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Circuitos Elétricos III
Prof. Sergio Escalante, DSc.
s.escalante@eng.uerj.br
Sala: 5017‐D
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Pré‐requisito Circuitos Elétricos - II
• Circuitos de corrente alternado. 
• Frequência complexa. 
• Impedância e admitância no plano S. 
• Pólos e zeros. 
• Diagrama de BODE. 
• Indutância mútua. 
• Resposta de frequência. 
• Circuitos Acoplados. 
• Transformada de Laplace aplicada a circuitos elétricos. 
• Potencia e energia.
Ementa Circuitos III
• Circuitos trifásicos equilibrados e desequilibrados.
• Correção do fator de potência. 
• Sistema por unidade.
• Diagramas unifilares, componentes simétricos.
• Cálculo através de técnicas de circuitos, de curto‐
circuito equilibrado e desequilibrado.
Bibliografia
• Elementos de Análise de Sistemas Elétricos de 
Potência, Stevenson, W.D.
• Introdução a sistemas elétricos de potência –
componentes simétricas, Ernesto João Robba
• Electric Energy Systems Theory: An Introduction ‐O. I. 
Elgerd;
• Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência, Luiz 
Cera Zanetta Jr. 1ra. Ed. 2006.
• Curto‐Circuito, Geraldo Kindermann, 2da. Ed. 1997.
Sistema de Avaliação
• P1 e P2 : Provas obrigatórias a serem aplicadas durante o período
• LAB: Média final de laboratório;
• m1: média final 1 (Aprovação direta para m1  7) não 6,95
• PF: prova final (a matéria toda).
• m2: média final 2 (Aprovação final para m2  5) não 4,95
• Prova de Reposição somente com atestado médico !
•
m 𝑎
𝑃 𝑃
2 𝑏 LAB; 𝑎 𝑏 1 se m 7,0 ⇒ APROVADO
 4,0 m 7,0 ⇒ Prova Final
m
m PF
2 se m 5,0 ⇒ APROVADO
NAS PROVAS SERÁ PROIBIDO USO DE CALCULADORAS PROGRAMÁVEIS
a = 0,7
b = 0,3
Ler as instruções de cada prova
• Aproximações nos cálculos nas PROVAS:
– Na calculadora: – Na PROVA:
•
23,16789652348R  23,168 0,0232 kR ou R  
0,0004853217991R  0,4853 m 485,322R ou R    
365892,625481R  365,893 k 365892,63R ou R  
Como Reprovar
• Não estudar
• Faltar mais de 25% das aulas (REPROVADO POR FALTA)
• Colar na prova (VAI SER REPROVADO)
• Manter ligado o celular durante as provas (VAI SER REPROVADO)
• PODE REPROVAR:
– Estudar na véspera da prova
– Não prestar atenção na aula 
– Conversar com seu colega durante a aula e prova
– Mexer no celular OU NO RELOGIO INTELIGENTE durante a aula
– Não anotar nada sobre a aula
– Não pesquisar na internet sobre os temas dadas em aula
– Dormir durante a aula.
Erros na Engenharia Elétrica
• Blecaute
• Incêndio
• Curto circuito
• Abertura antecipada de equipamentos de proteção
– Blecaute
– Falta de energia para a indústria (alimentos, etc...)
• Abertura demorada de equipamentos de proteção
– Incêndios
– Queima de outros equipamentos elétricos
• Mortes pela falta de energia
Erros na Engenharia Elétrica
TRABALHOS: VER AS ATIVIDADES NO 
CLASSROOM
REVISÃO
Fasores
• Um fasor é um vetor girante que pode ser representado como 
um número complexo que contem informações de amplitude e 
ângulo de fase de uma função senoidal
• O comprimento da seta representa o módulo da tensão ou 
corrente alternada
• O ângulo que a seta forma com o eixo horizontal indica o ângulo 
de fase
• Escolha‐se uma forma de onda como referência
• As próximas ondas são comparadas com a de referência através 
do ângulo entre as setas que representam os fasores.
 .. cos senz z zjx j y e j z           
Função de entrada senoidal
( t ) ( t )1
2( ) ( ) cos( ) [e e ]j j
m mx t f t F t F            
cos
2
j je e 



sen
2
j je e
j
 



cos senje j    
1j  
Função do 
circuito
( )x t ( )y t
( )Hy t
( )Py t
Resposta homogênea
Resposta particular
1
2 e( ) ( e e e )j j t j j t
mmf FFt     
1
2( ) ( e e )j t j tf t    F Fe j
mF F
Onde                    é uma constante complexa e
é seu complemento conjugado.
e j
mF F
F
Associação Entre Funções Senoidais e Fasores:
A função cosseno pode ser vista 
como a projeção no eixo real de 
um fasor girante. A função seno é 
a projeção no eixo imaginário.
sen( t )A A      
cos( t )A A      
1sen( t 0) 1 0    
1cos( t 0 ) 1 0     
cos sen( t ) ( t )90AA         
sec nos( t ) ( t )90AA         
senosfasor em :
90
 
A  
cossenosfasor em :
90A  
Fasores
• Os medidores entregam valores eficazes  o uso normal 
dos valores são em rms ou valores eficazes e não valores 
pico ou máximo.
• A analise de circuitos em corrente alternada CA o fasor será 
definido como tendo um módulo igual ao valor rms da 
função senoidal que representa. (  )
• O ângulo associado com o fasor continuara conforme 
descrito anteriormente
• A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a formas de onda 
senoidais da mesma frequência f ou  = 2
Fasores para cosseno
• Grandezas elétricas usa‐se valores eficazes ou rms.
• Domínio do tempo Domínio dos fasores
– f = 60 Hz
• Domínio dos fasores Domínio do tempo
•
a. 2(50)sen t
69,6 2 18 49,21 18    
45 2 0 31,82 0    
50 90 
b. 69,6sen( 72 )t  
c. 45cos t
a. 10 30I   
b. 115 70V   
2 10cos(377 t 30 )i    
162cos(377 t 70 )v   
Corrente Alternada
• Oscila entre valores máximos e mínimos
• A expressão da força eletromotriz (fem) tem a forma:
– Onde Vm :é a amplitude máxima,
–  :é a frequência angular [rad/s]
• A expressão para a intensidade da corrente elétrica tem a mesma forma da fem: 
– onde: Im : é a amplitude máxima,
– : ângulo de fase, entre a tensão V e a corrente I
– O ângulo de fase entre 2 formas de onda de 
mesma frequência (defasagem) é a diferença 
angular num dado instante de tempo.
. se n tmV V 
. se n ( t )mI I   
. co s tmV V 
. co s( t )mI I   
Defasagem
o fasor é diferente de um vetor porque a posição angular do 
fasor representa posição no tempo; não no espaço.
Corrente Alternada
• Frequência:  A frequência (f [Hz]) é o número de ciclos por segundos
– Um ciclo por segundo é igual a 1 hertz.
•  :é a frequência angular [rad/s]
• Período:: O período (T [s]) é o
intervalo de tempo para que um 
ciclo seja completa
– Alta a frequência  T  pequeno
– Baixa frequência T  grande
2
f 


1 2 T
f


 
T
T
T
T
Corrente Alternada
• Valor pico: é o valor máximo Vm ou Im
• Valor pico‐pico: (dobro do valor pico)
• Valor médio: média aritmética sobre todos os valores numa onda senoidal para um meio 
ciclo.
– No ciclo completo o valor é zero.
• Valor eficaz ou rms (valor médio quadrático) é 0,707 ( ) vezes o valor pico.
Um ciclo é uma 
volta completa 
0
1 ( )
T
MEDV v t dt
T
 
2
0
1 ( )
T
RMSV v t dt
T
 
0
2
( )2
MED
T
v t dtV
T
 
• Valor Médio (Average)
– O nome é bastante sugestivo, calcular o 
valor médio de um sinal qualquer quer 
dizer obter a média desse sinal ao longo 
de um período.
• Valor Eficaz ou RMS
– O valor eficaz de um sinal ou RMS está 
relacionado com a potência em 
corrente continua. Ou seja, o valor 
eficaz é a medida ou a quantidade do 
sinal alternado que dissiparia a mesma 
potência em uma resistência 
alimentada por um sinal continuo.  2
0
1 ( )
T
RMSV v t dt
T
 
0
1 ( )
T
MEDV v t dt
T
 
2
0
21 ( )T
ccV v t dt
R T R
 
CORRENTE ALTERNADA EM R – L – C
Corrente Alternada: no Resistor
• Para:
• Onde:
• Para uma corrente dada:
• Onde:
•
Para um dispositivo puramente resistivo, a 
tensão 𝑣 e a correntes 𝑖 estão em fase.
A relação entre os seus valores de pico é dada 
pela Lei de Ohm. 
2 f 
cosmv V t

2
 3
2
0
cosmV t cos t cos t
cos t cos t cos t
cosmi I t 
Corrente Alternada: no Resistor
• Em fasor
cosmi I t 
cos t
0
0V 
0RI  
0V 
0RI  
cosmv V t
Corrente Alternada: no Indutor
• Para:
• A tensão no indutor:
•
Para um indutor, 𝑣 esta adiantada 90º em 
relação a 𝑖 ou 𝑖 está atrasada 90º em 
relação a 𝑣 .
2 f 
cos t
Corrente Alternada: no Indutor
𝜔𝐿 
𝑋
A grandeza 𝜔𝐿 , é a reatância indutiva, 
Simbolizada por 𝑋 e medida em ohms
Areatância indutiva é uma oposição à corrente 
que resulta em uma troca contínua de energia 
entre a fonte e  campo magnético do indutor
2 f 
Corrente Alternada: no Indutor
• Em fasor
cos t
00V 
90LI  
0V 
90LI  
cosmv V t
0
1 cos
t
L mi V t dt
L
   (sen )m
L
Vi t
L
 

cos( 90)L Li I t 
m
L
VI
L


Corrente Alternada: no Capacitor
• Para:
• Corrente no capacitor:
•
Para um capacitor, 𝒊𝑪 esta adiantada 90º em 
relação a 𝑣 ou 𝑣 está atrasada 90º em 
relação a 𝑖 .
2 f 
Corrente Alternada: no Capacitor
A grandeza 1/𝜔𝐶 , é denominada a reatância 
capacitiva,
Simbolizada por 𝑋 e medida em ohms
A reatância capacitiva é uma oposição à corrente 
que resulta em uma troca contínua de energia 
entre a fonte e  campo elétrico no capacitor
2 f 
Corrente Alternada: no Capacitor
• Em fasor:
cos t
0
0V 
90CI  
0V 
90CI  
cosmv V t
( cos )m
C
d V ti C
dt
 
 ( sen )C mi V C t   cos( 90)C Ci I t 
C mI V C 
Relação entre Indutor e Capacitor
Indutor
• A reatância indutiva é uma oposição à corrente 
que resulta em uma contínua de energia entre a 
fonte e  campo magnético do indutor
•
Capacitor
• A reatância capacitiva é uma oposição à corrente 
que resulta em uma contínua de energia entre a 
fonte e  campo elétrico no capacitor
•
Capacitor real
Indutor real
Se a tensão aplicada estiver adiantada em relação 
à corrente, ele será predominantemente indutivo
Se a corrente estiver adiantada em relação à 
tensão aplicada, o circuito será 
predominantemente capacitivoCp: capacitância parasita; Rs: resistência 
em serie, perdas no cobre
Ls: efeitos indutivos dos terminais; Rs: 
perdas do dielétrico; Rp: resistência de fuga
cos( 90 )L mv V t  
cosL mi I t
cos( 90 )C mi I t  
cosC mv V t
Exemplo
• Para os seguintes pares de tensão e corrente, determine se o elemento 
envolvido é um resistor, um indutor ou um capacitor e calcule os valores 
de R, L e C.
•
• Resistor:
• Indutor:
• Capacitor:
cos t
cos t
cos t
0
0
0
0V 
0RI  
0V 
90LI  
0V 
90CI  
0V 
0RI  
0V 
90LI  
0V 
90CI  
Impedância Resistiva, Reativa e Capacitiva
• cosmv V t
cosmv V t
cosmv V t
cos
cos
cos
Impedância e Admitância
( ) j te t e Ε
( ) j ti t e  I
Z 
Ε
I
1Y
Z
 
I
Ε
( ) j t j te t e R e Ε I 
R 
Ε
I
( ) j t j tj Le t e e Ε I 
90j L L    
Ε
I
( ) j t j tj Ci t e e I Ε 
1 1 1 90j
j C C C  
     
Ε
I
( )i C de dt( )e L di dt
Impedância e Admitância
AdmitânciaImpedânciaElemento
Resistência
Capacitância
Indutância
( )Z j R 
1 1( ) 90Z j
j C C

 
   
( ) 90Z j j L L     
1Y G
R
 
90Y j C C    
1 1 90Y
j L L 
   
Circuitos: Série, Paralelos, série‐paralelo
1 1( ) j ti t e  I
3 3( ) j ti t e  I
2 2( ) j ti t e  I
1 2 3 0  I I I
1 1( ) j te t e E
2 2( ) j te t e E
3 3( ) j te t e E
4 4( ) j te t e E
1 2 3 4 0   E E E E
Circuitos: Série, Paralelos, série‐paralelo
1 1( ) j te t e E
2 2( ) j te t e E
3 3( ) j te t e E
1Z
2Z
3Z
( ) j te t e E
( ) jwti t e I
1 1Z E I 2 2Z E I 3 3Z E I
1 2 3Z Z Z Z  
j te  E
2 2( ) j ti t e  I 3 3( ) j ti t e  I1 1( ) j ti t e  I
( ) j te t e E
( ) jwti t e I
1Z 2Z 3Z
1 1Y  I E 2 2Y  I E 3 3Y  I E
Exemplo
• Determine a corrente de estado permanente se 
e(t) = Em.cos(wt+)
( )e t
( )i t
Exercícios
• Do circuito, determine a tensão de saída e0(t).
1
10 F
11( )e t 0 ( )e t
1
2 1
10 H 1
5 H
1
2 
1( ) 10cos(10 20 )e t t  
Solução
• Método 1: combinando 
impedâncias em série e em 
paralelo:
•
1
10 F
11( )e t 0 ( )e t
1
2 1
10 H 1
5 H
1
2 
1j 
11E 0E
1
2 1j  2j 
1
2 
2E
1( ) 10cos(10 20 )e t t  
1 10 20  E
3
1 12
2 2
Z j   3Z
2Z
32 (1 / Z) /Z j 
2
(1 2(1 )
(
)
(1 21 ) )
jZ j
jj
 

 

2 2 8 1,40 0,20jZ     
1 1 1,401,40 0,20 0,8 1,61 29,7Z j jj      
Diagrama fasoriais
I
R CLE+E E +E=
CE RE
LE
I
R CLE+E E +E=
CE
RE
LE
I
RE=E
CE RE
LE
I
E
1
LC
 
0

( )e t
( )Re t ( )Le t ( )Ce t
( )i t
Diagrama fasoriais
( )i t
( )Ri t ( )Li t ( )Ci t
( )e t E
R CLI+I I +I=
LI
RI
CI
1
LC
 
0

Z ( 1 )
E EI
R j L C 
 
 
Exemplo
• Desenhe o diagrama fasorial das correntes e 
tensões para a figura
1( )Ri t ( )Li t ( )Ci t
( )e t
2 ( )Re t
( )Le t
1R
2R
E
L1 CR= +II +II
LI
R1I
CI I
LI
R1I
CI
R2 LE=E +E
LE
R2E
LI
ERROS COMUNS
• Misturar tensões fase‐neutro com fase‐fase ou de linha
• Soma de fasores como se fossem números reais
– 5 / 37° + 8/ 53° = 13
– Erro cometido na soma de potências aparentes
• Passar a valores em por unidade (pu) de um sistema elétrico com 
transformadores.
– Escolhe‐se uma potência base única e uma tensão de uma zona do 
sistema, as outras tensões base são calculadas de acordo com a 
relação de transformação dos transformadores. 
• Misturar a soma/multiplicação de números em pu com a de 
números com unidades reais.
– (2,5 pu)*(1,8 [A]) = 4,5 pu ou  3,7  + 2,8 pu = 6,5 
FIM REVISÃO
Sistema Trifásico
• Um gerador CA projetado para desenvolver uma única 
tensão sinusoidal para cada rotação do eixo (rotor) é 
chamado de gerador CA monofásico.
• Se o número de bobinas no rotor for aumentado de 
uma maneira especificada, o resultado será um gerador 
de CA polifásica, que desenvolve mais de uma tensão 
de fase CA por rotação do rotor
• Em geral, os sistemas trifásicos são preferidos aos 
sistemas monofásicos para a transmissão de energia 
por vários motivos.
Sistema Trifásico
• vários motivos.
– Condutores mais finos podem ser usados   para transmi r o mesmo kVA 
na mesma tensão, o que reduz a quantidade de cobre necessária 
(normalmente cerca de 25% a menos).
– As linhas mais leves são mais fáceis de instalar e as estruturas de suporte 
podem ser menos massivas e mais afastadas.
– Os equipamentos e motores trifásicos têm características preferenciais 
de operação e partida em comparação com os monofásicos devido a um 
fluxo de energia mais uniforme ao transdutor do que o que pode ser 
fornecido com uma fonte monofásica.
– Em geral, a maioria dos motores maiores é trifásica porque é 
essencialmente auto‐inicializável e não requer um desenho/projeto 
especial ou circuito de partida adicional.
Sistema Trifásico
• Tornou‐se o mais conveniente por razões técnicas e econômicas:
• Trifásico (3 fios, 3F) comparado a monofásico (2 fios, F+N):
– Gerador e transformador de menor porte para a mesma potência
• Custos de construção menores e melhor aproveitamento dos recursos.
– Condutores menores para a mesma potência
• Diminui os custos na instalação de 1 cabo adicional
– No monofásico a potência instantânea cai a zero duas vezes por ciclo, no 
trifásico a potência trifásica nunca cai a zero e se mantém praticamente 
estável.
• melhores características operacionais para motores trifásicos
– Problemas em um condutor não interrompe o atendimento da carga como 
um todo 
• Uso de sistemas com maior número de fases não cobre os custos 
adicionais de transmissão (Nikola Tesla).
Sistemas Polifásicos Simétricos
• Sistema de tensões polifásico simétrico:
1
2
3
cos( t)
1cos( t 2 )
2cos( t 2 )
1cos( t 2 )
m
m
m
n m
v V
v V n
n v V n
nv V n

 
 
 

 

   
    


    

1
2
3
1
2
3
cos( t)
13 cos( t 2 )3
2cos( t 2 )3
cos( t)
cos( t 120)
cos( t 240)
m
m
m
m
m
m
v V
v V
v V
v V
v V
v V

 
 




  
    

   
 
   
   
: número de fases ( )n n sistema trifásico (3 )
Sistemas trifásico
• TRIFÁSICO:
• MONOFÁSICO
1
2
3
cos( t)
3 cos( t 120)
cos( t 240)
m
m
m
v V
v V
v V




 
   
   
3 enrolamentos (a‐a’, b‐b’, c‐c’) defasados 120 Um enrolamento (a‐a’)
Sequências de fases
Sequência positiva: ABC Sequência negativa: ACB
ABC = BCA = CAB ACB =CBA = BAC
• Fase simples (Monofásico)   2 
fios
• Fase simples (Monofásico)   3 
fios
• Fase dupla (bifásico)  3 fios
– Fontes de geração operam com 
fases diferentes
Tensões trifásicos Balanceado
• Sistema trifásico de 4 fios:
Gerador 
trifásico
Tensões trifásicas 
com defasagem 
de 120°
Exemplo
• Um sistema trifásico simétrico tem sequência de 
fase BAC e Vc igual a 220 V com ângulo de fase de 
40. Determine as tensões (módulo e ângulo) nas 
fases A e B.
Sistema trifásico
• Simétricos:
– Tensões nos terminais dos geradores são senoidais
– Tem o mesmo valor máximo
– Estão defasadas de 120 (2/3 rad)
• Assimétrico
– Em forma geral, as tensões nos terminais dos geradores 
não atendem a pelo menos uma das condições acima (do 
simétrico)
Linhas trifásicas
• Equilibrada: constituída por 3 ou 4 fios (3f+N):
– Impedância própria dos fios iguais entre si,
– Impedância mútua entre os fios iguais entre si,
– Impedância mútua entre os fios de fase e o de retorno (N) 
iguais.
• Desequilibrada:
– Em forma geral, onde não se verifica uma das relações 
acima (do equilibrado)
Cargas trifásicas
• Equilibrada:
– Carga constituída por 3 elementos (impedância 
complexa) iguais ligados em estrela (Y) ou triângulo 
(delta).
• Desequilibrada:
– Carga na qual não se verifica a condição descrita acima
Ligação das cargas
• As cargas trifásicas industriais (motores elétricos) são 
equilibradas. 
• As cargas monofásicas e bifásicas (iluminação, 
aparelhos eletrodomésticos, motores monofásicos 
etc.) devem ser equitativamente distribuídas entre as 
fases de modo que o sistema fique equilibrado.
• Analisara‐se um sistema de distribuição de baixa 
tensão (rede secundária) a partir de um sistema de 
potência.
Ligação das cargas
• As cargas trifásicas 
industriais (motores 
elétricos) são equilibradas. 
• As cargas monofásicas e 
bifásicas (iluminação, 
aparelhos 
eletrodomésticos, motores 
monofásicos etc.)
– devem ser 
equitativamente 
distribuídas entre as fases 
de modo que o sistema 
fique equilibrado.
Trifásico
Bifásico
monofásico
Nível de tensão usuais
Carga trifásica balanceada
• Carga conectada em 
estrela:
• Carga conectada em delta 
ou triângulo:
ZY = Z1 = Z2 = Z3 Z∆ = Za = Zb = Zc
𝑍 3𝑍 𝑍
𝑍
3
3 YZ Z 
3Y
ZZ 
Conexões trifásicas
• Ambas as fontes trifásicas e carga 
trifásica podem ser conectas seja 
em estrela ou delta
• Tem‐se 4 possíveis tipos de conexão:
– Conexão Y‐Y
– Conexão Y‐∆
– Conexão ∆‐∆
– Conexão ∆‐Y
• É muito comum ter Fontes de 
Geração conectadas em estrela
• É muito comum ter Cargas ou 
consumidores conectadas em delta. fase-fase fase-neutro3V V 
Algumas definições
• Tensão de fase: Tensão medida entre o 
centro‐estrela e qualquer um dos 
terminais do gerador ou da carga.
• Tensão de fase‐fase ou de Linha: 
Tensão medida entre dois terminais 
(nenhum deles sendo o “centro‐
estrela”) do gerador ou da carga.
– Também, a tensão medida entre os 
condutores que ligam o gerador à carga.
• Corrente de fase: corrente que 
percorre cada uma das boninas do 
gerador ou, corrente que percorre 
cada uma das impedâncias de carga.
• Corrente de linha: corrente que 
percorre os condutores que interligam 
o gerador à carga (exclui‐se o neutro).
ffVff
LVL
fVf fVf
Algumas definições
• Tensão de fase: Tensão medida entre o 
centro‐estrela e qualquer um dos 
terminais do gerador ou da carga.
• Tensão de fase‐fase ou de Linha: 
Tensão medida entre dois terminais 
(nenhum deles sendo o “centro‐
estrela”) do gerador ou da carga.
– Também, a tensão medida entre os 
condutores que ligam o gerador à carga.
• Corrente de fase: corrente que 
percorre cada uma das boninas do 
gerador ou, corrente que percorre 
cada uma das impedâncias de carga.
• Corrente de linha: corrente que 
percorre os condutores que interligam 
o gerador à carga (exclui‐se o neutro).
Tensões trifásicos Balanceado
Tensões trifásicas com defasagem de 120°
Van = E Emax = 2 𝐸 2 𝑉p
2
2
3
1 120 1 120 1 240
1 240 1 12 010
a a
a a
a
a
         
         
1 120 1 120oua       1 120 1 240a      
2 1 240 1 120a      
3 1 0a   1
2
3
1 0
1 1
0
120
240
20
1 240
e E E
e E E
e E E
    
    
  
 
 
  
Operador “a” ou “”
• Tensão com o operador “a” 
31 a
a
2a
2a 21 a
( 1)a a 
1a 
1 2
1
2
3
2
1e
e E
e
a
a

1 120 1 240a      
2 1 240 1 120a      
3 1 0a   
1
2
3
2
1 0 1
1 120
1 240
a
e E E
e E E
e E E a
  
 

  
  
   


Diagrama Fasorial
31 a
a
2a
2a 21 a
( 1)a a 
1a 
1 2
1
2
3
2
1 0 1
1 120
1 240
a
e E E
e E E
e E E a
  
 

  
  
   


1e
2e 
3e
ab an bn
21 aV V V E E    
2
ab 30(1 3)V aE E  
bc bn cn
2V V V E Ea a    
bcV
bc 1 3 90( )V E a a E    
ca cn an 1V V V E a E    
ca ( )1 3 150E EV a      
caV abV
21 3 30a   
9( 1 3 0)a a   
1 3 150a   
CIRCUITO TRIFÁSICO EQUILIBRADO
Sistema elétrico balanceado Y‐Y
Tensão interna 
da fonte
ZS Impedância 
da fonte
ZL Impedância 
da carga
Zl Impedância da linha
lZ
lZ
carga
Conexão geral Y ‐ Y
N
N0=n
n
Conexão Y ‐ Y
• Equação de tensões de nó N: Usando 
o neutro da fonte n como nó de 
referencia e denominando VN a 
tensão entre os nós N e n, tem‐se:
•
Conexão Y‐Y equilibrado
• A soma das correntes de linha In
é zero:
• Tensões de fase:
• As conexões de a–A, b–B e c–C, 
são chamadas de linha ou fase‐
fase
– Tensão de linha ou tensão de fase‐
fase:
•
( ) 0n a b cI I I I    
, ,an bn cnV V V
, ,ab bc caV V V
f-f fn3LV V V   3ab anV V 
f f f
f
f
f
 0 , 120 , 120
 3 30
 3 90
 3 210
an bn cn
ab an nb an bn
bc bn cn
ca cn an cn na
V V V V V V
V V V V V V
V V V V
V V V V V V
        
      
    
      
Conexão Y‐Y Balanceado
( ) 0n a b cI I I I    
f-f
f3 3 3 3
L ab bc ca
an bn cn
V V V V V
V V V V
   
   
f an bn cnV V V V  f f
2
f
f
f
2 2
 
 3 90
1
1
 3
3 3
210
3 30
10ab
bc
ca
a a
a a
V V
V V
V V
V V
a
a 


   
  
     

 



     
f f
f f
f f
2
 0 
 120
 120
1an
bn
cn
a
V V
V V V
V V a
V
V
    
    
    1 120a  
21 3 30a   
9( 1 3 0)a a   
1 3 150a   
Exemplo
• Um sistema CBA trifásico a quatro condutores, 208 volts, alimenta uma 
carga em estrela, constituída por impedâncias iguais de 20∠ 30° ohms. 
Determinar as correntes de linha e traçar o diagrama de fasores.
• Solução
– Aplicadas as tensões e representados 
os sentidos positivos das correntes 
de linha e de fase
•
Solução
Exemplo
• Um sistema ABC trifásico a três condutores, 110 volts, alimenta uma carga 
em triângulo, constituída por três impedâncias iguais de 5∠45° ohms. 
Determinar as correntes de linha 𝐼 , 𝐼𝐵 e 𝐼𝐶 e traçar o diagrama de 
fasores.
• Solução
– Aplicadas as tensões e representados 
os sentidos positivos das correntes 
de linha e de fase
•
•
Solução
Equivalente monofásico
• Os circuitos trifásicos balanceados 
ou equilibrado podem ser 
analisados   "por fase".
• Observa‐se uma fase, por exemplo 
a fase a, e analisa‐se o circuito 
equivalente monofásico.
• Como o circuito é equilibrado, 
pode‐se facilmente obter os outros 
valores de fase usando seus 
relacionamentos de fase.
Exemplo
• Um sistema ABC trifásico a três condutores, 110 volts, alimenta 
uma carga em triângulo, constituída por três impedâncias iguais 
de  ohms. Determinar as correntes de linha  ,  𝐵 e  𝐶 e 
traçar o diagrama de fasores. Calcular as correntes de linha do 
exemplo anterior pelo método do equivalente monofásico.
•
Solução
• As correntes de linha IA, IB e IC estão atrasadas de 45°em relação 
a suas respectivas tensões VAN, VBN e VCN,
5 45
3 3Y
ZZ    
Z Z
Z
YZ
YZ
YZ
110 63,5 0
3anV    
anVfn 63,5 0 38,1 45
5 3 45L Z
 
    
 
VI
solução
110 VLV 
Exemplo
• Uma fonte trifásica, 2400 V, sequência ABC, alimenta 
duas cargas equilibradas conectadas em paralelo
• Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e
• Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo.
• Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou 
seja, o ângulo de fase de VAN é igual a zero), 
determinar:
– a) O circuito equivalente por fase (diagrama de 
impedância).
– b) As correntes de linha das Fases A, B e C.
– c) Desenhe o diagrama fasorial de tensões e correntes.
Solução
Observar que quando se realiza 
análise por fase é melhor 
empregar o circuito equivalente 
em estrela; se a conexão do 
equipamento é em triângulo, 
pode‐se converter para o seu 
circuito equivalente em estrela.
• b) As correntes de linha das Fases A, B e C.
Exercício
• Uma fonte trifásica, 2400 V, sequência BAC, alimenta duas 
cargas equilibradas conectadas em paralelo e ambas em 
– Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e
– Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo.
• Sabendo que a tensão da Fase A VAN tem fase igual a 90°
determinar:
– a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância).
– b) As correntes de linha das Fases A, B e C.
– c) Desenhe o diagrama fasorial de tensões e correntes.
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
DESEQUILIBRADO