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Introducao a Algebra Abstrata

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ε.
Uma característica das sequências convergentes é uma propriedade intrínseca que elas 
possuem, não envolvendo o seu limite.
Proposição 3.10
Se (an) é uma sequência convergente em ℚ então para cada ε > 0, existe no ∈ ℕ tal que se n, 
m ≥ no, então |an – am| < ε.
Demonstração
Seja (an) ∈ S(ℚ) e lim an = a. Então, se ε ∈ ℚ, com ε > 0, existe no ε ℕ tal que se n, m ≥ no,
|an – a| < ε/2 e |am-a| < ε/2. Logo |an – am| = |an – am - a + a| ≤ |an – a| + |am – a| < (ε/2) + (ε/2) = ε.
Esta propriedade motiva a seguinte definição. Uma sequência (an) ∈ S(ℚ) é dita de Cauchy 
se, para cada ε > 0 existir n0 ∈ ℕ tal que se n, m ≥ no então |an – am| < ε.
Tal como foi definida toda sequência convergente é de Cauchy, mas a recíproca não é 
verdadeira como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo 4. Seja (an) onde ao = 0 e an+1 = 1/(2 + an) e suponhamos que lim an = a. Então lim 
(an+1) = lim (an) = lim (1/(2 + an)) = (1/(2+ lim an). Logo, a = (1/(2 +a)) o que implica (a + 1)2 = 2, o 
que não é possível com a ∈ ℚ. Isto mostra que (an) não é convergente. Por outro lado, 
e então, 
116
1
1
1
1
1
1
1 4
1
)2(.)2()2(.)2(
)2()2(
2
1
2
1||
−
−
−
−
−
−
+ −≤
++
−
=
++
+−+
=
+
−
+
=− nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn aaaa
aa
aa
aa
aa
aa
Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
Daí,
o que mostra que a sequência (an) é de Cauchy, pois é fácil ver que
O exemplo acima e a proposição 2.10 são dois resultados sobre os quais a construção dos 
reais em grande parte se baseia. A ideia é usar as sequências de Cauchy para a construção de 
elementos de um conjunto e dar a este conjunto uma estrutura de corpo. Tal conjunto, com um certo 
abuso de linguagem, conterá os racionais (ver proposição 2.10) e as lacunas existentes em ℚ serão 
preenchidos via sequências do tipo apresentado no exemplo 4.
10.3 Os números reais
No que se segue, denotaremos por So(ℚ) o conjunto das sequências de S(ℚ) que convergem 
para zero e por Sc(ℚ ) aquelas que são de Cauchy.
Proposição 4.10
Se (an), (bn) ∈ So(ℚ), então
i) (an) + (bn) ∈ S0(ℚ),
ii) (an) . (bn) ∈ S0(ℚ).
Demonstração
Sejam (an) e (bn) tais que lim an = 0 e lim bn = 0 e ε ∈ ℚ, com ε > 0.
 i) Existem n1, n2 ∈ ℕ tais se n ≥ n1, |an – 0| < ε/2 e se n ≥ n2, |bn – 0| < (ε/2). Então, se 
tomarmos n0 = max{n1, n2} e n ≥ no, então |an + bn - 0| = |an + bn| ≤ |an| + |bn| < (ε/2) + (ε/2) = ε, o que 
mostra que (an) + (bn) ∈ S0(ℚ).
ii) Existem n1’ ∈ ℕ tal que se n ≥ n1’, então |an| < 1 e n2’ ∈ ℕ tal que se n ≥ n2’, então |an| < ε. 
Assim, se n0 = max{n1’, n2’} e n ≥ n0, temos |an . bn| = |an| . |bn| < 1 . ε = ε. 
Um fato interessante é que se duas sequências (an) e (bn) em S(ℚ). convergem para o mesmo 
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||
4
11
4
1
||
4
1...
4
1||...|||| 12
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12
12
11 aaaaaaaaaa
n
npn
nnpnpnnpn −
−

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
 


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
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+−+++
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.
.
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4
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4
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1||
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1
1
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2334
1223
aaaa
aaaaaa
aaaa
n
nn −

≤−
−

≤−≤−
−≤−
−
+
0||
4
11
4
1
lim 12
1
=−
−


 −
aa
n
Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
racional a, então a sequência (an - bn) ∈ So(ℚ). Isto resulta imediatamente das propriedades do 
limite e motiva a seguinte definição. Em Sc(ℚ) definimos a relação (an) ≈ (bn) se (an - bn) ∈ So(ℚ).
É fácil verificar que a relação que acabamos de definir é uma relação de equivalência. Além 
disso se (an), (bn) e (cn) são elementos quaisquer de Sc(ℚ) e (an) ≈ (bn) temos (an + cn) – (bn + cn) =
= (an – bn) ∈ So (ℚ) e (an . cn) – (bn . cn) = (an . cn – bn . cn) = (an – bn .) cn. Como (cn) ∈ Sc (ℚ) é fácil 
mostrar que |cn| < M, para algum racional positivo M, e isso nos dá lim ((an – bn .) . cn ) = 0, ou seja, 
(an . cn) – (bn . cn) ∈ So(ℚ).
Os resultados que acabamos de verificar, mostram que a relação de equivalência obtida 
também é compatível com as operações de adição e multiplicação. O conjunto das classes de 
equivalência de ≈ será denotado por ℝ e chamado conjunto dos números reais.
Em ℝ definimos as operações 
i) adição
an bn =an +bn 
ii) multiplicação
an  . bn =an . bn 
que definem uma estrutura de anel em ℝ, fato de fácil verificação. Por exemplo, o elemento neutro 
da adição é a classe 0 da sequência constante (0, 0, 0, ..., 0, ...) e o elemento neutro da 
multiplicação é a classe 1  da sequência constante (1, 1, 1, ..., 1, ...).
A próxima proposição permite concluir que mais que um anel ℝ é um corpo.
Proposição 5.10
Seja (an) ∈ Sc(ℚ) tal que (an) ∉ S0(ℚ). Então existem um natural n0 e um racional positivo q 
tal que |an| > q para todo n ≥ n0.
Demonstração
Suponha por contradição que o resultado fosse falso. Então para cada racional positivo q e 
para todo natural n0 existiria um natural m tal m ≥ n0 e ∣an∣
ε
2 . Mas, como (an) é de Cauchy, 
existe um natural n0 tal que ∣a m−an∣
ε
2 , se m, n > n0. Assim, para n > n0, teríamos 
∣an∣=∣am−am+an∣≤∣an−am∣∣am∣
ε
2
 ε
2
=ε e (an) pertenceria a S0(ℚ) o que é uma contradição. 
Agora, considere um a ∈ , a ≠ 0. Então a= an  onde (an) ∉ S0(ℚ). Pela proposição que 
acabamos de provar, existe n0 tal que an ≠ 0, para todo n > n0. Então construa (an’) tal que an’ =1, se 
n < n0, e an’ = an, para n ≥ n0. É claro que an =an '  e portanto a= an '  . Mas todo an’ é diferente 
de zero e então bn=an ' −1= 1an '  é o inverso de a, donde concluímos que  é um corpo. 
As proposições 2.10 e 3.10 implicam que para cada r ∈ ℚ, a sequência constante (r, r, ..., r, ...) 
é um elemento do conjunto Sc(ℚ). Assim para cada r ∈ ℚ podemos associar a classe de equivalência 
r ∈R . Esta associação determina uma bijeção entre ℚ e um subconjunto ℚ' de ℝ. Identificamos r 
com r  e passamos a considerar ℚ como um subconjunto de ℝ. Os elementos de ℝ que não estão 
em ℚ' são chamados de números irracionais.
Para definir uma relação de ordem em ℝ, vejamos o seguinte lema.
Lema 1.10
Seja (an) ∈ Sc ( ℚ ). Se (an) ∉ So (ℚ) e existe no ∈ ℕ tal que para n ≥ no, tem-se an > 0, então 
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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
existem ε ∈ℚ , ε > 0, e n ∈ ℕ tais que se n ≥ n1 então an > ε .
Demonstração
Suponha que o resultado fosse falso. Então, para cada ε ∈ ℚ, ε > 0, e n1 ∈ ℕ, existiria
m ∈ ℕ, com m > n1 e 0 < am < ε. Mas (an) é de Cauchy e, portanto, para cada ε ∈ ℚ, ε > 0, existe
no ∈ ℕ tal que |am – an | < ∈, se m, n > n0. Assim, |an | ≤ |an – am| + |am | < 2ε, o que significaria
an ∈ So (ℚ), contrariando à hipótese.
Dizemos que uma sequência (an) possui a propriedade P se (an) satisfaz às condições do lema 
1.10 e deixamos para o leitor a prova do seguinte lema.
Lema 2.10
Sejam (an) e (bn) elemento de Sc(ℚ). Se (an) ≈ (bn) e (an) possui a propriedade P, então (bn) 
também possui tal propriedade.
A relação de ordem em ℝ é agora definida da seguinte forma: dados a = (an), b = (bn) ∈ ℝ, 
dizemos que a ≤ b se (bn - an) possui a propriedade P ou se (bn - an) ∈ Sc (ℚ). Não é difícil verificar 
que esta é mesmo ordem total em ℝ.
Teorema 1.10
O corpo ℝ é arquimediano.
Demonstração
Suponha a=an , b=bn ∈ ℝ e 0 < b < a. Como (an) é de Cauchy existe M ∈ ℚ tal que
an < M, para todo n ∈ ℕ e como 0 < b, existem ε ∈ ℚ, ε > 0 e no ∈ ℕ tais que bn > ε se n ≥ n0. Como 
ℚ é arquimediano, existe m ∈ ℕ tal que M < m.ε ou seja c=m  é tal que c . b=c . bna pois
c . bn – an > M – an > 0 para todo n ≥ no.
Finalmente, veremos que as sequências de Cauchy em ℝ são convergentes. Adotaremos as 
mesmos definições usados em ℚ para sequências convergentes e sequências de Cauchy em ℝ. 
Naturalmente há necessidade de adaptar a notação. Por exemplo, onde lá tínhamos ε ∈ ℚ, ε > 0 aqui 
escrevemos simplesmente ε > 0. No resto, as definições são as mesmas.
Lema 3.10
Para cada a ∈ ℝ, existe uma sequência (an) ∈ S(ℚ) que converge para a em ℝ
Demonstração
Suponha, sem perda de generalidade, que a > 0.