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Apostila Calculo I

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Significado Geométrico da Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=′(x)f inclinação da tangente T no ponto P(x, f(x)) 
 
N = reta normal ao gráfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x)) 
 
Exemplo: 
 
 Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função 
2x4f(x)y −== nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3). 
 
 No ponto (2,0) 2a 2(x) f =∴=′ 
2
1
−=na 
 
 
2-2x y 
2)-2(x y T de Equação
=
=
 
 
 equação de N ( )2-x
2
1
 - =y → 1 x 
2
1
 - +=y 
 
 No ponto (-1,3): 2a 2(x) f =∴=′ 
x 
y 
Apostila de Cálculo I 
 
21 
 
 
52x y 
1)2(x3 y T de Equação
+=
+=−
 
 
 equação de N ( )1x
2
1
 - 3 - +=y 
 
 
2
5
 x 
2
1
 - +=y 
 
Exercícios: 
 
1) Dada a função x2xy 2 −= e o ponto P(4,12), determine a equação das retas 
normal e tangente ao gráfico da função no ponto P. 
 
2) Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 
dada: 
a) 1 x, 52)( 2 =−= xxf 
b) 2 x, 1)( ==
x
xf 
 
3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função dada é paralela ao 
eixo x: 
a) xxxy 4
2
3
3
23
−−= 
b) 103 += xy 
c) xxy 44 += 
 
4) Achar a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto de 
abcissa dada: 
 
a) -1 x, 12)( 3 =−+= xxxf 
Apostila de Cálculo I 
 
22 
b) 4 x, == xy 
 
5) Determinar as abcissas dos pontos do gráfico 132 23 −+−= xxxy 
nos quais a tangente é: 
a) paralela à reta 3 y – 9 x – 4 = 0 
b) perpendicular à reta 7 y = -x + 21 
 
 
 
Derivadas de Ordem Superior 
 
segunda derivada 
dx
yd
dx
dy
dx
d(x) f
primeira derivada y
dx
dy(x) f
f(x) y 
''
2
2
y==


=′′
′==′
=
 
 
 
terceira derivada y 
dx
yd
dx
yd
dx
d(x) f '''3
3
2
2
==



=′′′
 
ny==
n
n
n
dx
yd(x)f
geral modo um De
 
 
Exemplos: Calcular :y e y, y ′′′′′′ : 
 
a) xxxy 24 48 +−= 
 
 2168 37' +−= xxy 
 
26" 4856 xxy −= 
Apostila de Cálculo I 
 
23 
 
 xxy 96336 5'" −= 
 
b) xxxxy −+−= 32 4024 
 
 
2
1
2'
2
112028
−
−+−= xxxy 
 
 
2
3
''
4
12408
−
++= xxy
 
 
 
2
5
'''
8
3240
−
−= xy 
 
 
Exercícios: Calcular :y e y, y ′′′′′′ 
 
113x5x4x y1) 6
1
57
−+−= 
 
x
1xy)2
2
−
= 
3) 12
1
8 15xxxy −
−
++= 
 
4) 2
3 4
x
xy −=
 
 
5) ( )( )132 −+= xxy 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
24 
Regra da Cadeia 
 
 Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, então a 
função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por: 
 
 
( ) ( )xguf
dx
du
du
dy
dx
dy
''
 . . ==
 
 
 Para derivar ( )22 1+= xy podemos expandir a função e depois 
derivar, ou seja: 
 
 
( )1444
12)(
23
24
+=+=′
++==
xxxxy
xxxfy
 
 
 Se quisermos derivar a função ( )1002 1xy += só conseguiremos resolver 
através da regra da cadeia. 
 
 Assim: 
 
 
( ) ( )992992
2
99100
2
1x x 200.2x 1x100
dx
dy
 
2x
dx
du
 1xu
100u
du
dy
 uy
1xu
+=+=
=⇒+=
=⇒=
+=
 
 
Nesse caso a propriedade é: 
 
'1'
 . . uunyuy nn −−−−====⇒⇒⇒⇒==== 
Apostila de Cálculo I 
 
25 
Exemplos: 
 
1) 422 ++= xxy = ( )212 42 ++ xx 
 
 
( ) ( ) ( )
42
12242
2
1
2
2
1
2'
++
+
=+++=
−
xx
x
xxxy 
 
( )204 108 )2 −+= xxy 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )31943194' 2108804810820 xxxxxxy +−+=+−+= 
 
 
Exercícios: Calcular y′para a s funções: 
 
1) 
5 4 1
1
+−
=
xx
y 
 
2)
3
2
2
3
−
+
=
x
xy 
 
3) 
1
12
+
−
=
x
xy
 
 
4) ( )82 24 +−= xxy 
 
5) 3 4 12 +−= xxy 
 
6) ( ) 52.13 6 −+= xxy 
 
7) ( ) 578xy −−= 
 
Apostila de Cálculo I 
 
26 
8) ( )424 158 +−= wwy 
 
9) ( ) ( )223 98.76 +−= xxy 
 
3 3 278 )10 += ry 
 
11) 
4-3s
1y = 
 
12) 
94x
32xy
2 +
+
= 
 
13) 543 x
3
x
2
x
1
 y ++= 
 
14) ( )22 5x3x
1y
++
=
 
 
15) ( )( )1x23x4y 2 +−= 
 
16) ( )34x3
1x5y
+
−
= 
 
 
Derivada das Funções Trigonométricas 
 
 
Derivada da função seno 
 
x
dx
dyyxsenxfySe cos )( ==⇒== 
 
Apostila de Cálculo I 
 
27 
Pela Regra da Cadeia: uu
dx
dyyusenySe cos '' ========⇒⇒⇒⇒==== 
 
 
Derivada da função cosseno 
 
( )2122222 sen1 xcos sen1cos 1cossen
 cos)( 
xxxxx
xxfy
−=→−=→=+
==
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny
xsenxy
−=−=−−=
−==
−−
cos.2cos
2
1
cos.21
2
1
1cos
2
1
22
1
2'
2
1
2
 
 
∴ xsen
dx
dyyxxfySe cos)( −==⇒== 
 
Pela Regra da Cadeia: usu
dx
dyyuySe en cos '' −−−−========⇒⇒⇒⇒==== 
 
Exemplos: 
 
Calcular as derivadas de: 
 
( )1xsen y1) 2 += 
 
 
( ).2x1x cos
dx
dyy 2 +==′ 
 
 
( )1x2xcosy 2 +=′ 
 
Apostila de Cálculo I 
 
28 
2) xseny = 
 
2
1
x
2
1
.xcosy
−
= 
 
 x
x
y cos
2
1
=′ 
 
( ) ( )21 )3 3202 ++= xsenxy 
 
 
( )202 1+= xf ⇒ ( ) x2.1x20f 192 +=′ 
 
( )2sen 3 += xg ⇒ ( )2xcos.x3g 32 +=′ 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192 +++++=′ 
 
4) 2
cos
x
xy =
 
 
 
xgxg
senxfxf
2 
 cos
'2
'
=⇒=
−=⇒=
 
 
 
3
 cos 2 cos 2 
4
2
'
x
xxsenx
x
xxxsenxy −−=−−= 
 
 
Derivada da função tangente 
 
 xcos
 en
 )( xsyxtgxfySe =⇒== 
 
 
xsengxg
xfxsenf
 cos
cos 
'
'
−=⇒=
=⇒=
 
Apostila de Cálculo I 
 
29 
 
 x
xx
xsenxy 222
22
' sec
cos
1
cos
cos
==
+
= 
 
Pela Regra da Cadeia: usu
dx
dyyutgySe ec 2'' ========⇒⇒⇒⇒==== 
 
 
Derivada da função cotangente 
 
 xsen
 os
 cot)( xcyg xxfySe =⇒== 
 
 
xgxseng
xsenfxf
 cos 
 cos
'
'
=⇒=
−=⇒=
 
 
 
x
xsenxsen
xxseny 222
22
' seccos
1cos
−=
−
=
−−
=
 
 
 
Pela Regra da Cadeia: usu
dx
dyyugySe eccos cot 2'' −−−−========⇒⇒⇒⇒==== 
 
 
Derivada da função secante 
 
 
 
x
x
xy 1cos
cos
1
sec −===
 
 
 ( ) tgx.xsec
xcos
xsen
xsenxcos1y 2
2
==−−=′
−
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
30 
 Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== ⇒ utguuy ′′′′====′′′′ . . sec 
 
 
Derivada da função cossecante 
 
 
 xsen
xsen
1
xseccosy 1−=== 
 
 ( ) ( )