Cálculo 1 - Apostila para estudos 2

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Apostila de Cálculo I 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
2 
 
Limites 
 
 Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em 
módulo de x-a tende a zero. ( ax ≠ ). Escreve-se: ax → ( x tende a a). 
Exemplo : Se .1,2,3,4,..N ,
N
1
x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero. 
 
 Definição: 
 
f(x) lim
ax→
 é igual a L se e somente se, dado 0 ε e ax 〉→ , existe 0 δ 〉 tal que se 
ε a- x 0 〈〈
 então δ L-(x) f 〈 . 
 
Propriedades: 
constante) C ( C C 1.
 lim
ax
==
→
 
[ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlim
axaxax →→→
±=± 
[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlim
axaxax →→→
= 
[ ] n
ax
n
ax
(x) f (x) f 4. limlim 


=
→→
 
(x) g
 (x) f 
 (x) g
 (x) f
 5.
lim
lim 
lim
ax
ax
ax
→
→
→
=


 
n
ax
n
ax
(x) f(x) f .6 lim lim
→→
= 
Apostila de Cálculo I 
 
3 
Constante C , limCC .7
(x) f(x) f
ax
axlim == →
→
 
(x) f log (x) flog .8 limlim
ax
 b b
ax →→
= 
polinomial função uma é (x) P onde (a) P (x) P .9 lim
ax
=
→
 
L (x) h então , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlim
axaxax
===→∀≤≤
→→→
 
 
Exemplos: 
1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim
2x
=+=+
→
 
2) adoindetermin 
0
0
22
42
2
4x
 
22
2x
lim =
−
−
=
−
−
→ x
 
 
( )( ) ( ) 4 2x 
2x
2x2x
 
2
4x
 limlimlim
2x2x
2
2x
=+=
−
−+
=
−
−
→→→ x
 
 
3) ( ) adoindetermin 
0
0
0
22
0
220
x
2 - 2x
 lim
0x
=
−
=
−+
=
+
→
 
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) 4222122 12 2x 1 
2 2xx.
22
 
2 2xx.
2 2x.2 - 2x
 
x
2 - 2x
 
lim
limlimlim
0x
0x0x0x
==
+
=
++
=
++
−+
=



++
+++
=
+
→
→→→
x
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
4 
Exercícios : 
1) Calcular os limites: 
a) 
3
4x
 
2
1x
lim
+
+
→ x
 
b) 3
2
2x x1
x2x -8
 lim
−
+
→
 
c) 
2
8x
 
3
2x
lim
−
−
→ x
 
d) ( )
x
 x-4 - 2
 lim
0x→
 
e) 
2y
8y
 
3
2x
lim
+
+
−→
 
f) 
2-2x
23
 
2
1x
lim +−
→
xx
 
g) 
6-x-2x
103
 2
2
2x
lim −+
→
xx
 
h) 
5-x
23
 lim
5x
−−
→
x
 
i) 
3x-
2
 
23
1x
lim
+
−
−→
xx
 
j) 
x-4
7
 
3
2x
lim
xx −−
→
 
l) 
3-x
27
 
3
3x
lim
−
→
x
 
m) ( )273x 2
3x
lim +−
→
x 
n) ( ) ( )[ ]13
1x
2.4x lim −
−→
++ x 
o) 
2t
65tt
 
2
2x
lim
+
++
→
 
p) 
2t
65tt
 
2
2x
lim
−
+−
→
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
5 
3 
x 
3 
1 
-1 
 y 
Limites Laterais 
 Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores 
menores que a, f (x) tende ao número 1L . Este fato é indicado por: 
 1
ax
L (x) f lim
-
=
→
 
 Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores 
que a, f (x) tende ao número 2L . Este fato é indicado por: 
 2
ax
L (x) f lim =
+→
 
 Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de 
f
 em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a . 
Exercícios : 
1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (x) lim
-3x
f
→
 b) (x) lim
3x
f
+→
 c) (x) lim
3x
f
→
 d) (x) lim
x
f
∞→
 e) (x) lim
x
f
−∞→
 f) (x) lim
4x
f
∞
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
6 
1 
x 
y 
0,5 
 
 2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (x) lim
1x
f
+→
 b) (x) lim
1x
f
−→
 c) (x) lim
1x
f
→
 d) (x) lim
x
f
∞→
 e) (x) lim
x
f
−∞→
. 
 
3) Dada a função 31)( −+= xxf , determinar, se possível, (x) lim
-3x
f
→
 e (x) lim
3x
f
+→
. 
 
4) Seja f(x) = 



〉
=
〈+
2 xpara x-9
2 xpara 2
2 xpara 1
2
2x
. Determinar: (x) lim
-2x
f
→
 , (x) lim
2x
f
+→
 , (x) lim
2x
f
→
. 
 
5) Seja f(x) = 



〉
≤−
3 xpara 7-3x
3 xpara 1x
.. Determinar (x) lim
-3x
f
→
 , (x) lim
3x
f
+→
 , (x) lim
3x
f
→
, 
(x) lim
-5x
f
→
, (x) lim
5x
f
+→
 , (x) lim
5x
f
→
. 
Apostila de Cálculo I 
 
7 
Limites Infinitos 
 Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlim
axax - +→→
 pode ocorrer que , ao tender x para 
a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites. 
Por exemplo: 
2
1(x) f
−
=
x
. 
Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite: 
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 
f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000 
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite: 
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 
f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
 
Assim : 
2-x
1
 e 
2-x
1
 limlim
2x2x
−∞=∞=
−+ →→
. 
São consideradas indeterminações: )()( )( 0. 
0
0 ±∞±±∞
∞±
∞±±∞ 
 Exemplos: 
 
1) adoindetermin 
1x
x
 
2
x
lim
∞
∞
=
++∞→
 
 
∞==
+
=
+
=
+ +∞→+∞→+∞→ 0
1
x
1
x
1
1
 
x
1x
x
x
 
1x
x
 
2
x
2
2
2
x
2
x
limlimlim 
Apostila de Cálculo I 
 
8 
2) adoindetermin 
xx
32x
 3
x
lim
∞
∞
=
+
+
+∞→
 
 0 
1
0
 
x
11
x
3
x
2
 
x
xx
x
32x
 
xx
32x
 
2
32
x
3
3
3
x
3
x
limlimlim ==
+
+
=
+
+
=
+
+
+∞→+∞→+∞→
 
 
Exercícios: 
1) Seja 
12x
3x5(x) f
+
+
=
 . Determinar: 
a) (x) f lim
x +∞→
 b) (x) f lim
x −∞→
 c) (x) f lim
)
2
1(x +−→
 d) (x) f lim
)
2
1(x −−→
 
 
2) Calcular: 
 a) ( )2-x1 lim
)2(x
+
+→
 b) ( )
3x
10-2x1
 lim
)5(x +
+
+→
 c) ( )3)4(x 4-x
1 
lim
−→
 
 d) ( )3)4(x 4-x
1 
lim
+→
 e) 
23
5x2 
 2
2
x
lim
++
−
−∞→ xx
 f) 
6xx
13x x
 2
2
2x
lim
−+
++−
+→
 
 g) 
6xx
13x x
 2
2
2x
lim
−+
++−
−→
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
9 
y 
x x 
y 
x 
y 
a a a 
Continuidade 
 
O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de 
limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções 
f(x), abaixo, são todas descontínuas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) f(x) limlim
axax - +→→
≠ f(a) f(x) lim
ax
≠
→
 
−∞=
∞=
+→
→
f(x) 
f(x) 
lim
lim
ax
ax -
 
 
 
Definição: Uma função é contínua em um ponto A se: 
 
a) f (a) é definida 
b) (x) f lim
x a→
 existe 
c) (x) f lim
x a→
= f (a) 
A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a 
descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita. 
 
Exemplos: 
 
Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:Apostila de Cálculo I 
 
10 
a) 



〉
=
〈−
=
1 x x - 1
1 x 1
1 x x1
f(x)
2
 em x =1. 
 
f(1) = 1 0 x- 1 lim (x) f lim 2
1x1x
==
−→−→
 0 x - 1 lim x - 1 lim (x) f lim
1x1x1x
===
+→+→+→
 
 
f é descontínua por ponto ou removível em x = 1. Para remover a descontinuidade 
basta fazer f(x)=0 para x = 1. 
 
 
b) 



〉
=
〈−
=
2 x 8-3x
2 x 4
2 x 23
f(x)
2
x
 no ponto x=2. 
 
 
L14 2-3x lim (x) f lim
2x2x
===
−→−→
 L24 8-3x lim (x) f lim 2
2x2x
===
+→+→
 
 
 
 como L1 = L2 =f(2) então a função é contínua. 
 
 
Exercícios: 
 
 
 Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:: 
 
a) 









〉
=
〈
−−
−
=
3 x 
3-x
 1-2-x
3 x 2
3 x 
932
27x
f(x)
2
3
xx
 em x =3. 
 
Apostila de Cálculo I 
 
10 
b) 



≠
−−
=
=
2 x 
2-x
253x
2 x 7
f(x)
2 x
 
 
c) 







〉+
=
〈
=
0 x 
x
 2-4x
0 x 3
0 x 
f(x)
x
xsen
 
 
3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe (x) f lim
1x→
: 
 



〈
≥
−
−
=
1 x A)-(x
1x 1- 
1
1x
f(x)
2
2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
12 
1x 0x 
x 
∆y 
∆x 
)f(x1 
P 
Q 
 
β 
Derivada de uma Função 
 
 
Acréscimo da variável independente 
 
 Dados 10 xe x denominam incremento da variável x, à diferença: 
 
01 xx∆x −= 
 
 
 
Acréscimo de uma função 
 
Seja y = f(x) contínua. Dados 10 xe x podem-se obter )f(x e )f(x 10 . À 
diferença )f(x)f(x∆y 01 −= chama-se acréscimo ou variação da função f(x). 
Como 
 
∆xxx 01 += , então: )f(x∆x)f(x∆y 00 −+= 
 
 Graficamente: β tg
∆x
∆y
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
)(x f 0 
01 xx∆x −= 
1x 0
x 
 
x 
Apostila de Cálculo I 
 
13 
Razão Incremental 
 
O quociente da variação da função ∆y pelo incremento da variável 
independente ∆x é chamado razão incremental. 
 
∆x
)f(x∆x)f(x
∆x
∆y 00 −+
=
 
 
Trocando 0x por x (fixo momentaneamente), temos: 
 
∆x
f(x)∆x)f(x
∆x
∆y −+
= 
 
Observe que a razão incremental é o coeficiente angular ( βtg ) da reta secante s, 
que passa por P e Q. 
 
 
Derivada de uma função num ponto x: 
 
 eja y = f(x) contínua. Calculamos a razão incremental 
∆x
∆y
. O limite da razão 
incremental para o acréscimo ∆x tendendo a zero é definido como a derivada da 
função f(x). Ela pode ser indicada como: 
 
 (x)fy ′=′ Lagrange 
 
 Dy = Df(x) Cauchy 
 
 
dx
df
dx
dy
=
 Leibnitz 
 
 y& Newton 
 
Apostila de Cálculo I 
 
14 
x 
x 
y∆ 
x∆ 
)xx(f ∆+ 
P 
Q 
β 
α f (x) 
s 
xx ∆+ 
t 
α
 
Então: 
∆x
∆y
 
0∆x
lim(x)f
→
=′ ou 
∆x
f(x)-∆x)f(x
 
0∆x
lim(x)f ++++
→→→→
====′′′′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando 0∆x → , a reta secante s tende para a reta tangente t , α tgβ tg → 
e α tg(x)f =′ . 
 Geometricamente (x)f ′ mede a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no 
ponto P(x, f(x)). 
 
 Exemplo: 
 
Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definição )(xf ′ . 
 
∆x
f(x)-∆x)f(x
 
0∆x
lim(x)f +
→
=′ 
 
Cf(x) = 
 
C∆x)f(x =+ 
 
 
y 
Apostila de Cálculo I 
 
15 
 ∴ 0
∆x
0
 
0∆x
lim 
∆x
C-C
 
0∆x
lim(x)f =
→
=
→
=′ 
 
 Então se f(x) = C 0 (x) f =′→ . 
 
 Propriedades 
 
1. Propriedade f(x) = C 0 (x) f ====′′′′→→→→ . 
 
2. Propriedade 1-nn x n(x) f xf(x) ====′′′′→→→→==== 
 
 
Exemplos: 
 
 a) 67 7x(x) f xf(x) =′→= 
 b) 
x2
1
 x
2
1
 x
2
1(x) f x(x) f xf(x) 2
11
2
1
2
1
===′→=∴=
−



−
 
 
Exercícios: Calcular a derivada das funções: 
 
 a) 34xf(x) = 
 b) 97xf(x) = 
 c) 4
3
xf(x) = 
 
 
3. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′++++′′′′====′′′′++++ 
 
4. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′−−−−′′′′====′′′′−−−− 
 
Exemplos: 
 
Apostila de Cálculo I 
 
16 
 a) 
 3x2xf(x) 74 += 
 
63 21x8x (x) f +=′ 
 
 b) 10x3xf(x) 49 −= 
 
38 40x27x (x) f −=′ 
 
 c) 
 4x3xf(x) 5
2
3
1
−= 
 x
5
24.x
3
13. (x) f 15
21
3
1
=−=′



−


−
5
3
3
2
5x
8
 
x
1
 − 
 
5. Propriedade (x)g . f(x)g(x) . (x)f (x) g) (f. ′′′′++++′′′′====′′′′ 
 
Exemplos: 
 
 a) 1).(xxF(x) 23 += 
 
 
2x(x) g 1xg(x)
3x(x) f x(x) f
2
23
=′→+=
=′→=
 
 
 
24
322
3x5x(x) F 
2x .x1)(x .3x(x) F
+=′
++=′
 
 
 b) )2x2x).(x(xF(x) 23
2
3 ++= 
 
 
4xx
3
2(x) g )2x(xg(x)
23x(x) f 2x)(xf(x)
3
1
23
2
23
+=′→+=
+=′→+=
−
 
Apostila de Cálculo I 
 
17 
 
23
2
43
8
3
1
323
2
2
12xx
3
1010xx
3
11(x)F
4x)x
3
22x).((x )2x2).(x(3x(x)F
+++=′
+++++=′
−
 
 
 c) )x4)(2(xF(x) 92 ++= 
 
 
4x36x11x(x) F
)4).(9x(x)x2x.(2(x) F
9x(x) g x2g(x)
2x(x) f 4xf(x)
810
829
89
2
++=′
+++=′
=′→+=
=′→+=
 
 
6. Propriedade (((( ))))2g(x)
(x)g . f(x)g(x) . (x)f
 (x) g
(x) f ′′′′−−−−′′′′
====′′′′



 
 
Exemplos: 
 
a) 2x
x1y −=
 
 
 
3
4
2
4
22
22
2
2
x
2xy
x
x2x
x
x2xx
)(x
x).(2x)(1)(-1).(xy
2x(x) g xg(x)
-1(x) f x 1f(x)
−
=′
−
=
+−−
=
−−
=′
=′→=
=′→−=
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
18 
b) 2x1
3xy
−
+
= 
 
 
22
2
22
2
2
)x(1
16xxy
)x(1
2x)3).((x)x-1.(1y
-2x(x) g x-1g(x)
1(x) f 3xf(x)
−
++
=′
−
−+−
=′
=′→=
=′→+=
 
 
 
a) 
7x
65xxy 2
2
−
+−
= 
 
 
 
2x(x) g 7-xg(x)
5-2x(x) f 65x-xf(x)
2
2
=′→=
=′→+=
 
 
22
2
22
22
7)(x
3526x5xy
7)(x
6).(2x)5x(x7)-5).(x-(2xy
−
+−
=′
−
+−−
=′
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
19 
Exercícios: 
 
Calcular as derivadas das funções: 
 
1) 42 t )t(1y −= 
 
2) 5)1)(z2z(zy 23 −+−= 
3) )2x2x)(x(xy 23
2
3 +−= 
 
3) 
x
2xy
2
3
−
= 
 
4) 1)3)(3x(xy 2 −+= 
 
5) 
9z2
3zz8y
2
−
+−
= 
 
6) 
7
t
2
1t
5
3
y
2 +
−
=
 
 
7) 32 xxx1
1y
+++
= 
 
8) ( ) 
5xx
4
3
12x3xy
2
24



+
+−
=
 
 
9) 32
1111
xxx
y +++= 
 
10) 2
13
xx
y −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
20 
x 
)x(f 
T ))x(fa( ′= 
β 
N 



′
−= )x(f
1
aSignificado Geométrico da Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=′(x)f inclinação da tangente T no ponto P(x, f(x)) 
 
N = reta normal ao gráfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x)) 
 
Exemplo: 
 
 Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função 
2x4f(x)y −== nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3). 
 
 No ponto (2,0) 2a 2(x) f =∴=′ 
2
1
−=na 
 
 
2-2x y 
2)-2(x y T de Equação
=
=
 
 
 equação de N ( )2-x
2
1
 - =y → 1 x 
2
1
 - +=y 
 
 No ponto (-1,3): 2a 2(x) f =∴=′ 
x 
y 
Apostila de Cálculo I 
 
21 
 
 
52x y 
1)2(x3 y T de Equação
+=
+=−
 
 
 equação de N ( )1x
2
1
 - 3 - +=y 
 
 
2
5
 x 
2
1
 - +=y 
 
Exercícios: 
 
1) Dada a função x2xy 2 −= e o ponto P(4,12), determine a equação das retas 
normal e tangente ao gráfico da função no ponto P. 
 
2) Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 
dada: 
a) 1 x, 52)( 2 =−= xxf 
b) 2 x, 1)( ==
x
xf 
 
3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função dada é paralela ao 
eixo x: 
a) xxxy 4
2
3
3
23
−−= 
b) 103 += xy 
c) xxy 44 += 
 
4) Achar a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto de 
abcissa dada: 
 
a) -1 x, 12)( 3 =−+= xxxf 
Apostila de Cálculo I 
 
22 
b) 4 x, == xy 
 
5) Determinar as abcissas dos pontos do gráfico 132 23 −+−= xxxy 
nos quais a tangente é: 
a) paralela à reta 3 y – 9 x – 4 = 0 
b) perpendicular à reta 7 y = -x + 21 
 
 
 
Derivadas de Ordem Superior 
 
segunda derivada 
dx
yd
dx
dy
dx
d(x) f
primeira derivada y
dx
dy(x) f
f(x) y 
''
2
2
y==


=′′
′==′
=
 
 
 
terceira derivada y 
dx
yd
dx
yd
dx
d(x) f '''3
3
2
2
==



=′′′
 
ny==
n
n
n
dx
yd(x)f
geral modo um De
 
 
Exemplos: Calcular :y e y, y ′′′′′′ : 
 
a) xxxy 24 48 +−= 
 
 2168 37' +−= xxy 
 
26" 4856 xxy −= 
Apostila de Cálculo I 
 
23 
 
 xxy 96336 5'" −= 
 
b) xxxxy −+−= 32 4024 
 
 
2
1
2'
2
112028
−
−+−= xxxy 
 
 
2
3
''
4
12408
−
++= xxy
 
 
 
2
5
'''
8
3240
−
−= xy 
 
 
Exercícios: Calcular :y e y, y ′′′′′′ 
 
113x5x4x y1) 6
1
57
−+−= 
 
x
1xy)2
2
−
= 
3) 12
1
8 15xxxy −
−
++= 
 
4) 2
3 4
x
xy −=
 
 
5) ( )( )132 −+= xxy 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
24 
Regra da Cadeia 
 
 Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, então a 
função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por: 
 
 
( ) ( )xguf
dx
du
du
dy
dx
dy
''
 . . ==
 
 
 Para derivar ( )22 1+= xy podemos expandir a função e depois 
derivar, ou seja: 
 
 
( )1444
12)(
23
24
+=+=′
++==
xxxxy
xxxfy
 
 
 Se quisermos derivar a função ( )1002 1xy += só conseguiremos resolver 
através da regra da cadeia. 
 
 Assim: 
 
 
( ) ( )992992
2
99100
2
1x x 200.2x 1x100
dx
dy
 
2x
dx
du
 1xu
100u
du
dy
 uy
1xu
+=+=
=⇒+=
=⇒=
+=
 
 
Nesse caso a propriedade é: 
 
'1'
 . . uunyuy nn −−−−====⇒⇒⇒⇒==== 
Apostila de Cálculo I 
 
25 
Exemplos: 
 
1) 422 ++= xxy = ( )212 42 ++ xx 
 
 
( ) ( ) ( )
42
12242
2
1
2
2
1
2'
++
+
=+++=
−
xx
x
xxxy 
 
( )204 108 )2 −+= xxy 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )31943194' 2108804810820 xxxxxxy +−+=+−+= 
 
 
Exercícios: Calcular y′para a s funções: 
 
1) 
5 4 1
1
+−
=
xx
y 
 
2)
3
2
2
3
−
+
=
x
xy 
 
3) 
1
12
+
−
=
x
xy
 
 
4) ( )82 24 +−= xxy 
 
5) 3 4 12 +−= xxy 
 
6) ( ) 52.13 6 −+= xxy 
 
7) ( ) 578xy −−= 
 
Apostila de Cálculo I 
 
26 
8) ( )424 158 +−= wwy 
 
9) ( ) ( )223 98.76 +−= xxy 
 
3 3 278 )10 += ry 
 
11) 
4-3s
1y = 
 
12) 
94x
32xy
2 +
+
= 
 
13) 543 x
3
x
2
x
1
 y ++= 
 
14) ( )22 5x3x
1y
++
=
 
 
15) ( )( )1x23x4y 2 +−= 
 
16) ( )34x3
1x5y
+
−
= 
 
 
Derivada das Funções Trigonométricas 
 
 
Derivada da função seno 
 
x
dx
dyyxsenxfySe cos )( ==⇒== 
 
Apostila de Cálculo I 
 
27 
Pela Regra da Cadeia: uu
dx
dyyusenySe cos '' ========⇒⇒⇒⇒==== 
 
 
Derivada da função cosseno 
 
( )2122222 sen1 xcos sen1cos 1cossen
 cos)( 
xxxxx
xxfy
−=→−=→=+
==
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny
xsenxy
−=−=−−=
−==
−−
cos.2cos
2
1
cos.21
2
1
1cos
2
1
22
1
2'
2
1
2
 
 
∴ xsen
dx
dyyxxfySe cos)( −==⇒== 
 
Pela Regra da Cadeia: usu
dx
dyyuySe en cos '' −−−−========⇒⇒⇒⇒==== 
 
Exemplos: 
 
Calcular as derivadas de: 
 
( )1xsen y1) 2 += 
 
 
( ).2x1x cos
dx
dyy 2 +==′ 
 
 
( )1x2xcosy 2 +=′ 
 
Apostila de Cálculo I 
 
28 
2) xseny = 
 
2
1
x
2
1
.xcosy
−
= 
 
 x
x
y cos
2
1
=′ 
 
( ) ( )21 )3 3202 ++= xsenxy 
 
 
( )202 1+= xf ⇒ ( ) x2.1x20f 192 +=′ 
 
( )2sen 3 += xg ⇒ ( )2xcos.x3g 32 +=′ 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192 +++++=′ 
 
4) 2
cos
x
xy =
 
 
 
xgxg
senxfxf
2 
 cos
'2
'
=⇒=
−=⇒=
 
 
 
3
 cos 2 cos 2 
4
2
'
x
xxsenx
x
xxxsenxy −−=−−= 
 
 
Derivada da função tangente 
 
 xcos
 en
 )( xsyxtgxfySe =⇒== 
 
 
xsengxg
xfxsenf
 cos
cos 
'
'
−=⇒=
=⇒=
 
Apostila de Cálculo I 
 
29 
 
 x
xx
xsenxy 222
22
' sec
cos
1
cos
cos
==
+
= 
 
Pela Regra da Cadeia: usu
dx
dyyutgySe ec 2'' ========⇒⇒⇒⇒==== 
 
 
Derivada da função cotangente 
 
 xsen
 os
 cot)( xcyg xxfySe =⇒== 
 
 
xgxseng
xsenfxf
 cos 
 cos
'
'
=⇒=
−=⇒=
 
 
 
x
xsenxsen
xxseny 222
22
' seccos
1cos
−=
−
=
−−
=
 
 
 
Pela Regra da Cadeia: usu
dx
dyyugySe eccos cot 2'' −−−−========⇒⇒⇒⇒==== 
 
 
Derivada da função secante 
 
 
 
x
x
xy 1cos
cos
1
sec −===
 
 
 ( ) tgx.xsec
xcos
xsen
xsenxcos1y 2
2
==−−=′
−
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
30 
 Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== ⇒ utguuy ′′′′====′′′′ . . sec 
 
 
Derivada da função cossecante 
 
 
 xsen
xsen
1
xseccosy 1−=== 
 
 ( ) ( )xtgcossecx.co
xsen
cosx
cosxx sen 1y 2
2
−=
−
=−=′
−
 
 
Pela Regra da Cadeia: Se ug. u . -yu y ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒==== cotseccos seccos 
 
 
Exemplos: Calcular as derivadas de: 
 
( )1x2xtgy )1 2 ++= 
 
 
[ ] ( )1x2xsec2x2y 22 +++=′ 
 
2) 
x
tgxy
seccos
= 
 
 
xgxgxg
xfxtgf
 cot. seccos seccos
sec 
1
2'
−=⇒=
=⇒=
 
 
 
x
gxtgxxxxy 2
2
'
seccos
cot..seccosseccos.sec +
= =
x
x
seccos
1sec 2 +
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
31 
Exercícios: 
 
( ) ( )1sec3cot)1 3 ++= xxgy 
 
( )x5seccos.xy)2 2= 
 
( )13xcotg3)y 53 += 
 
( )38xsen4)y += 
 
3 6x5tg5)y −= 
 
( )35 5x3x cos6)y −= 
 
( )58 xxtg7)y −= 
 
xcos1
xseny)8
+
=
 
 
1x2tg
x2secy)9
−
= 
 
10) )1x(tg.xsecy 2 += 
 
11) 
 xcotg . x cos
1y = 
 
12) ( ) xsen1-3xtg
 xsec1y 2+
+
= 
 
13) xtg x x gcot x 2y 2+= 
 
14) ( ) ( )xcosxseny −+−= 
 
15) ( ) ( )( )22x cos 4x seny += 
 
16) 
2x sen
3x cos x y +=
 
 
17) 
( ) 2x sen x - x tg 1xy 2 −= 
 
18) ( )( )1x2x2x- tgy 2 +−= 
 
19) x tg .5x seccosy = 
 
20) ( )12cos 22 +−= xxy 
 
21) ( )33x cos x sen +
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
32 
du
dx
 
dy
du
 
dy
dx
 
dy
dx
 
dx
dy
 
dx
dx
= 1
 
 
Derivada da Função Inversa 
 
Vimos a regra da cadeia para a composição de duas funções f (x) e g(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
 
Para a função inversa -1fg = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 u 
 
 
 y 
 
 f 
 g 
 
 
 x 
 
 
 
 y 
 
 
 x 
 
 f 
 
f -1
 
Apostila de Cálculo I 
 
33 
Portanto: 
 
 
 
1
 ou 
1
dx
dydy
dx
dy
dxdx
dy
==
 
 
 
Derivada da Função Exponencial 
 
 
 Se aayay xx ln ' =⇒= 
 
 Pela Regra da Cadeia: Se uay ==== ⇒ aauy u ln. ′′′′====′′′′ 
 
 
Exemplos: Derivar: 
 
1) 2ln2y 2y xx =′⇒= 
 
2) 2ln.2x.22x ln2.2y 2y 222 xxx ==′⇒= 
 
 
 Para 2,71828 e a ≅= 
 
xey = ⇒⇒⇒⇒ xey ====′′′′ 
 
 Pela Regra da Cadeia: Se uey ==== ⇒ uey u ′′′′====′′′′ 
 
 
Exemplos: Derivar 
 
1) 1x2ey += ⇒ ( )x2.ey 12x +=′ 
 
Apostila de Cálculo I 
 
34 
2) xey = ⇒ 
x2
1
.ey x=′ 
 
3) xseney = ⇒ xcos.ey xsen=′ 
 
4) x
1x2
ey
+
= ⇒⇒⇒⇒ 
( )




−
=


 +−
=′
++
2
2
x
1x
2
2
x
1x
x
1x
.e
x
1x.1x.x2
.ey
22
 
 
 
Derivada da Função Logaritmo 
 
 
a ln x. a ln .a
dy
dx
 x a xlogy yya ==⇒=⇒= 
 
 
Como: 
a ln x.
1
 
dx
dy
 
dy
dx
1
 
dx
dy
=⇒= 
 
Se 
a lnx 
1y x log y z =′⇒= 
 
Pela Regra da Cadeia: 
a ln u
uy ulog ySe a
′′′′
====′′′′⇒⇒⇒⇒==== 
 
Para a=e xln x log a =⇒ 
 
Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u 
u
uy ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒ 
 
 
Exemplos: Derivar 
 
Apostila de Cálculo I 
 
35 
1) 
x
2
 
x
2x
 y xln y 2
2
==′⇒= 
2) 
x2
1
x
x2
1
 y x ln y ==′⇒= 
3) 
3 ln 2
1
 
3 ln x
x2
1
 y xlog3 ==′⇒ 
 
Lembrar que : 
 
ln (p . q) = ln p + ln q 
 
ln 
q
p
 = ln p – ln q 
 
ln rp = r . ln p 
Exercícios: Derivar 
 
 
1) ( )[ ]35x4.1-6x lny += 
 
2) 3 2
2
1x
1x
 lny
+
−
=
 
 
3) ( )( )2
32
5x
12xx
 lny
+
−
= 
4) 


−+= 1xx ln y 2
 
 
5) ( )4x tg.e y -2x= 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
36 
Derivadas de Funções na Forma Implícita 
 
 
 Considere a expressão: 
 
49yx 22 =+ 
 
 Podemos isolar y em função de x: 
 
222
 x- 49 y x- 49y ±=⇒= 
 
 Ficam definidas duas funções: 
 
 x-49(x) f ye x-49(x) fy 22 −==== 
 
 Diz-se que 2x-49(x) fy == e 2x-49(x) fy −== são funções na forma 
explícita (y em função de x) , enquanto 49yx 22 =+ é uma função na forma 
implícita. 
 
 Seja 49yx 22 =+ . Usando a Regra da Cadeia : 
 
 
( ) uu n. u 1-nn ′=′ , a derivada de 2y com relação a x é 2.y. y′ . 
 
 Na equação inicial se derivarmos todos os termos com relação a x, 
temos: 
y
x
- 
2y
2x
-y 0y y 2 x2 ==′⇒=′+ 
 
Apostila de Cálculo I 
 
37 
Exemplos: Calcular 'y para as funções abaixo: 
 
1) 03y x 43 =+ 
 
3
2
3
2
32
y4
x
 y12
 x3 -
 y 0y y12x3 −==′⇒=′+ 
 
 
2) 4 y yx 42 =+ 
 
yg y g
2xf x f 2
′=′⇒=
=′⇒=
 
 
32
32
 y4 x
 x y2-y
0 y y4 y x x y 2
+
=′
=′+′+
 
3) x4 e y cos xxsen =+ 
 
 ysenx 
 ycos x cos xsen 4 e y
ey y)(-sen x ycos xcos xsen 4
3x
x3
++−
=′
=′++
 
 
4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva 
 
1
9
y
 
4
x 22
=+
 no ponto 



2
27
,1 . 
 
 Derivando com relação a x , temos: 
 
Apostila de Cálculo I 
 
38 
 
y
9
2
2
x-
y
0 y. y 
9
2
 
2
x
0 y 2y. . 
9
1
 2x .
4
1
=′
=′+
=′+
 
 
 No ponto 



2
27
,1 ⇒ 
9
272
 
272
9
=
−
=′= NP aya 
 
 Reta Tangente T ⇒ y - ( )1x
272
9
2
27
−
−
= 
 
 Reta Normal N ⇒ y - ( )1x
9
272
2
27
−=
 
 
Exercícios: 
1) Calcular 'y para: 
 
a) 4xyx5x3 42 =−+ b) xtgyx ysen 32 =+ c) ysenxy 2= 
 
2) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva 
1543 34 +−=−+ xxyy no ponto ( )0 ,1 . 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
39 
Diferenciais de uma Função 
 
 Dada uma função y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como: 
 
x (x) f dy ∆′= 
 
onde x∆ é o acréscimo da variável independente x e dy é o diferencial de 
y. 
 
 Define-se então a diferencial da variável dependente como : 
 
dx (x) f dy ′= 
 
 Lembrando o significado geométrico da derivada, temos: 
 
 
x (x) f (x) f )(x f
x (x) f (x) f )(x f 
(x) f -x)_ (x f 
∆′+≅∆+
∆′≅−∆+∴
∆+=∆
x
x
y
 
Exemplos: 
 
1) Obter um valor aproximado para 37 . 
 
 
37 x x 
1 x 
 
36 x 
x (x) f 
=∆+
=∆
=
=escolhendo
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
40 
 
x(x) f (x) f x)(x f
x2
1
 (x) f
∆′+=∆+
=′
 
 
 1.
362
1
 36 37 += 
 
 
6,08333 
12
1
 6 37 ≅+≅
 
 
2) Obterum valor aproximado para 031sen 
 
 
180
 1x
6
30 x
 xsen (x) f
0
0
pi
==∆
pi
==
=
 
 
 
0,51511 31 sen
180
.
6
 cos 
6
 sen31 sen
x(x) f (x) f x)(x f
0
0
≅
pipi
+
pi
=
∆′+=∆+
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
41 
Exercícios: 
 
1) Obter um valor aproximado para 
 
a) 3 63 b) ( )41,3 c) 4 15 d) ( )303,2 e) 044cos 
 
2) Calcular os diferenciais de: 
 a) ( )423 2 x5 - xy += 
 
 b) ( )2x3 sen y = 
 
 c) 
x
 xseny = 
 
Apostila de Cálculo I 
 
42 
y 
x 
Máximo 
relativo 
Mínimo 
relativo 
Máximo 
absoluto 
a 1x b 
α
 
y 
f(x) 
x 
2x 3x 4x 5x 
Aplicações da Derivada 
 
Máximos e Mínimos de uma Função 
 
 
Considere a função cujo gráfico é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f(x) é crescente nos intervalos ( ) ( ) ( )54321 .,.,, xxxxxa 
 f(x) é decrescente nos intervalos ( ) ( )4321 .,. xxxx 
 f(x) é constante no intervalo ( )bx ,5 
 
 
Seja um trecho de f(x) crescente: 
 
 α )(' tgxf = 
 
se f (x) é crescente, temos 
2
 0 piα 〈〈 
 0 (x) e 0 ' 〉〉∴ ftgα 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
43 
 
 
Seja um trecho de f(x) decrescente: 
 
 α )(' tgxf = 
 
se f (x) é decrescente, temos piαpi 
2
〈〈 
 0 (x) e 0 ' 〈〈∴ ftgα 
 
 
 Se f(x) é constante, 0 (x) ' =f . 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determinar os intervalos em que a função 24)( xxf −= é crescente e 
onde é decrescente. 
 
 
24)( xxf −= 
 
 
0 x para edecrescent é f(x) 0 x se 0 2x -
 0 x para crescente é f(x) 0 x se 0 2x -
 2)('
〉∴〉〈
〈∴〈〉
−= xxf
 
 
2) Determinar os intervalos em que a função 45)( 2 ++= xxxf é 
crescente e onde é decrescente. 
 
 45)( 2 ++= xxxf 
f(x) 
x 
α
 
y 
Apostila de Cálculo I 
 
44 
 
 
 
2
5
- x para edecrescent é f(x) 
2
5
- x se 0 52x
 
2
5
- x para crescente é f(x) 
2
5
- x se 0 52x
 52)('
〈∴〈〈+
〉∴〉〉+
+= xxf
 
 
 
 
Máximos e Mínimos Relativos ou Locais 
 
 
Seja f(x) definida no domínio D. 
 
 
D x
 0 ∈ é ponto de mínimo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≤ para x 
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D x
 0 ∈ é ponto de máximo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≥ para x 
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha. 
 
 
 
 
 
 
f(x0 )
 
x0
 
x 
y 
x0
 
f(x0 )
 
x 
y 
Apostila de Cálculo I 
 
45 
 
Resultado: 
 
Se f (x) existe e é contínua , então num ponto de máximo ou 
mínimo local temos 0)(x f 0' = . Esse ponto é chamado ponto crítico de 
f(x). 
 
 
Estudo do Sinal da Derivada Segunda 
 
 
Para se caracterizar máximos e mínimos locais é necessário uma análise do 
sinal da derivada segunda da função f (x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que para 0 xx 〈 temos 0 )x(f ' 〉 .Para 0 xx = temos 
0 )x(f ' = e para 0 xx 〉 temos 0 )x(f ' 〈 . Logo )x(f ' é decrescente e 
portanto sua derivada 0. )x('' f 〈 
 
 
y 
x0
 
x 
′f (x) = 0
 
′ 〉f (x) 0
 
′ 〈f (x) 0
 
Apostila de Cálculo I 
 
46 
Conclusão: 
 
Dada uma função f (x): 
 
a) Calcular a derivada primeira )x(f ' . 
b) Obter os pontos críticos 0 x para os quais 0 )x(f ' = . 
c) Calcular a derivada segunda: 
 
 Se 0 )x('' f 0 〈 temos que 0 x é ponto de máximo relativo. 
 Se 0 )x('' f 0 〉 temos que 0 x é ponto de mínimo relativo 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função 
2
 x- 4 (x) f = 
 pontos críticos ( 0 )x(f ' = ) 
 
 
0 x0 x2- x 2 - (x) f 0' === 
 
 0
''
 x -2(x) f ∴=
 é ponto de máximo relativo 
 
 4 (0) f )(x f 0 == é o valor máximo relativo de f (x). 
 
 
 
2) Idem para 2x18x122x(x) fy 23 −+−== pontos críticos 0(x) f =′ 
 
 

=
=
=+−=′
3x
1x
 018x24x6)x( f 2 
Apostila de Cálculo I 
 
47 
 
24 - x 12 x)(f '' = 
1 x 0 12 - 1) (f 0'' =∴〈= é abcissa do ponto de máximo relativo 
 f (1) = 6 é o valor do máximo relativo 
3 x 0 12 3) (f 0'' =∴〉= é abcissa do ponto de mínimo relativo 
 f (3) = -2 é o valor do mínimo relativo 
 
 
 
Estudo da Concavidade de uma Função 
 
 
A concavidade de uma curva f (x) é identificada pelo sinal da derivada segunda. 
 
Se 0 )x('' f 〉 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima. 
Se 0 )x('' f 〈 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada 
para baixo. 
 Um ponto do gráfico de y = f (x) onde há mudança no sinal da 
derivada segunda )x('' f é chamado ponto de inflexão 0 )x('' f = . 
 
 
Exemplo: 
 
 Seja 2x6 x
2
5
3
x(x) f y 2
3
++−== . Determine: 
a) o intervalo onde f(x) é crescente e onde é decrescente. 
b) pontos de máximo e mínimo relativos. 
c) Pontos de inflexão. 
 
Solução: 
 
Apostila de Cálculo I 
 
48 
 a) 


=
=
+−=
3x
2x
 6x5x(x) f 2 
 
Estudo do sinal: 
 
1. linha : x – 2 
 
2. linha : x – 3 
 
3. linha : (x-2) (x-3) 
 
 2 3 
- + + 
- - + 
+ - + 
 
 
crescente f 3 x ou 2 x para 0 (x) f ⇒〉〈〉′∴ 
 
edecrescent f 3 x 2 para 0 (x) f ⇒〈〈〈′ 
 
 
b) pontos críticos 
 
 
 

=
=
=′
3x
2x
 0 (x) f
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
49 












∴=
〉′′⇒=



∴=
〈′′⇒=
=′′
relativo mínimo de é 
2
133, ponto 
2
13(3) f 
0 (x) f 3x
relativo máximo de é 
3
202, ponto 
3
20
 (2) f 
0 (x) f 2x
 5- x2 (x) f 
 
 
c) inflexão 
 
+∴
==
 para - de passa (x) f 
2
5
 x5- x2 0 (x) f ''
 
 
 
 
Máximos e Mínimos Absolutos 
 
 
Se y = f (x) é contínua e definida num intervalo fechado [a,b], derivável em [a,b] 
então existem pontos 10 xe x tais que: 
 
( ) [ ]
( ) [ ]ba, x , (x) f x f 2)
e ba, x , (x) f x f )1
1
0
∈∀≤
∈∀≥
 
 
 0x = ponto de mínimo absoluto de f(x) 
 1x = ponto de máximo absoluto de f(x) 
 
5 
2 
+ 
Apostila de Cálculo I 
 
50 
Para se obter os pontos de mínimo e máximo absoluto determina-se inicialmente os 
pontos de mínimo e máximo relativos. Compara-se esses valores com os da função 
no extremo do intervalo. 
 
 
Exemplo: 
 
Seja 2
 x- 16 (x) fy == no intervalo [ -1, 4 ] 
 
 Pontos de máximo e mínimo relativos 
 
[ ]4 1,- 0 x 0 x 2- 0 (x) f ' ∈=⇒=⇒= 
 0 xentão 0 )x(f como 2)x(f '''' =〈−= é ponto de máximo local 
e o valor máximo da função f (0)=16. 
 Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0 
 
 Por comparação f (x) = 0 é ponto de máximo absoluto e x =4 é 
pontode mínimo absoluto. 
 
Exercícios: 
1) Dada a função 1x9x3
3
x)x(fy 2
3
++−==
 verifique os intervalos 
para os quais a função é crescente e decrescente. Determine os 
pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo. 
Determine o ponto de inflexão, se houver. 
2) Idem para x5x3
3
x)x(fy 2
3
−+−== 
3) Determinar números positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e 
cuja soma seja a menor possível. 
4) Determinar números positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e 
cujo produto seja o maior possível. 
5) Encontre os pontos críticos, indicando se são máximos ou mínimos 
locais para ( )32 1xy −= . 
Apostila de Cálculo I 
 
51 
6) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um 
determinado artigo. Se o custo da produção é dado por 
60x18x6x2C 23 +++= e o valor obtido na venda é dado por 
2x12x60V −= , determinar o número ótimo de unidades mensais 
que maximiza o lucro L = V –C.. 
7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões 
a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 2m de 
área, determinar as dimensões a e b de forma que o comprimento 
da cerca seja mínimo. 
8) Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um 
deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Como 
devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas 
compreendidas pela figura seja mínima?