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Apostila de Cálculo I 1 Apostila de Cálculo I 2 Limites Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em módulo de x-a tende a zero. ( ax ≠ ). Escreve-se: ax → ( x tende a a). Exemplo : Se .1,2,3,4,..N , N 1 x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero. Definição: f(x) lim ax→ é igual a L se e somente se, dado 0 ε e ax 〉→ , existe 0 δ 〉 tal que se ε a- x 0 〈〈 então δ L-(x) f 〈 . Propriedades: constante) C ( C C 1. lim ax == → [ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlim axaxax →→→ ±=± [ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlim axaxax →→→ = [ ] n ax n ax (x) f (x) f 4. limlim = →→ (x) g (x) f (x) g (x) f 5. lim lim lim ax ax ax → → → = n ax n ax (x) f(x) f .6 lim lim →→ = Apostila de Cálculo I 3 Constante C , limCC .7 (x) f(x) f ax axlim == → → (x) f log (x) flog .8 limlim ax b b ax →→ = polinomial função uma é (x) P onde (a) P (x) P .9 lim ax = → L (x) h então , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlim axaxax ===→∀≤≤ →→→ Exemplos: 1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim 2x =+=+ → 2) adoindetermin 0 0 22 42 2 4x 22 2x lim = − − = − − → x ( )( ) ( ) 4 2x 2x 2x2x 2 4x limlimlim 2x2x 2 2x =+= − −+ = − − →→→ x 3) ( ) adoindetermin 0 0 0 22 0 220 x 2 - 2x lim 0x = − = −+ = + → ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4222122 12 2x 1 2 2xx. 22 2 2xx. 2 2x.2 - 2x x 2 - 2x lim limlimlim 0x 0x0x0x == + = ++ = ++ −+ = ++ +++ = + → →→→ x Apostila de Cálculo I 4 Exercícios : 1) Calcular os limites: a) 3 4x 2 1x lim + + → x b) 3 2 2x x1 x2x -8 lim − + → c) 2 8x 3 2x lim − − → x d) ( ) x x-4 - 2 lim 0x→ e) 2y 8y 3 2x lim + + −→ f) 2-2x 23 2 1x lim +− → xx g) 6-x-2x 103 2 2 2x lim −+ → xx h) 5-x 23 lim 5x −− → x i) 3x- 2 23 1x lim + − −→ xx j) x-4 7 3 2x lim xx −− → l) 3-x 27 3 3x lim − → x m) ( )273x 2 3x lim +− → x n) ( ) ( )[ ]13 1x 2.4x lim − −→ ++ x o) 2t 65tt 2 2x lim + ++ → p) 2t 65tt 2 2x lim − +− → Apostila de Cálculo I 5 3 x 3 1 -1 y Limites Laterais Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores menores que a, f (x) tende ao número 1L . Este fato é indicado por: 1 ax L (x) f lim - = → Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores que a, f (x) tende ao número 2L . Este fato é indicado por: 2 ax L (x) f lim = +→ Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de f em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a . Exercícios : 1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: a) (x) lim -3x f → b) (x) lim 3x f +→ c) (x) lim 3x f → d) (x) lim x f ∞→ e) (x) lim x f −∞→ f) (x) lim 4x f ∞ Apostila de Cálculo I 6 1 x y 0,5 2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: a) (x) lim 1x f +→ b) (x) lim 1x f −→ c) (x) lim 1x f → d) (x) lim x f ∞→ e) (x) lim x f −∞→ . 3) Dada a função 31)( −+= xxf , determinar, se possível, (x) lim -3x f → e (x) lim 3x f +→ . 4) Seja f(x) = 〉 = 〈+ 2 xpara x-9 2 xpara 2 2 xpara 1 2 2x . Determinar: (x) lim -2x f → , (x) lim 2x f +→ , (x) lim 2x f → . 5) Seja f(x) = 〉 ≤− 3 xpara 7-3x 3 xpara 1x .. Determinar (x) lim -3x f → , (x) lim 3x f +→ , (x) lim 3x f → , (x) lim -5x f → , (x) lim 5x f +→ , (x) lim 5x f → . Apostila de Cálculo I 7 Limites Infinitos Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlim axax - +→→ pode ocorrer que , ao tender x para a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites. Por exemplo: 2 1(x) f − = x . Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite: x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000 Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite: x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 Assim : 2-x 1 e 2-x 1 limlim 2x2x −∞=∞= −+ →→ . São consideradas indeterminações: )()( )( 0. 0 0 ±∞±±∞ ∞± ∞±±∞ Exemplos: 1) adoindetermin 1x x 2 x lim ∞ ∞ = ++∞→ ∞== + = + = + +∞→+∞→+∞→ 0 1 x 1 x 1 1 x 1x x x 1x x 2 x 2 2 2 x 2 x limlimlim Apostila de Cálculo I 8 2) adoindetermin xx 32x 3 x lim ∞ ∞ = + + +∞→ 0 1 0 x 11 x 3 x 2 x xx x 32x xx 32x 2 32 x 3 3 3 x 3 x limlimlim == + + = + + = + + +∞→+∞→+∞→ Exercícios: 1) Seja 12x 3x5(x) f + + = . Determinar: a) (x) f lim x +∞→ b) (x) f lim x −∞→ c) (x) f lim ) 2 1(x +−→ d) (x) f lim ) 2 1(x −−→ 2) Calcular: a) ( )2-x1 lim )2(x + +→ b) ( ) 3x 10-2x1 lim )5(x + + +→ c) ( )3)4(x 4-x 1 lim −→ d) ( )3)4(x 4-x 1 lim +→ e) 23 5x2 2 2 x lim ++ − −∞→ xx f) 6xx 13x x 2 2 2x lim −+ ++− +→ g) 6xx 13x x 2 2 2x lim −+ ++− −→ Apostila de Cálculo I 9 y x x y x y a a a Continuidade O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções f(x), abaixo, são todas descontínuas: f(x) f(x) limlim axax - +→→ ≠ f(a) f(x) lim ax ≠ → −∞= ∞= +→ → f(x) f(x) lim lim ax ax - Definição: Uma função é contínua em um ponto A se: a) f (a) é definida b) (x) f lim x a→ existe c) (x) f lim x a→ = f (a) A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita. Exemplos: Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:Apostila de Cálculo I 10 a) 〉 = 〈− = 1 x x - 1 1 x 1 1 x x1 f(x) 2 em x =1. f(1) = 1 0 x- 1 lim (x) f lim 2 1x1x == −→−→ 0 x - 1 lim x - 1 lim (x) f lim 1x1x1x === +→+→+→ f é descontínua por ponto ou removível em x = 1. Para remover a descontinuidade basta fazer f(x)=0 para x = 1. b) 〉 = 〈− = 2 x 8-3x 2 x 4 2 x 23 f(x) 2 x no ponto x=2. L14 2-3x lim (x) f lim 2x2x === −→−→ L24 8-3x lim (x) f lim 2 2x2x === +→+→ como L1 = L2 =f(2) então a função é contínua. Exercícios: Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:: a) 〉 = 〈 −− − = 3 x 3-x 1-2-x 3 x 2 3 x 932 27x f(x) 2 3 xx em x =3. Apostila de Cálculo I 10 b) ≠ −− = = 2 x 2-x 253x 2 x 7 f(x) 2 x c) 〉+ = 〈 = 0 x x 2-4x 0 x 3 0 x f(x) x xsen 3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe (x) f lim 1x→ : 〈 ≥ − − = 1 x A)-(x 1x 1- 1 1x f(x) 2 2 x Apostila de Cálculo I 12 1x 0x x ∆y ∆x )f(x1 P Q β Derivada de uma Função Acréscimo da variável independente Dados 10 xe x denominam incremento da variável x, à diferença: 01 xx∆x −= Acréscimo de uma função Seja y = f(x) contínua. Dados 10 xe x podem-se obter )f(x e )f(x 10 . À diferença )f(x)f(x∆y 01 −= chama-se acréscimo ou variação da função f(x). Como ∆xxx 01 += , então: )f(x∆x)f(x∆y 00 −+= Graficamente: β tg ∆x ∆y = y )(x f 0 01 xx∆x −= 1x 0 x x Apostila de Cálculo I 13 Razão Incremental O quociente da variação da função ∆y pelo incremento da variável independente ∆x é chamado razão incremental. ∆x )f(x∆x)f(x ∆x ∆y 00 −+ = Trocando 0x por x (fixo momentaneamente), temos: ∆x f(x)∆x)f(x ∆x ∆y −+ = Observe que a razão incremental é o coeficiente angular ( βtg ) da reta secante s, que passa por P e Q. Derivada de uma função num ponto x: eja y = f(x) contínua. Calculamos a razão incremental ∆x ∆y . O limite da razão incremental para o acréscimo ∆x tendendo a zero é definido como a derivada da função f(x). Ela pode ser indicada como: (x)fy ′=′ Lagrange Dy = Df(x) Cauchy dx df dx dy = Leibnitz y& Newton Apostila de Cálculo I 14 x x y∆ x∆ )xx(f ∆+ P Q β α f (x) s xx ∆+ t α Então: ∆x ∆y 0∆x lim(x)f → =′ ou ∆x f(x)-∆x)f(x 0∆x lim(x)f ++++ →→→→ ====′′′′ Quando 0∆x → , a reta secante s tende para a reta tangente t , α tgβ tg → e α tg(x)f =′ . Geometricamente (x)f ′ mede a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(x, f(x)). Exemplo: Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definição )(xf ′ . ∆x f(x)-∆x)f(x 0∆x lim(x)f + → =′ Cf(x) = C∆x)f(x =+ y Apostila de Cálculo I 15 ∴ 0 ∆x 0 0∆x lim ∆x C-C 0∆x lim(x)f = → = → =′ Então se f(x) = C 0 (x) f =′→ . Propriedades 1. Propriedade f(x) = C 0 (x) f ====′′′′→→→→ . 2. Propriedade 1-nn x n(x) f xf(x) ====′′′′→→→→==== Exemplos: a) 67 7x(x) f xf(x) =′→= b) x2 1 x 2 1 x 2 1(x) f x(x) f xf(x) 2 11 2 1 2 1 ===′→=∴= − − Exercícios: Calcular a derivada das funções: a) 34xf(x) = b) 97xf(x) = c) 4 3 xf(x) = 3. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′++++′′′′====′′′′++++ 4. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′−−−−′′′′====′′′′−−−− Exemplos: Apostila de Cálculo I 16 a) 3x2xf(x) 74 += 63 21x8x (x) f +=′ b) 10x3xf(x) 49 −= 38 40x27x (x) f −=′ c) 4x3xf(x) 5 2 3 1 −= x 5 24.x 3 13. (x) f 15 21 3 1 =−=′ − − 5 3 3 2 5x 8 x 1 − 5. Propriedade (x)g . f(x)g(x) . (x)f (x) g) (f. ′′′′++++′′′′====′′′′ Exemplos: a) 1).(xxF(x) 23 += 2x(x) g 1xg(x) 3x(x) f x(x) f 2 23 =′→+= =′→= 24 322 3x5x(x) F 2x .x1)(x .3x(x) F +=′ ++=′ b) )2x2x).(x(xF(x) 23 2 3 ++= 4xx 3 2(x) g )2x(xg(x) 23x(x) f 2x)(xf(x) 3 1 23 2 23 +=′→+= +=′→+= − Apostila de Cálculo I 17 23 2 43 8 3 1 323 2 2 12xx 3 1010xx 3 11(x)F 4x)x 3 22x).((x )2x2).(x(3x(x)F +++=′ +++++=′ − c) )x4)(2(xF(x) 92 ++= 4x36x11x(x) F )4).(9x(x)x2x.(2(x) F 9x(x) g x2g(x) 2x(x) f 4xf(x) 810 829 89 2 ++=′ +++=′ =′→+= =′→+= 6. Propriedade (((( ))))2g(x) (x)g . f(x)g(x) . (x)f (x) g (x) f ′′′′−−−−′′′′ ====′′′′ Exemplos: a) 2x x1y −= 3 4 2 4 22 22 2 2 x 2xy x x2x x x2xx )(x x).(2x)(1)(-1).(xy 2x(x) g xg(x) -1(x) f x 1f(x) − =′ − = +−− = −− =′ =′→= =′→−= Apostila de Cálculo I 18 b) 2x1 3xy − + = 22 2 22 2 2 )x(1 16xxy )x(1 2x)3).((x)x-1.(1y -2x(x) g x-1g(x) 1(x) f 3xf(x) − ++ =′ − −+− =′ =′→= =′→+= a) 7x 65xxy 2 2 − +− = 2x(x) g 7-xg(x) 5-2x(x) f 65x-xf(x) 2 2 =′→= =′→+= 22 2 22 22 7)(x 3526x5xy 7)(x 6).(2x)5x(x7)-5).(x-(2xy − +− =′ − +−− =′ Apostila de Cálculo I 19 Exercícios: Calcular as derivadas das funções: 1) 42 t )t(1y −= 2) 5)1)(z2z(zy 23 −+−= 3) )2x2x)(x(xy 23 2 3 +−= 3) x 2xy 2 3 − = 4) 1)3)(3x(xy 2 −+= 5) 9z2 3zz8y 2 − +− = 6) 7 t 2 1t 5 3 y 2 + − = 7) 32 xxx1 1y +++ = 8) ( ) 5xx 4 3 12x3xy 2 24 + +− = 9) 32 1111 xxx y +++= 10) 2 13 xx y −= Apostila de Cálculo I 20 x )x(f T ))x(fa( ′= β N ′ −= )x(f 1 aSignificado Geométrico da Derivada =′(x)f inclinação da tangente T no ponto P(x, f(x)) N = reta normal ao gráfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x)) Exemplo: Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função 2x4f(x)y −== nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3). No ponto (2,0) 2a 2(x) f =∴=′ 2 1 −=na 2-2x y 2)-2(x y T de Equação = = equação de N ( )2-x 2 1 - =y → 1 x 2 1 - +=y No ponto (-1,3): 2a 2(x) f =∴=′ x y Apostila de Cálculo I 21 52x y 1)2(x3 y T de Equação += +=− equação de N ( )1x 2 1 - 3 - +=y 2 5 x 2 1 - +=y Exercícios: 1) Dada a função x2xy 2 −= e o ponto P(4,12), determine a equação das retas normal e tangente ao gráfico da função no ponto P. 2) Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa dada: a) 1 x, 52)( 2 =−= xxf b) 2 x, 1)( == x xf 3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função dada é paralela ao eixo x: a) xxxy 4 2 3 3 23 −−= b) 103 += xy c) xxy 44 += 4) Achar a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto de abcissa dada: a) -1 x, 12)( 3 =−+= xxxf Apostila de Cálculo I 22 b) 4 x, == xy 5) Determinar as abcissas dos pontos do gráfico 132 23 −+−= xxxy nos quais a tangente é: a) paralela à reta 3 y – 9 x – 4 = 0 b) perpendicular à reta 7 y = -x + 21 Derivadas de Ordem Superior segunda derivada dx yd dx dy dx d(x) f primeira derivada y dx dy(x) f f(x) y '' 2 2 y== =′′ ′==′ = terceira derivada y dx yd dx yd dx d(x) f '''3 3 2 2 == =′′′ ny== n n n dx yd(x)f geral modo um De Exemplos: Calcular :y e y, y ′′′′′′ : a) xxxy 24 48 +−= 2168 37' +−= xxy 26" 4856 xxy −= Apostila de Cálculo I 23 xxy 96336 5'" −= b) xxxxy −+−= 32 4024 2 1 2' 2 112028 − −+−= xxxy 2 3 '' 4 12408 − ++= xxy 2 5 ''' 8 3240 − −= xy Exercícios: Calcular :y e y, y ′′′′′′ 113x5x4x y1) 6 1 57 −+−= x 1xy)2 2 − = 3) 12 1 8 15xxxy − − ++= 4) 2 3 4 x xy −= 5) ( )( )132 −+= xxy Apostila de Cálculo I 24 Regra da Cadeia Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, então a função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por: ( ) ( )xguf dx du du dy dx dy '' . . == Para derivar ( )22 1+= xy podemos expandir a função e depois derivar, ou seja: ( )1444 12)( 23 24 +=+=′ ++== xxxxy xxxfy Se quisermos derivar a função ( )1002 1xy += só conseguiremos resolver através da regra da cadeia. Assim: ( ) ( )992992 2 99100 2 1x x 200.2x 1x100 dx dy 2x dx du 1xu 100u du dy uy 1xu +=+= =⇒+= =⇒= += Nesse caso a propriedade é: '1' . . uunyuy nn −−−−====⇒⇒⇒⇒==== Apostila de Cálculo I 25 Exemplos: 1) 422 ++= xxy = ( )212 42 ++ xx ( ) ( ) ( ) 42 12242 2 1 2 2 1 2' ++ + =+++= − xx x xxxy ( )204 108 )2 −+= xxy ( ) ( ) ( ) ( )31943194' 2108804810820 xxxxxxy +−+=+−+= Exercícios: Calcular y′para a s funções: 1) 5 4 1 1 +− = xx y 2) 3 2 2 3 − + = x xy 3) 1 12 + − = x xy 4) ( )82 24 +−= xxy 5) 3 4 12 +−= xxy 6) ( ) 52.13 6 −+= xxy 7) ( ) 578xy −−= Apostila de Cálculo I 26 8) ( )424 158 +−= wwy 9) ( ) ( )223 98.76 +−= xxy 3 3 278 )10 += ry 11) 4-3s 1y = 12) 94x 32xy 2 + + = 13) 543 x 3 x 2 x 1 y ++= 14) ( )22 5x3x 1y ++ = 15) ( )( )1x23x4y 2 +−= 16) ( )34x3 1x5y + − = Derivada das Funções Trigonométricas Derivada da função seno x dx dyyxsenxfySe cos )( ==⇒== Apostila de Cálculo I 27 Pela Regra da Cadeia: uu dx dyyusenySe cos '' ========⇒⇒⇒⇒==== Derivada da função cosseno ( )2122222 sen1 xcos sen1cos 1cossen cos)( xxxxx xxfy −=→−=→=+ == ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny xsenxy −=−=−−= −== −− cos.2cos 2 1 cos.21 2 1 1cos 2 1 22 1 2' 2 1 2 ∴ xsen dx dyyxxfySe cos)( −==⇒== Pela Regra da Cadeia: usu dx dyyuySe en cos '' −−−−========⇒⇒⇒⇒==== Exemplos: Calcular as derivadas de: ( )1xsen y1) 2 += ( ).2x1x cos dx dyy 2 +==′ ( )1x2xcosy 2 +=′ Apostila de Cálculo I 28 2) xseny = 2 1 x 2 1 .xcosy − = x x y cos 2 1 =′ ( ) ( )21 )3 3202 ++= xsenxy ( )202 1+= xf ⇒ ( ) x2.1x20f 192 +=′ ( )2sen 3 += xg ⇒ ( )2xcos.x3g 32 +=′ ( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192 +++++=′ 4) 2 cos x xy = xgxg senxfxf 2 cos '2 ' =⇒= −=⇒= 3 cos 2 cos 2 4 2 ' x xxsenx x xxxsenxy −−=−−= Derivada da função tangente xcos en )( xsyxtgxfySe =⇒== xsengxg xfxsenf cos cos ' ' −=⇒= =⇒= Apostila de Cálculo I 29 x xx xsenxy 222 22 ' sec cos 1 cos cos == + = Pela Regra da Cadeia: usu dx dyyutgySe ec 2'' ========⇒⇒⇒⇒==== Derivada da função cotangente xsen os cot)( xcyg xxfySe =⇒== xgxseng xsenfxf cos cos ' ' =⇒= −=⇒= x xsenxsen xxseny 222 22 ' seccos 1cos −= − = −− = Pela Regra da Cadeia: usu dx dyyugySe eccos cot 2'' −−−−========⇒⇒⇒⇒==== Derivada da função secante x x xy 1cos cos 1 sec −=== ( ) tgx.xsec xcos xsen xsenxcos1y 2 2 ==−−=′ − Apostila de Cálculo I 30 Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== ⇒ utguuy ′′′′====′′′′ . . sec Derivada da função cossecante xsen xsen 1 xseccosy 1−=== ( ) ( )xtgcossecx.co xsen cosx cosxx sen 1y 2 2 −= − =−=′ − Pela Regra da Cadeia: Se ug. u . -yu y ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒==== cotseccos seccos Exemplos: Calcular as derivadas de: ( )1x2xtgy )1 2 ++= [ ] ( )1x2xsec2x2y 22 +++=′ 2) x tgxy seccos = xgxgxg xfxtgf cot. seccos seccos sec 1 2' −=⇒= =⇒= x gxtgxxxxy 2 2 ' seccos cot..seccosseccos.sec + = = x x seccos 1sec 2 + Apostila de Cálculo I 31 Exercícios: ( ) ( )1sec3cot)1 3 ++= xxgy ( )x5seccos.xy)2 2= ( )13xcotg3)y 53 += ( )38xsen4)y += 3 6x5tg5)y −= ( )35 5x3x cos6)y −= ( )58 xxtg7)y −= xcos1 xseny)8 + = 1x2tg x2secy)9 − = 10) )1x(tg.xsecy 2 += 11) xcotg . x cos 1y = 12) ( ) xsen1-3xtg xsec1y 2+ + = 13) xtg x x gcot x 2y 2+= 14) ( ) ( )xcosxseny −+−= 15) ( ) ( )( )22x cos 4x seny += 16) 2x sen 3x cos x y += 17) ( ) 2x sen x - x tg 1xy 2 −= 18) ( )( )1x2x2x- tgy 2 +−= 19) x tg .5x seccosy = 20) ( )12cos 22 +−= xxy 21) ( )33x cos x sen + Apostila de Cálculo I 32 du dx dy du dy dx dy dx dx dy dx dx = 1 Derivada da Função Inversa Vimos a regra da cadeia para a composição de duas funções f (x) e g(x): dx du du dy dx dy .= Para a função inversa -1fg = x u y f g x y x f f -1 Apostila de Cálculo I 33 Portanto: 1 ou 1 dx dydy dx dy dxdx dy == Derivada da Função Exponencial Se aayay xx ln ' =⇒= Pela Regra da Cadeia: Se uay ==== ⇒ aauy u ln. ′′′′====′′′′ Exemplos: Derivar: 1) 2ln2y 2y xx =′⇒= 2) 2ln.2x.22x ln2.2y 2y 222 xxx ==′⇒= Para 2,71828 e a ≅= xey = ⇒⇒⇒⇒ xey ====′′′′ Pela Regra da Cadeia: Se uey ==== ⇒ uey u ′′′′====′′′′ Exemplos: Derivar 1) 1x2ey += ⇒ ( )x2.ey 12x +=′ Apostila de Cálculo I 34 2) xey = ⇒ x2 1 .ey x=′ 3) xseney = ⇒ xcos.ey xsen=′ 4) x 1x2 ey + = ⇒⇒⇒⇒ ( ) − = +− =′ ++ 2 2 x 1x 2 2 x 1x x 1x .e x 1x.1x.x2 .ey 22 Derivada da Função Logaritmo a ln x. a ln .a dy dx x a xlogy yya ==⇒=⇒= Como: a ln x. 1 dx dy dy dx 1 dx dy =⇒= Se a lnx 1y x log y z =′⇒= Pela Regra da Cadeia: a ln u uy ulog ySe a ′′′′ ====′′′′⇒⇒⇒⇒==== Para a=e xln x log a =⇒ Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u u uy ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒ Exemplos: Derivar Apostila de Cálculo I 35 1) x 2 x 2x y xln y 2 2 ==′⇒= 2) x2 1 x x2 1 y x ln y ==′⇒= 3) 3 ln 2 1 3 ln x x2 1 y xlog3 ==′⇒ Lembrar que : ln (p . q) = ln p + ln q ln q p = ln p – ln q ln rp = r . ln p Exercícios: Derivar 1) ( )[ ]35x4.1-6x lny += 2) 3 2 2 1x 1x lny + − = 3) ( )( )2 32 5x 12xx lny + − = 4) −+= 1xx ln y 2 5) ( )4x tg.e y -2x= Apostila de Cálculo I 36 Derivadas de Funções na Forma Implícita Considere a expressão: 49yx 22 =+ Podemos isolar y em função de x: 222 x- 49 y x- 49y ±=⇒= Ficam definidas duas funções: x-49(x) f ye x-49(x) fy 22 −==== Diz-se que 2x-49(x) fy == e 2x-49(x) fy −== são funções na forma explícita (y em função de x) , enquanto 49yx 22 =+ é uma função na forma implícita. Seja 49yx 22 =+ . Usando a Regra da Cadeia : ( ) uu n. u 1-nn ′=′ , a derivada de 2y com relação a x é 2.y. y′ . Na equação inicial se derivarmos todos os termos com relação a x, temos: y x - 2y 2x -y 0y y 2 x2 ==′⇒=′+ Apostila de Cálculo I 37 Exemplos: Calcular 'y para as funções abaixo: 1) 03y x 43 =+ 3 2 3 2 32 y4 x y12 x3 - y 0y y12x3 −==′⇒=′+ 2) 4 y yx 42 =+ yg y g 2xf x f 2 ′=′⇒= =′⇒= 32 32 y4 x x y2-y 0 y y4 y x x y 2 + =′ =′+′+ 3) x4 e y cos xxsen =+ ysenx ycos x cos xsen 4 e y ey y)(-sen x ycos xcos xsen 4 3x x3 ++− =′ =′++ 4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva 1 9 y 4 x 22 =+ no ponto 2 27 ,1 . Derivando com relação a x , temos: Apostila de Cálculo I 38 y 9 2 2 x- y 0 y. y 9 2 2 x 0 y 2y. . 9 1 2x . 4 1 =′ =′+ =′+ No ponto 2 27 ,1 ⇒ 9 272 272 9 = − =′= NP aya Reta Tangente T ⇒ y - ( )1x 272 9 2 27 − − = Reta Normal N ⇒ y - ( )1x 9 272 2 27 −= Exercícios: 1) Calcular 'y para: a) 4xyx5x3 42 =−+ b) xtgyx ysen 32 =+ c) ysenxy 2= 2) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva 1543 34 +−=−+ xxyy no ponto ( )0 ,1 . Apostila de Cálculo I 39 Diferenciais de uma Função Dada uma função y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como: x (x) f dy ∆′= onde x∆ é o acréscimo da variável independente x e dy é o diferencial de y. Define-se então a diferencial da variável dependente como : dx (x) f dy ′= Lembrando o significado geométrico da derivada, temos: x (x) f (x) f )(x f x (x) f (x) f )(x f (x) f -x)_ (x f ∆′+≅∆+ ∆′≅−∆+∴ ∆+=∆ x x y Exemplos: 1) Obter um valor aproximado para 37 . 37 x x 1 x 36 x x (x) f =∆+ =∆ = =escolhendo Apostila de Cálculo I 40 x(x) f (x) f x)(x f x2 1 (x) f ∆′+=∆+ =′ 1. 362 1 36 37 += 6,08333 12 1 6 37 ≅+≅ 2) Obterum valor aproximado para 031sen 180 1x 6 30 x xsen (x) f 0 0 pi ==∆ pi == = 0,51511 31 sen 180 . 6 cos 6 sen31 sen x(x) f (x) f x)(x f 0 0 ≅ pipi + pi = ∆′+=∆+ Apostila de Cálculo I 41 Exercícios: 1) Obter um valor aproximado para a) 3 63 b) ( )41,3 c) 4 15 d) ( )303,2 e) 044cos 2) Calcular os diferenciais de: a) ( )423 2 x5 - xy += b) ( )2x3 sen y = c) x xseny = Apostila de Cálculo I 42 y x Máximo relativo Mínimo relativo Máximo absoluto a 1x b α y f(x) x 2x 3x 4x 5x Aplicações da Derivada Máximos e Mínimos de uma Função Considere a função cujo gráfico é: f(x) é crescente nos intervalos ( ) ( ) ( )54321 .,.,, xxxxxa f(x) é decrescente nos intervalos ( ) ( )4321 .,. xxxx f(x) é constante no intervalo ( )bx ,5 Seja um trecho de f(x) crescente: α )(' tgxf = se f (x) é crescente, temos 2 0 piα 〈〈 0 (x) e 0 ' 〉〉∴ ftgα Apostila de Cálculo I 43 Seja um trecho de f(x) decrescente: α )(' tgxf = se f (x) é decrescente, temos piαpi 2 〈〈 0 (x) e 0 ' 〈〈∴ ftgα Se f(x) é constante, 0 (x) ' =f . Exemplos: 1) Determinar os intervalos em que a função 24)( xxf −= é crescente e onde é decrescente. 24)( xxf −= 0 x para edecrescent é f(x) 0 x se 0 2x - 0 x para crescente é f(x) 0 x se 0 2x - 2)(' 〉∴〉〈 〈∴〈〉 −= xxf 2) Determinar os intervalos em que a função 45)( 2 ++= xxxf é crescente e onde é decrescente. 45)( 2 ++= xxxf f(x) x α y Apostila de Cálculo I 44 2 5 - x para edecrescent é f(x) 2 5 - x se 0 52x 2 5 - x para crescente é f(x) 2 5 - x se 0 52x 52)(' 〈∴〈〈+ 〉∴〉〉+ += xxf Máximos e Mínimos Relativos ou Locais Seja f(x) definida no domínio D. D x 0 ∈ é ponto de mínimo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≤ para x pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha. D x 0 ∈ é ponto de máximo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≥ para x pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha. f(x0 ) x0 x y x0 f(x0 ) x y Apostila de Cálculo I 45 Resultado: Se f (x) existe e é contínua , então num ponto de máximo ou mínimo local temos 0)(x f 0' = . Esse ponto é chamado ponto crítico de f(x). Estudo do Sinal da Derivada Segunda Para se caracterizar máximos e mínimos locais é necessário uma análise do sinal da derivada segunda da função f (x). Observe que para 0 xx 〈 temos 0 )x(f ' 〉 .Para 0 xx = temos 0 )x(f ' = e para 0 xx 〉 temos 0 )x(f ' 〈 . Logo )x(f ' é decrescente e portanto sua derivada 0. )x('' f 〈 y x0 x ′f (x) = 0 ′ 〉f (x) 0 ′ 〈f (x) 0 Apostila de Cálculo I 46 Conclusão: Dada uma função f (x): a) Calcular a derivada primeira )x(f ' . b) Obter os pontos críticos 0 x para os quais 0 )x(f ' = . c) Calcular a derivada segunda: Se 0 )x('' f 0 〈 temos que 0 x é ponto de máximo relativo. Se 0 )x('' f 0 〉 temos que 0 x é ponto de mínimo relativo Exemplos: 1) Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função 2 x- 4 (x) f = pontos críticos ( 0 )x(f ' = ) 0 x0 x2- x 2 - (x) f 0' === 0 '' x -2(x) f ∴= é ponto de máximo relativo 4 (0) f )(x f 0 == é o valor máximo relativo de f (x). 2) Idem para 2x18x122x(x) fy 23 −+−== pontos críticos 0(x) f =′ = = =+−=′ 3x 1x 018x24x6)x( f 2 Apostila de Cálculo I 47 24 - x 12 x)(f '' = 1 x 0 12 - 1) (f 0'' =∴〈= é abcissa do ponto de máximo relativo f (1) = 6 é o valor do máximo relativo 3 x 0 12 3) (f 0'' =∴〉= é abcissa do ponto de mínimo relativo f (3) = -2 é o valor do mínimo relativo Estudo da Concavidade de uma Função A concavidade de uma curva f (x) é identificada pelo sinal da derivada segunda. Se 0 )x('' f 〉 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima. Se 0 )x('' f 〈 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para baixo. Um ponto do gráfico de y = f (x) onde há mudança no sinal da derivada segunda )x('' f é chamado ponto de inflexão 0 )x('' f = . Exemplo: Seja 2x6 x 2 5 3 x(x) f y 2 3 ++−== . Determine: a) o intervalo onde f(x) é crescente e onde é decrescente. b) pontos de máximo e mínimo relativos. c) Pontos de inflexão. Solução: Apostila de Cálculo I 48 a) = = +−= 3x 2x 6x5x(x) f 2 Estudo do sinal: 1. linha : x – 2 2. linha : x – 3 3. linha : (x-2) (x-3) 2 3 - + + - - + + - + crescente f 3 x ou 2 x para 0 (x) f ⇒〉〈〉′∴ edecrescent f 3 x 2 para 0 (x) f ⇒〈〈〈′ b) pontos críticos = = =′ 3x 2x 0 (x) f Apostila de Cálculo I 49 ∴= 〉′′⇒= ∴= 〈′′⇒= =′′ relativo mínimo de é 2 133, ponto 2 13(3) f 0 (x) f 3x relativo máximo de é 3 202, ponto 3 20 (2) f 0 (x) f 2x 5- x2 (x) f c) inflexão +∴ == para - de passa (x) f 2 5 x5- x2 0 (x) f '' Máximos e Mínimos Absolutos Se y = f (x) é contínua e definida num intervalo fechado [a,b], derivável em [a,b] então existem pontos 10 xe x tais que: ( ) [ ] ( ) [ ]ba, x , (x) f x f 2) e ba, x , (x) f x f )1 1 0 ∈∀≤ ∈∀≥ 0x = ponto de mínimo absoluto de f(x) 1x = ponto de máximo absoluto de f(x) 5 2 + Apostila de Cálculo I 50 Para se obter os pontos de mínimo e máximo absoluto determina-se inicialmente os pontos de mínimo e máximo relativos. Compara-se esses valores com os da função no extremo do intervalo. Exemplo: Seja 2 x- 16 (x) fy == no intervalo [ -1, 4 ] Pontos de máximo e mínimo relativos [ ]4 1,- 0 x 0 x 2- 0 (x) f ' ∈=⇒=⇒= 0 xentão 0 )x(f como 2)x(f '''' =〈−= é ponto de máximo local e o valor máximo da função f (0)=16. Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0 Por comparação f (x) = 0 é ponto de máximo absoluto e x =4 é pontode mínimo absoluto. Exercícios: 1) Dada a função 1x9x3 3 x)x(fy 2 3 ++−== verifique os intervalos para os quais a função é crescente e decrescente. Determine os pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo. Determine o ponto de inflexão, se houver. 2) Idem para x5x3 3 x)x(fy 2 3 −+−== 3) Determinar números positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e cuja soma seja a menor possível. 4) Determinar números positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja o maior possível. 5) Encontre os pontos críticos, indicando se são máximos ou mínimos locais para ( )32 1xy −= . Apostila de Cálculo I 51 6) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produção é dado por 60x18x6x2C 23 +++= e o valor obtido na venda é dado por 2x12x60V −= , determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V –C.. 7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 2m de área, determinar as dimensões a e b de forma que o comprimento da cerca seja mínimo. 8) Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pela figura seja mínima?
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