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Introducao a Algebra Abstrata

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0 e a ≥ 0 implica b . a ≤ 0 . a.
e) Como a ≤ 0, pelo item (a), -a ≥ 0. Aplicando a compatibilidade com a multiplicação a b ≤ 
0 e -a ≥ 0 temos b . (-a) ≤ 0 . (-a) e, assim, -(b . a) ≤ 0. Aplicando agora o item (b), -(-(b . a)) ≥ 0 e, 
portanto, b . a ≥ 0. 
Para estabelecer a igualdade entre dois anéis ordenados, diremos que dois anéis ordenados A e 
B são isomorfos como anéis ordenados se existe um isomorfismo f de A em B tal que, para todos
a, b ∈ A, a ≤ b implicar f(a) ≤ f(b). Assim, estendendo naturalmente o conceito de igualdade de 
anéis, dois anéis ordenados são iguais se eles são isomorfos como anéis ordenados.
3.7 Domínios bem ordenados
Falta pouco para a caracterização axiomática dos números inteiros. Para isto, há a necessidade 
de mais algumas definições. Seja A um anel ordenado. Um subconjunto S do anel A é dito limitado 
inferiormente se S = ∅ ou se existir um elemento a ∈ A tal que para todo x ∈ S se tenha x ≥ a.
Diz-se que o subconjunto S tem elemento mínimo se existir b ∈ S tal que para todo x ∈ S se 
tenha x ≥ b. É fácil ver que se um subconjunto S tem um elemento mínimo, então este é único. De 
fato, se b’ e b” são elementos mínimos de S, b’ ≤ b” e b” ≤ b’ e então, pela antissimetria da relação 
de ordem, b’ = b”.
Um domínio de integridade ordenado A é dito domínio bem ordenado se satisfizer à seguinte 
propriedade.
Princípio da Boa Ordenação (PBO)
Todo subconjunto não vazio limitado inferiormente possui elemento mínimo.
Será provado na seção seguinte que todos os domínios bem ordenados são isomorfos como 
anéis ordenados e, portanto, existe um único domínio bem ordenado. Para isto necessitamos discutir 
uma propriedade importante de predicados definidos em domínios bem ordenados. Como veremos, 
esta propriedade se assemelha ao terceiro postulado de Peano e, por esta razão, também é chamado 
de Princípio da Indução Matemática. Para sua demonstração, precisamos de uma propriedade 
básica dos domínios bem ordenados, que estabelece que não existe elemento de um domínio 
ordenado entre 0 e 1.
Proposição 7.3
Num domínio bem ordenado D, se x > 0, então x ≥ 1.
Demonstração
Seja o conjunto S = {y ∈ D|0 < y < 1}. Devemos mostrar que S = ∅. Se S ≠ ∅, pelo PBO, S 
tem um elemento mínimo b. De b < 1 e b > 0, segue que (ver exercício 3.7) b2 < b o que implica, 
por transitividade, b2 < 1. De b > 0 segue b2 > 0. Assim, b2 ∈ S. Porém esta pertinência contraria o 
fato de que b é elemento mínimo de S, já que b2 < b. Assim S = ∅ e a proposição está demonstrada.
É consequência imediata desta propriedade o fato de que, num domínio bem ordenado, não 
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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
existe elemento entre dois elementos do tipo y e y + 1.
Corolário 1.3
Num domínio bem ordenado D, se x > y então x ≥ y + 1.
Demonstração
De x > y segue que x – y > 0 e então, pela proposição, x – y ≥ 1. Daí, x ≥ y + 1.
Este corolário justifica a denominação de consecutivos para elementos do tipo y e y + 1, sendo
y + 1 o consecutivo de y, como definido na seção 2.2.
Teorema 1.3 (Princípio da Indução Matemática)
Sejam D um domínio bem ordenado, k um elemento de D e p um predicado no conjunto
A = {z ∈ D| z ≥ k}. Suponhamos que
(i) p(k) = V
(ii) Para todo z ≥ k, se p(z) = V, então p(z + 1) = V.
Então p é uma tautologia em A, isto é, p(z) = V para todo z ≥ k.
Demonstração
Basta provar que o conjunto S = {z ∈ D| z ≥ k e p(z) = F} é vazio. Suponhamos S ≠ ∅. Se 
assim fosse, como S é limitado inferiormente, pelo PBO, S teria um elemento mínimo b. Como pela 
hipótese (i), k ∉ S, teríamos b > k e então, pelo corolário 1.3, b ≥ k + 1, o que implicaria b - 1 ≥ k. 
Do fato de que b é elemento mínimo de S e desta última desigualdade concluir-se- ia que
p(b - 1) = V. Porém, a hipótese (ii) implicaria, a partir de p(b - 1 ) = V, que p(b) = V, o que 
contrariaria o fato de que b ∈ S. Logo S = ∅ e p é uma tautologia em A. 
Como nos naturais, no Princípio da Indução Matemática a hipótese (i) é chamada base da 
indução e a assunção de que p(z) = V é chamada hipótese de indução ou hipótese indutiva. 
Observe que o princípio da indução matemática oferece uma técnica bastante interessante de 
se provar assertivas matemáticas que são válidas para todos os elementos de um domínio bem 
ordenado maiores do que ou iguais a um certo elemento k. Basta verificar que a tal assertiva é 
verdadeira para o tal k e provar que se ela for verdadeira para um elemento z > k, sê-lo-á para o 
consecutivo z + 1. Assim como a afirmação era verdadeira para k, seria verdadeira para k + 1, seria 
verdadeira para (k + 1) + 1, e assim por diante, sendo verdadeira, portanto, para todo elemento do 
domínio bem ordenado.
3.8 O conjunto dos números inteiros
Mostraremos nesta seção que todos os domínios bem ordenados são isomorfos como anéis 
ordenados. Isto significa que todos os domínios bem ordenados são iguais e, portanto, existe um 
único domínio bem ordenado. Este único domínio bem ordenado é chamado conjunto dos números 
inteiros, anel dos inteiros ou domínio dos inteiros e é representado por ℤ, tirado da palavra alemã 
zahl, que significa número. Da própria denominação do conjunto, cada elemento de ℤ é chamado 
número inteiro ou simplesmente inteiro. 
Sejam (A, +, .) um anel, a um elemento de A, (D, #, *) um domínio bem ordenado e z um 
elemento de D. O múltiplo de a por z é o elemento de A, indicado por z  a (lido z vez(es) a), 
definido por 
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z × a = 
onde ~ está indicando a subtração em D e – a subtração em A. Por exemplo, 
1D  a = a + (1D ~ 1D)  a = a + 0D  a = a + 0A = a.
 2D  a = a + (2D ~ 1D)  a = a + 1D  a = a + a = 2A.
Proposição 8.3
Sejam (A, +, .) um anel e (D, #, *) um domínio bem ordenado. Quaisquer que sejam a, b ∈ A e 
m, n ∈ D, temos
a) (~m)  a = -(m  a).
b) (m # n)  a = (m  a) + (n  a).
c) m  (a + b) = (m  a) + (m  b).
d) (m * n)  a = m  (n  a).
e) m  (a . b) = (m  a) . b.
Demonstração
a) Se m > 0D, ~m < 0D e então (~m)  a = -((~(~m))  a) = -(m  a) pois ~(~m) = m. Se
m = 0D a igualdade é evidente, pois ambos os seus termos ficam iguais a zero e se m < 0D, da própria 
definição segue que m  a = -((~m)  a) o que implica a igualdade pretendida. 
b) Suponhamos que m # n > 0, fixemos m e provemos a igualdade para todo n ≥ 1D. (para n 
negativo, fixaríamos n e faríamos a indução em relação a m que, forçosamente, seria positivo) 
(i) É claro que a igualdade é verdadeira para n = 1D, pois 
(m # 1D)  a = a + ((m # 1 ~ 1)  a) = a + (m  a) = (m  a) + a = (m  a) + 1D  a,
onde a última igualdade decorre da igualdade 1D  a = a mostrada no exemplo acima.
(ii) Suponhamos que (m # n)  a = (m  a) + (n  a) e provemos que
(m # (n # 1D))  a = m  a + ((n # 1D)  a). Temos
(m # (n # 1D))  a = a + ((m # (n # 1D) ~ 1D)  a) (definição)
(m # (n # 1D))  a = a + ((m # n)  a) (1D ~ 1D = 0D) 
(m # (n # 1D))  a = a + (m  a) + (n  a) (hipótese de indução)
(m # (n # 1D))  a = (m  a) + (n  a) + a (comutatividade)
(m # (n # 1D))  a = (m  a) + ((n # 1D)  a) (base de indução).
Se m + n < 0D, temos (m # n)  a = -((~(m # n))  a) = -((~m ~ n)  a) o que implica
(m # n)  a = -(((~m)  a) + ((~n)  a)), já que ~m ~ n > 0D. Daí, (m # n)  a = -((~m)  a) -
- ((~n)  a)) = -(-(m  a) - (-(n  a)) = ma + na, onde na penúltima igualdade foi utilizado o item 
(a) da proposição.
c) Provemos, por indução, que a igualdade é verdadeira para todo m ≥ 0D.
(i) Para m = 0D os dois termos da igualdade tornam-se iguais a zero e a igualdade é verdadeira. 
(ii) Suponhamos que m  (a + b) = (m  a) + (m  b) e provemos que
(m # 1D)  (a + b) = ((m # 1D)  a) + ((m # 1D)  b). Temos
(m # 1D)  (a + b) = (m  (a + b)) + (1D  (a + b)) (item b)
(m # 1D)  (a + b) = (m  a) + (m  b) + a + b (hipótese indutiva e exemplo acima)
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