEC	–	Prefeitura	Municipal	de	Campos	Borges/RS	–	2019)	Sobre	os números naturais, assinale a alternativa INCORRETA.
Todo número natural tem um antecessor.
O zero pertence ao conjunto dos números naturais.
O conjunto dos números naturais não possui números negativos.
Todo número natural tem um sucessor.
O conjunto dos números naturais é infinito.
17) (FGV – Senado Federal – 2008) Uma lesma está no fundo de um poço com 12 m de profundidade. Durante o dia ela sobe 5m e, à noite, escorrega 3m. O número de dias necessários para ela sair do poço é:
5
6
7
8
10
3) Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
O conjunto dos números racionais possui como elementos todos os
números que podem ser escritos na forma de fração.
O	conjunto	dos	números	racionais	pode	ser	escrito	da	seguinte forma:
ℚ =	p	/ p ∈ ℤ	e	q ∈ ℤ∗
p
Ex.: 3/5
Todos os números naturais são racionais.
Todos os números inteiros são racionais.
São considerados números racionais:
Os números naturais (Ex.: 15, 29, 326);
Os números inteiros (Ex.: - 21, 0, 48);
3) As frações (Ex.: 9 ,
5	3
17 );
4) Os números decimais finitos ou exatos (Ex.: 4,1;	9,8) 5) As dízimas periódicas (Ex.: 0,333....; 2,777...)
6) As raízes exatas (Ex.:	9 = 3, 3 125 = 5, 4 16 = 2)
Subconjuntos:
1) Racionais não nulos
ℚ∗ = { x ∈ ℚ / x ≠ 0} ⇒ são todos os racionais, com exceção do zero.
2) Racionais não negativos
ℚ+ = { x ∈ ℚ / x ≥ 0}
⇒ são todos os números racionais maiores ou iguais a zero.
Racionais não positivos
ℚ− = { x ∈ ℚ / x ≤	0}	⇒ são todos os números racionais menores ou iguais a zero.
Racionais negativos
−
ℚ∗
= { x ∈ ℚ / x <	0}	⇒ são todos os números racionais menores que zero.
5) Racionais positivos
+
ℚ∗
= { x ∈ ℚ / x >	0}	⇒ são todos os números racionais maiores que zero.
N
Z
Q
Exercícios
18) (CESGRANRIO - CITEPE - 2011) Deficit comercial de um país é a diferença entre o valor total
das importações e das exportações realizadas em um determinado período. Em outubro de 2010, os Estados Unidos importaram 197,44 bilhões de dólares e exportaram 158,66 bilhões de dólares. Qual foi, em bilhões de dólares, o deficit comercial dos Estados Unidos nesse mês?
a) 31,78
b) 38,78
c) 39,72
d) 41,22
e) 41,88
19) (EAM - 2011) O resultado da expressão
96 +	7 +	81	é:
18
16
14
12
10
20)	(IMA	–	Prefeitura	Municipal	de	Matias	Olímpio/PI	–	2016)	Todos	os	números	abaixo	são
racionais, exceto:
a)	– 104
b)	- 0,010203045 ...
c)	- 125/347
d)	154,33333...
21) (CESPE - SEE/AL - 2013) O número 0,1010010001... é um número racional.
22)	(CURSIVA	–	Prefeitura	Municipal	de	Treze	Tílias/SC	–	2017)	O	conjunto
numérico representado pela letra Q correspondeaos números:
Irracionais
Reais
Racionais
Inteiros
4) Conjunto dos números Irracionais (𝕀)
O conjunto dos números Irracionais possui como elementos todos os números que não podem ser escritos na forma de fração.
O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais não possuem elementos comuns, ou seja, a interseção entre eles é igual ao conjunto vazio.
Ex.:
a)	2 = 1,4142135...
b)	3 = 1,7320508...
c) π = 3,14159265... (π ⇒ pi)
Exercícios
23)	(ESAF	-	SUSEP	-	2006)	Indique	qual	dos	números	abaixo	é	um	número
irracional.
a)	0
b) 0,5
c) 0,333...
d) 1/3
e)	π,	que	mede	a	razão	entre	o	comprimento	da	circunferência	e	o	seu diâmetro
24) (FAUEL – Prefeitura Municipal de Guarapuava/PR – Cirurgião Dentista – 2019)
Quais dos números a seguir pertence ao conjunto dos Números Irracionais ?
a)
8
2
b)
π2
c)	-
32
25
d)
3 8
2,5
25) (VUNESP - 2011) Analise as afirmações seguintes:
I. o número 0,50500500050000500000.... é um número irracional;
II. o número
2
17
é um número irracional;
III. o número 0,00375757575... é um número racional.
Está correto o expresso em
I, II e III
II e III, apenas
I e III, apenas
I e II, apenas
I, apenas
5) Conjunto dos números Reais (ℝ)
O conjunto dos números reais é formado pela união entre os conjuntos dos números racionais e
irracionais.
ℝ	= ℚ U 𝕀
N
Z
Q
I
R
OBS.: Não são números reais !!!
par
negativo
Ex.:
a)	−4 ∉ ℝ
6
4
b)	−64 ∉ ℝ
c)	−16	∉ ℝ
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