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GUIDG.COM 1 19/6/2012 – Medidas físicas Obs.: Requerimentos: Um pleno entendimento de matemática básica, medidas, algarismos significativos, notação cientifica, unidades SI, conceitos básicos da Teoria de Erros e noções de cálculo diferencial e integral. Tabela geral de derivadas (você pode obter no site). Esse estudo foi direcionado ao curso de MEF da UDESC-CCT Joinville. Para obter um bom desempenho procure refazer todos os exercícios demonstrados. Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. Conceitos básicos da Teoria de Propagação de Erros 1. Uma breve introdução Como pré-requisito espera-se que você tenha um domínio dos conceitos citados nas observações, para assim prosseguir com este estudo, o qual entrará em mais detalhes mas não se aprofundando intensamente, é como as apostilas dizem “seguiremos uma receita da teoria de erros”. Sabemos que medidas indiretas são resultantes de operações com medidas diretas, sabemos também que essas medidas diretas possuem erros, que por sua vez tornam as medidas indiretas menos precisas, resulta daí o nome erro propagado da medida indireta. De outra forma, quando calculamos com duas ou mais medidas diretas que contenham erros, é certo que esta medida calculada seja menos precisa que as medidas diretas, devido aos erros irem se acumulando toda vez que manipulamos matematicamente as medidas envolvidas no cálculo. Este é o motivo deste estudo, que é a importância de expressarmos corretamente as medidas indiretas, ou pelo menos com valores aproximados, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalmente. Isto será usado nas disciplinas de física experimental. GUIDG.COM 2 2. Equação do erro indeterminado Considere uma medida indireta “y” como sendo uma função de outras medidas diretas “x1 , x2 , x3 , … , xn ”, em termos matemáticos escrevemos isto como: y = f x1 , x2 , x3 , … , xn ` a . Assim podemos definir a diferencial desta função (ou variação da função) em termos das variações de cada uma das variáveis ( x1 , x2 , x3 , … , xn ) como sendo: dy = ∂f∂x1 ffffffffffdx1 + ∂f∂x2 fffffffffffdx2 + …+ ∂f∂xnfffffffffffdxn Onde ∂f ∂x i ffffffffff = ∂y ∂x i ffffffffff é a derivada parcial da função em relação ao xi , ou seja derivamos a função apenas em relação ao xi escolhido. Então podemos substituir as diferenciais pelos respectivos desvios, e isto se aplica à função e às variáveis. De outra forma trocamos o dx pelo desvio da medida direta (chamaremos de ∆x ), ficando assim: ∆y = ∂f∂x1 ffffffffff∆x1 + ∂f∂x2 fffffffffff∆x2 + …+ ∂f∂xnfffffffffff∆xn (00) Agora visualizaremos em um gráfico de uma medida indireta que apresenta apenas uma variável: Se y i é uma função de xi yi = f x i ` aB C , e fazendo x . = xiF ∆x i , então podemos obter a incerteza de y i pela projeção da incerteza ∆xi . E escrevemos assim: ∆ y i = ∂ y i ∂x i fffffffffffLLLLLL MMMMMM∆x i (01) Interpretando: temos que a incerteza de y i , que chamaremos de ∆y i , será a derivada parcial da função y i em relação à xi , multiplicada pelo desvio da medida xi , que chamaremos de ∆xi . Assim este valor poderá ter qualquer sinal, mas como procuramos sempre pelo maior erro, colocamos a expressão em módulo (veja que é o que difere da expressão 00). A expressão 01 tem aplicação quando a medida indireta depender apenas de uma variável independente (no caso xi ), mas caso a medida indireta dependa ou esteja envolvida com mais variáveis independentes ( x1 , x2 , x3 , … , xn ), fazemos a soma dos módulos das derivadas parciais multiplicadas pelos seus respectivos erros. Veja abaixo: Para uma função dependente de mais de uma variável y = f x1 , x2 , x3 , … , xn ` a , usamos a seguinte expressão: ∆y = ∂f∂x1 ffffffffffLLLLLL MMMMMM∆x1 + ∂f ∂x2 fffffffffffLLLLLL MMMMMM∆x2 + …+ ∂f ∂xn fffffffffffLLLLLL MMMMMM∆xn (02) Veja que essa expressão é uma expansão da primeira, e se chama equação do erro indeterminado. 3. Derivadas parciais (um breve exemplo). Antes de aplicarmos a teoria para obtenção do desvio da medida indireta (através da equação do erro indeterminado), vejamos um pouco mais sobre derivadas parciais de funções. Como já foi dito anteriormente as técnicas, regras e fórmulas desenvolvidas para diferenciar funções a uma variável podem ser generalizadas para funções a duas ou mais variáveis, considerando-se que uma das variáveis deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relação às variáveis restantes. Exemplo: Considere a função f a duas variáveis, dada por f x, y` a= x 2 + 3xy@4y2 Para obtermos a derivada parcial em relação à x, consideramos a segunda variável y como constante (isto é seu valor não se altera). Assim derivamos a função: GUIDG.COM 3 ∂ ∂x ffffffff x 2 + 3xy@ 4y2 b c = dx 2 dx fffffffffff+ 3y dxdxffffffff@ d4y 2 dx fffffffffffffff = 2x + 3y@ 0 = 2x + 3y Veja que quando derivamos parcialmente à x , derivamos apenas os termos que estão envolvidos com a variável x, já os que não estão, neste caso (@4y2 ), são zerados (é justamente isso que quer dizer derivada parcial). Agora derivemos parcialmente à variável y. ∂ x 2 + 3xy@4y2 b c ∂y ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = dx 2 dy fffffffffff+ 3x dydyffffffff@4 dy 2 dy fffffffffff = 0 + 3x@4.2y = 3x@8y Agora associando ao erro da medida indireta que pode ser uma função com mais de uma variável, temos que o erro propagado é a soma dos módulos dessas derivadas parciais (justamente porque as derivadas parciais são infinitésimos, isto é valores muito pequenos, que tendem à zero), assim vemos que a definição da equação do erro indeterminado fica mais fácil de entender. O procedimento para encontrar as derivadas parciais é denominado diferenciação parcial. 4. Exercícios demonstrados. 1 – Considere que foram medidas a altura (h) e o raio (r) de uma calota esférica. A partir dos dados abaixo calcule o volume dessa calota. x. = xF ∆x` a h = 155,3 F 0,7` amm r = 389,0 F 1,9` amm V = 13 ffffpih2 3r@h` a Resolução: Primeiramente devemos colocar os valores no formato adequado para depois poder substituir os valores na equação do erro indeterminado. Assim temos: h. =h fff F ∆h = 155,3 F 0,7` amm e r . = rffF ∆r = 389,0 F 1,9` amm Legenda: x´ implica em uma medida acompanhada do desvio ou erro x. = xF ∆x` a. h fff indica que a medida da altura pode ser a média ou valor mais provável (isso quando for fornecido mais de um valor), (a expressão pode ser encontrada em Conceitos básicos da Teoria de erros). F indica que o valor pode contribuir positivamente como negativamente para a medida. ∆x, parax= h,r ou… representa o desvio ou erro da medida direta. A medida indireta deve ser apresentada assim: V. = VF ∆V, onde o ∆V é o erro propagado da medida indireta e é obtido através da equação do erro indeterminado. Primeiro calculamos o volume a partir da expressão fornecida: V= 13 ffffpih2 3r@h` a = 13ffffpi 3rh2@h3 b c = 1 3 ffffpi 3B389,0B155,3 2@155,3 3b c Colocando os valores na calculadora, obtemos: 25 551 904,72mm3 , como as medidas diretas possuem 4 algarismos significativos, de acordo com os critérios de arredondamento esse valor deve ser arredondado para 4 as também, mas antes colocamos o valor em notação científica e depois arredondamos: 2,5 5 5fff1 90472B10 7 mm3 = 2,555B10 7 mm3 GUIDG.COM 4 Agora que já temos o valor do volume, basta obtermos a eq. do erro indeterminado e calcular o erro da medida indireta. Para isso diferenciemos parcialmente a função do volume em relação as suas variáveis: V = pi3 fffffh2 3r@h3b c Q ∆V = ∂V∂hfffffffff LLLLL MMMMM∆h + ∂V∂rfffffffff LLLLL MMMMM∆r ∆V = ∂∂h ffffffffpi 3 fffffh2 3r@h3b cD E LLLLLL MMMMMM∆h + ∂ ∂r fffffffpi 3 fffffh2 3r@h3b cD E LLLLLL MMMMMM∆r ∆V = ∂∂h ffffffffpi 3fffffh2 3r@ pi3fffffh3 d eLLLLLL MMMMMM∆h + ∂∂rfffffffpi3fffffh2 3r@ pi3fffffh3 d eLLLLLL MMMMMM∆r ∆V = pir ddh fffffffh2b c@ pi3fffff d e d dh fffffffh3b c LLLLLL MMMMMM∆h + pih2 ddrfffffffr` a@ ddrfffffffpi3fffffh3 d eLLLLLL MMMMMM∆r ∆V = 2pihr@3pih 2 3 ffffffffffffffffLLLLLL MMMMMM∆h + pih2@0 LLL MMM∆r ∆V = 2pihr@pih2 LLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r ou ∆V = pih 2r@h` aLLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r Obs: Isso foi a demonstração, mas é claro que você pode pular esses passos e derivar diretamente a função, faremos isso nos próximos exercícios. Agora substituímos pelos valores fornecidos onde: h fff F ∆h = 155,3 F 0,7` amm e rffF ∆r = 389,0 F 1,9` amm ∆V= pi155,3 2B389,0 @155,3` aLLL MMM0,7 + pi155,3 2LLL MMM1,9 Colocando tudo isso na calculadora, obtemos: 356 627,591 3mm3 Agora passamos este valor para notação científica na mesma potência em que ficou a notação do volume, isto é, 10 7 mm3 . Devemos fazer isso para saber onde devemos arredondar o valor do desvio. 356 627,591 3mm3 = 0,035 662 759 13B10 7 mm3 Agora para arredondarmos olhamos o número de casas após a vírgula do volume, e aplicamos igualmente no desvio, veja: V= 2,555B10 7 mm3 , vemos que têm três casas após a vírgula, portando o desvio também deve ter este mesmo número de casas após a vírgula, então arredondando ∆V= 0,03 5fff662 759 13B10 7 mm3 temos: ∆V= 0,036B10 7 mm3 , agora podemos expressar a medida do volume da calota junto com seu erro propagado: V. = VF ∆V= 2,555B10 7 mm3F 0,036B10 7 mm3 = 2,555 F 0,036` aB10 7 mm3 2 – Mediu-se com um paquímetro a altura (h), o diâmetro maior (D) e o diâmetro menor (d) de um anel, sendo os valores: x. = xF ∆x` a h. = 11,85 F 0,05` amm D. = 50,25 F 0,05` amm d. = 43,65 F 0,05` amm Áreacírcunferência = pir 2 A partir da fórmula da área da circunferência determine: a) as fórmulas da área da seção reta (circunferência maior) e do volume do anel. b) calcule a área da seção reta e o volume do anel, respeitando as regras de operações com algarismos significativos. c) obtenha a equação do erro indeterminado para as duas fórmulas. d) calcule os erros propagados para as duas fórmulas. e) escreva os resultados das medidas indiretas em formato adequado, isto é: Área = A´ = AF ∆A e Volume = V´ = VF ∆V. GUIDG.COM 5 Resolução: a) Primeiramente vamos esclarecer o que é a área da seção reta com a imagem, e depois escrevemos a nova fórmula com base na fórmula fornecida pelo exercício. Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, re-escrevemos a fórmula assim: Áreacírcunferência = pir 2QA = pi D2 ffffff g2 = piD2 4 fffffffffffff Portanto a área da seção reta: A = piD 2 4 fffffffffffff Agora a partir da fórmula da área da seção reta, podemos obter a fórmula do volume do anel, uma vez que o volume da circunferência é calculado multiplicando a área da circunferência pela sua altura, o único problema é que o anel não é maciço (possui o furo interno), então para isso calcula-se os dois volumes e subtrai-se o volume maior do menor. Mas por enquanto o exercício pede apenas a fórmula. Vanel = pihD2 4 fffffffffffffffff @ pihd2 4 fffffffffffffffff g = pih D2@d2 b c 4 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff b) Agora que já temos as fórmulas basta substituir e calcular: A = piD 2 4 fffffffffffff = pi50,252 4 fffffffffffffffffffffffffffff = 1 98 3fff,179 45 = 1,983B10 3 mm2 Veja que o resultado é expresso em notação científica e com a quantidade adequada de algarismos significativos (isto é quatro as) uma vez que nossas medidas possuem essa quantidade de as (lembre-se que isto é regra), outra observação é a unidade de medida, fique atento! Neste caso a área é expressa em milímetros quadrados (mm2 ). Vanel = pih D2@d2 b c 4 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = pi11,85 50,252@43,652 b c 4 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 5 76 7fff,900 495 = 5,768B10 3 mm3 Da mesma forma calculamos o volume, que é expresso em milímetros cúbicos (mm3 ). c) Para obter a equação do erro indeterminado, basta derivar as funções (isto é as fórmulas) parcialmente em relação a suas respectivas variáveis. A = piD 2 4 fffffffffffff Q ∆A = ∂A∂D fffffffffLLLLL MMMMM∆D = ∂∂DfffffffffpiD 2 4 ffffffffffffff gLLLLLLL MMMMMMM∆D = 2piD 4 fffffffffffffffLLLLL MMMMM∆D = piD2ffffffffff LLLLL MMMMM∆D No final da expressão acima, temos a equação do erro indeterminado da área, que nos levará ao erro propagado da medida indireta, isto é o ∆A. Como foi dito no exercício anterior pulamos alguns passos, mas para as próximas resoluções resumiremos ainda mais, no entanto o procedimento continua o mesmo, só que de forma mais rápida. V= pih D2@d2 b c 4 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff Q ∆V= ∂V∂h fffffffffLLLLL MMMMM∆h + ∂V∂Dfffffffff LLLLL MMMMM∆D + ∂V∂dfffffffff LLLLL MMMMM∆d = pi D2@d2 b c 4 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL MMMMMMM∆h + pihD 2 ffffffffffffffLLLLL MMMMM∆D + @pihd2ffffffffffffffffffff LLLLL MMMMM∆d Como foi dito, obtemos a equação do erro indeterminado para o volume, isto é o ∆V. d) Para achar os erros propagados (isto é o ∆A e o ∆V), basta substituirmos os valores nas fórmulas e calcularmos. Os valores são: ∆A = 0,00 3fff946625771B10 3 = 0,004 B10 3 mm2 ; ∆V= 0,11 1ff729 564 6B10 3 = 0,112 B10 3 mm3 OBS: os valores devem ser expressos dessa forma: (1) passe o desvio (∆x) para a mesma notação exponencial da medida indireta obtida anteriormente (ou seja, se no calculo da área obteve-se uma medida que ao passar para notação cientifica o expoente de 10 foi três 10 3 b c , devemos colocar o erro propagado nesta mesma potência, mas sem alterar o seu valor verdadeiro, fazemos isso para determinar o número de algarismos significativos do erro propagado). (2) arredondamos o valor de acordo com o número de algarismos significativos após a vírgula da medida indireta obtida anteriormente (isto é, se o número de as após a vírgula no cálculo da área foi três, então devemos ter três as após a vírgula no erro propagado, e atenção isto é regra!). (3) tome cuidado com as unidades de medida. e) Área = A´ = AF ∆A = 1,983 F 0,004` aB10 3 mm2 , Volume = V´ = VF ∆V= 5,768 F 0,112` aB10 3 mm3 . GUIDG.COM 6 3 - Outras funções: Seguindo as regras da tabela geral de derivadas obtenha a equação do erro indeterminado ∆z` a para essas funções (que chamaremos de z). Considerando x= xF ∆x e y= yF ∆y , onde x e y são constantes. Note que omitimos a aspa (’) em x e y para não confundir com a derivada que também se representa por (’), mas normalmente em MEF usamos (’) para representar uma medida acompanhada de seu desvio w. = wF ∆w` a. Obs.: ∆z= ∂z∂x ffffffffLLLLL MMMMM∆x ou ∆z= ∂z∂xffffffff LLLLL MMMMM∆x+ ∂z∂yfffffff LLLLLL MMMMMM∆y a) adição: z = x + y ∆z= dxdx fffffffLLLLL MMMMM∆x+ dydyfffffff LLLLLL MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y b) subtração: z = x – y ∆z= dxdx fffffffLLLLL MMMMM∆x+ d @y ` a dy fffffffffffffffffffffLLLLLL MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y c) multiplicação: z = x.y ∆z= y dxdx fffffffLLLLL MMMMM∆x+ x dydyfffffff LLLLLL MMMMMM∆y= y∆x+ x∆y d) divisão: z = x/y x y ffff = xA y@ 1[∆z= y@ 1 dxdx fffffffLLLLL MMMMM∆x+ xdy @ 1 dy ffffffffffffffLLLLLL MMMMMM∆y= ∆xyfffffffff+ x @1` ay@ 2 LLL MMM∆x= ∆xyfffffffff+ x∆yy2fffffffffff e) potenciação: z = xn (n é um número qualquer) ∆z= dx n dx ffffffffffLLLLL MMMMM∆x= nxn@ 1 dxdxfffffff LLLLL MMMMM∆x=nxn@ 1 ∆x f) logaritmo decimal: z = log x (neste caso “e” é o logaritmando, onde e = 2,718...) ∆z= ddx ffffffflogxb c LLLLL MMMMM∆x= logexffffffffffffffdxdxfffffff LLLLL MMMMM∆x= logexffffffffffffff∆x g) logaritmo natural: z = ln x (neste caso “e” é a base do logaritmo, onde e = 2,718...) ∆z= ddx ffffffflnx LLLLL MMMMM∆x= 1xffffdxdxfffffff LLLLL MMMMM∆x= ∆xxfffffffff h) exponenciação: z = ex ∆z= ddx fffffffex LLLLL MMMMM∆x= ex dxdxfffffff LLLLL MMMMM∆x=ex ∆x i) trigonométrica:z = sen x ∆z= ddx fffffffsenx LLLLL MMMMM∆x= cos x dxdxfffffff LLLLL MMMMM∆x= cosx∆x j) trigonométrica: z = cos x ∆z= ddx fffffffcos x LLLLL MMMMM∆x= @senx dxdxfffffff LLLLL MMMMM∆x= senx∆x k) trigonométrica: z = tg x ∆z= ddx ffffffftgx LLLLL MMMMM∆x= sec2 x dxdxfffffff LLLLL MMMMM∆x=sec2 x∆x OBS: a tabela geral de derivadas pode ser obtida no site. GUIDG.COM 7 4A– Medida de Tempo de Reação humana: Com o auxilio de uma régua de 300 milímetros (30 cm) medimos sete vezes o tempo de reação humana, sendo estes valores relativamente próximos. Um estudante (a) segura a régua pela extremidade (30 cm) enquanto o outro (b) fica atento para pegar a régua quando (a) soltar, mas sem avisar. De todas as tentativas, montamos uma tabela com sete medidas próximas que utilizaremos nos exercícios. i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 1 yi mm ` a 120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5 Subentendemos que você já tenha visto e estudado os Conceitos básicos da teoria de erros, caso contrário será impossível resolver os exercícios abaixo. A partir da tabela 1, seguindo os conceitos e regras da teoria, determine: a) A média ou valor mais provável: y fff = 1 n ffffX i = 1 n yi . b) Monte uma tabela com o desvio de cada medida: ∆yi = yi@y fffLLL MMM. c) Monte outra tabela com o quadrado do desvio de cada medida: ∆yi b c2 . d) O desvio médio: ∆y ffffffff = 1 n ffffX i = 1 n ∆yi LLL MMM. e) O desvio padrão: σ y = 1 n@1 ffffffffffffffffX i = 1 n ∆yi b c2vuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww . f) Informe o resultado da medida nos formatos: (1) y. = y fff F ∆y ffffffff ; (2) y. = y fff Fσ y ; (3) y. = y fff F erroescala ; (4) y. = y fff F erro aleatório Resolução: a) Basta somarmos todos os valores da tabela 1 e dividir pelo número de medidas. y fff = 1 7 ffffX i = 1 7 yi h j i k = 877,5 7 fffffffffffffffff = 125, 3ff571429Q arredondando: yffff= 125,4 mm b) Pegamos cada medida da tabela 1 e subtraímos da medida obtida na letra a. Esses valores são os desvios das medidas. Colocamos em módulo, pois procuramos sempre pelo maior desvio. i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 2 ∆yi = yi@y fffLLL MMM ∆yi mm` a 5,4 5,1 3,1 14,6 4,6 13,4 8,9 c) Pegamos a tabela 2 e elevamos cada desvio ao quadrado. i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 3 ∆yi b c2 mm2 29,16 26,01 9,61 213,16 21,16 179,56 79,21 d) Para o desvio médio, somamos todos os valores da tabela 2 e dividimos pelo número de medidas. Ou seja, é a média aritmética dos desvios. ∆y ffffffff = 1 7 ffffX i = 1 7 ∆yi LLL MMM h j i k = 55,1 7 fffffffffffff = 7, 8ff71428571Q arredondando: ∆yfffffffff= 7,9 mm e) Para obter o desvio padrão, somamos os quadrados dos desvios, dividimos pelo número de medidas menos uma unidade, e tiramos a raiz quadrada desse valor. GUIDG.COM 8 σ y = 1 7@1 ffffffffffffffffX i = 1 7 ∆yi b c2vuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 1 6 fffX i = 1 7 ∆yi b c2vuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 557,87 6 fffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 9, 6ff42527331mmQ arredondando:σ y = 9,6 mm f) Este passo apesar de simples também é importante, é a apresentação final das medidas: (1) y. = 125,4F 7,9 b c mm (2) y. = 125,4F 9,6 b c mm (3) O erro de escala é considerado como a metade da menor medida. Para a régua milimetrada o erro é de 0,5mm então: y. = 125,4F 0,5 b c mm (4) Exclusivamente para o curso de MEF da UDESC Joinville, foi adotado o erro aleatório como sendo igual ao desvio padrão, portanto: y. = 125,4F 9,6 b c mm 4B – Ainda com base no exercício anterior (4A), resolva: a) Sabendo que a equação que se aplica a este caso (olhe para a figura do exercício 4A) é: y = y0 + v0 t + 1 2 fffgt2b c, obtenha a fórmula para o cálculo do tempo de reação (isto é, uma fórmula com a variável tempo “t” isolada). b) Usando a fórmula obtida na letra a, monte uma quarta tabela com o tempo de reação para cada medida da tabela 1 do exercício 4A. Considere g = 980,66cmAs@ 2 . c) Com base na tabela obtida na letra b, determine o valor mais provável do tempo de reação. t ff = 1 n ffffX i = 1 n ti d) A partir da fórmula obtida na letra a, obtenha a equação do erro indeterminado para o tempo de reação ∆ t ff . e) Calcular o erro propagado (para o valor mais provável do tempo de reação) a partir da fórmula obtida na letra d. Considere ∆y =erroescala . f) Informe o resultado da medida indireta do tempo de reação no formato adequado. Resoluções: a) Como y0 e v0 t (espaço e velocidade) são iguais à zero no instante em que o estudante (a) da figura solta a régua, podemos escrever a equação como: y = 0 + 0 + 12 fffgt2b c= 12fffgt2 b c Q então isolamos a variavel t2 e tirando a raiz quadrada dos dois lados temos a fórmula para calcular o tempo de reação: t = 2yg ffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww b) Para criar a tabela 4 precisamos de algumas informações, acompanhe abaixo: Note que g esta em cmAs@ 2 , temos duas opções: passamos g para milímetros ou passamos as medidas para centímetros. Desta vez pegaremos o caminho mais curto, passaremos g para milímetros: 1cm = 10mm g = 980,66cmAs@ 2 = 980,66cm s2 fffffffffffffffffffffffffffffff10mm 1cm ffffffffffffffffff = 9806,6mmAs@ 2 Agora vamos determinar a unidade que acompanhará as medidas: Realizando as operações, no final a unidade que sobra é o segundo, e indicamos por s, veja por que: t = 2y g fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Q y e g são dados em mm Q t = 2y mm ` a g mm ` a s@ 2 fffffffffffffffffffffffffffffffffvuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 2y gs@ 2 ffffffffffffffvuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 2ys2 g ffffffffffffffvuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 2y g fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww s` a Veja que sobrou somente o tempo em segundos, fora da raiz ( pois s2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= s), e esta é a unidade final, note também que g tem 5 algarismos significativos mas yi tem quatro, então nossos resultados também devem ter 4 GUIDG.COM 9 algarismos significativos, fazemos isso utilizando os critérios de arredondamento. Agora pegamos a tabela 1 e a partir dos valores calculamos o tempo de reação para cada medida, sendo g = 9806,6mmAs@ 2 . i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 1 yi mm ` a 120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5 i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 4 t = 2y g fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww ti s ` a 0,1564 0,1631 0,1619 0,1690 0,1628 0,1511 0,1541 c) Basta somar todos os valores da tabela 4 e dividir pelo número de medidas, depois arredondamos e colocamos o resultado em notação científica: t ff = 1 7 ffffX i = 1 7 ti = 1,1184 7 fffffffffffffffffffff = 0,159 7fff71428 s` a Q arredondando: 0,1598 s` a= 1,598B10@ 1 s d) Como g é uma constante, a derivada se faz dessa forma: t = 2y g fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 2ygfffffff f g12fffff Q chamamos 2yg fffffffde u, e aplicamos a definição da equação do erro indeterminado: ∆t = ∂t∂y ffffffffLLLLLL MMMMMM∆y = dtdyfffffffA dudyfffffff LLLLLL MMMMMM∆y = ddyfffffff2ygfffffff f g12fffff A d dy fffffff2y g ffffffff g LLLLLLLL MMMMMMMM∆y = 1 2 fff2yg ffffffff g@ 12fffff A 2 g ffff LLLLLLLL MMMMMMMM∆y Q ∆t = 1 g ffff g 2y ffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww LLLLLL MMMMMM∆y e) Aqui considera-se o ∆y =erroescala , a variável y como o valor mais provável y fff = 125,4mm e g = 9806,6mmAs@ 2 : ∆ t ff = 1 g ffff g 2 y fffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww LLLLLL MMMMMM∆y = 19806,6mmAs@ 2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 9806,6mmAs@ 2 2B125,4mm fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffvuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwLLLLLLL MMMMMMMA 0,5mm ∆ t ff = 6,253101304 9806,6mm fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff s LLLLL MMMMMA 0,5mm = 3,18 8ff210646B10@ 4 s` a Agora vem um passo importante, devemos colocar o desvio do tempo ∆ t ff na mesma potência da medida do valor mais provável do tempo t ff = 1,598B10@ 1 s. ∆ t ff = 3,188210646B10@ 4 s` a Q 0,003188210646B10@ 1 s. A última etapa é contar o número de casas após a vírgula do valor mais provável t ff e arredondar o desvio do tempo ∆ t ff . Como t ff tem três casas após a vírgula: ∆ t ff = 0,00 3ff188210646B10@ 1 s = 0,003B10@ 1 s f) O formato adequado para apresentação da medida é t. = t ff F ∆ t ff Q t. = 1,598F 0,003 b c B10@ 1 s 5 – Áreas e volumes fundamentais. Determine a expressão do erro indeterminado para: a) Área de um retângulo de lados a e h. A = b Ah b) Área de um triângulo de base b e altura h. A = b Ah2 ffffffffffff c) Área de um disco de diâmetro D. A = pi A r2 d) Volume de um cilindro de diâmetro D e comprimento L. V = pi A r2 L e) Volume de uma esfera de diâmetro D. V = 43 ffffpi A r3 GUIDG.COM 10 Resoluções: Fórmulas dos desvios de medidas indiretas através da equação do erro indeterminado: a) ∆A = ∂A∂b fffffffffLLLLL MMMMM∆b + ∂A∂hfffffffff LLLLL MMMMM∆h = h∆b + b∆h b) ∆A = ∂A∂b fffffffffLLLLL MMMMM∆b + ∂A∂hfffffffff LLLLL MMMMM∆h = h2ffff∆b + b2ffff∆h c) r = D 2 fffff QA = pi A D2 ffffff g2 = piD2 4 fffffffffffff ∆A = ∂A∂D fffffffffLLLLL MMMMM∆D = 2piD4fffffffffffffff LLLLL MMMMM∆D = piD2fffffffffff∆D d) r = D 2 fffff QV= pi A D2 ffffff g2 AL = piD 2 L 4 fffffffffffffffffff ∆A = ∂V∂D fffffffffLLLLL MMMMM∆D + ∂V∂Lfffffffff LLLLL MMMMM∆L = 2piDL4ffffffffffffffffffff LLLLL MMMMM∆D + piD 2 4 fffffffffffffLLLLLL MMMMMM∆L = piD L2fffffffffffffffff∆D + piD 2 4 ffffffffffffff∆L e) r = D 2 fffff QV= 43 fffffpi AD38ffffffff= piD 3 6 fffffffffffff ∆A = ∂V∂D fffffffffLLLLL MMMMM∆D = 3piD 2 6 fffffffffffffffffLLLLLL MMMMMM∆D = piD 2 2 ffffffffffffff∆D 6 – Aplicação: Determine o volume: 6A) Mediu-se o raio r e o comprimento L de um cilindro. A partir dessas medidas calcule o volume sabendo que: V = pi A r2 L, r = 2,0F 0,5 b c cm e L = 10,0F 0,5 b c cm. Informe o resultado no formato adequado: V. = VF ∆V . Resolução: Sabendo obter a equação do erro indeterminado e manipula-la, não tem segredo realizar esses cálculos, é só substituir para encontrar os resultados: V = pi A r2 L = 125,6637061 = 1, 2ff56637061B102 cm3Q arredondando:V = 1,3B102 cm3 ∆V= ∂V∂r fffffffffLLLLL MMMMM∆r + ∂V∂Lfffffffff LLLLL MMMMM∆L = 2pir L∆r + pir 2 ∆L ∆V = 69,11503838 = 0, 6ff911503838B102 cm3Q arredondando: ∆V = 0,7B102 cm3 V. = VF ∆V = 1,3F 0,7 b c B102 cm3 GUIDG.COM 11 6B) Mediu-se o diâmetro D de uma esfera. A partir dessa medida calcule o volume sabendo que: V = 43 ffffpi A r3 , D = 9,10F 0,03b ccm. Informe o resultado no formato adequado: V. = VF ∆V . Resolução: V = 43 ffffpi A r3 = 43ffffpi A D2fffff f g3 = 394,5688529 = 3,9 4fff5688529B102 cm3Q arredondando: V = 3,95B102 cm3 ∆V= ∂V∂D fffffffffLLLLL MMMMM∆D = piD 2 2 ffffffffffffff∆D = 3,902329315 = 0,0 3fff902329315B10 2 cm3 Q arredondando: ∆V = 0,04 B10 2 cm3 V. = VF ∆V = 3,95F 0,04 b c B102 cm3 Fontes de pesquisa e estudo: Apostila do curso: Medidas e Algarismos Significativos, Física Experimental. UDESC – CCT (Universidade do Estado de Santa Catarina – Centro de Ciências Tecnológicas). Curso, Disciplina: LEF – Licenciatura em Física, MEF – Medidas Físicas.
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