mef_cb-propagacao-de-erros

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GUIDG.COM 1 
 
19/6/2012 – Medidas físicas 
 
Obs.: Requerimentos: Um pleno entendimento de matemática básica, medidas, algarismos significativos, notação 
cientifica, unidades SI, conceitos básicos da Teoria de Erros e noções de cálculo diferencial e integral. 
Tabela geral de derivadas (você pode obter no site). 
Esse estudo foi direcionado ao curso de MEF da UDESC-CCT Joinville. 
Para obter um bom desempenho procure refazer todos os exercícios demonstrados. 
Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. 
 
 
Conceitos básicos da Teoria de 
Propagação de Erros 
 
 
 
1. Uma breve introdução 
 
Como pré-requisito espera-se que você tenha um domínio dos conceitos citados nas observações, para assim 
prosseguir com este estudo, o qual entrará em mais detalhes mas não se aprofundando intensamente, é como as 
apostilas dizem “seguiremos uma receita da teoria de erros”. 
 
Sabemos que medidas indiretas são resultantes de operações com medidas diretas, sabemos também que essas 
medidas diretas possuem erros, que por sua vez tornam as medidas indiretas menos precisas, resulta daí o nome 
erro propagado da medida indireta. De outra forma, quando calculamos com duas ou mais medidas diretas que 
contenham erros, é certo que esta medida calculada seja menos precisa que as medidas diretas, devido aos erros 
irem se acumulando toda vez que manipulamos matematicamente as medidas envolvidas no cálculo. Este é o 
motivo deste estudo, que é a importância de expressarmos corretamente as medidas indiretas, ou pelo menos com 
valores aproximados, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalmente. Isto será usado nas 
disciplinas de física experimental. 
GUIDG.COM 2 
 
2. Equação do erro indeterminado 
 
Considere uma medida indireta “y” como sendo uma função de outras medidas diretas “x1 , x2 , x3 , … , xn ”, em 
termos matemáticos escrevemos isto como: y = f x1 , x2 , x3 , … , xn
` a
 . Assim podemos definir a diferencial desta função 
(ou variação da função) em termos das variações de cada uma das variáveis ( x1 , x2 , x3 , … , xn ) como sendo: 
 
dy = ∂f∂x1
ffffffffffdx1 + ∂f∂x2
fffffffffffdx2 + …+ ∂f∂xnfffffffffffdxn 
Onde 
∂f
∂x i
ffffffffff
=
∂y
∂x i
ffffffffff
 é a derivada parcial da função em relação ao xi , ou seja derivamos a função apenas em relação ao xi 
escolhido. Então podemos substituir as diferenciais pelos respectivos desvios, e isto se aplica à função e às variáveis. De 
outra forma trocamos o dx pelo desvio da medida direta (chamaremos de ∆x ), ficando assim: 
 
∆y = ∂f∂x1
ffffffffff∆x1 + ∂f∂x2
fffffffffff∆x2 + …+ ∂f∂xnfffffffffff∆xn (00) 
 
Agora visualizaremos em um gráfico de uma medida indireta que apresenta apenas uma variável: 
 
 
Se y i é uma função de xi yi = f x i
` aB C
, e fazendo x . = xiF ∆x i , 
então podemos obter a incerteza de y i pela projeção da incerteza ∆xi . E 
escrevemos assim: 
∆ y i =
∂ y i
∂x i
fffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆x i (01) 
Interpretando: temos que a incerteza de y i , que chamaremos de ∆y i , será 
a derivada parcial da função y i em relação à xi , multiplicada pelo desvio 
da medida xi , que chamaremos de ∆xi . Assim este valor poderá ter 
qualquer sinal, mas como procuramos sempre pelo maior erro, colocamos a 
expressão em módulo (veja que é o que difere da expressão 00). 
 
A expressão 01 tem aplicação quando a medida indireta depender apenas de uma variável independente (no caso xi ), mas 
caso a medida indireta dependa ou esteja envolvida com mais variáveis independentes ( x1 , x2 , x3 , … , xn ), fazemos a soma 
dos módulos das derivadas parciais multiplicadas pelos seus respectivos erros. Veja abaixo: 
 
Para uma função dependente de mais de uma variável y = f x1 , x2 , x3 , … , xn
` a
, usamos a seguinte expressão: 
 
∆y = ∂f∂x1
ffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆x1 +
∂f
∂x2
fffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆x2 + …+
∂f
∂xn
fffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆xn (02) 
 
Veja que essa expressão é uma expansão da primeira, e se chama equação do erro indeterminado. 
 
 
3. Derivadas parciais (um breve exemplo). 
 
Antes de aplicarmos a teoria para obtenção do desvio da medida indireta (através da equação do erro indeterminado), vejamos 
um pouco mais sobre derivadas parciais de funções. Como já foi dito anteriormente as técnicas, regras e fórmulas 
desenvolvidas para diferenciar funções a uma variável podem ser generalizadas para funções a duas ou mais variáveis, 
considerando-se que uma das variáveis deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relação às variáveis restantes. 
 
Exemplo: Considere a função f a duas variáveis, dada por f x, y` a= x 2 + 3xy@4y2 
Para obtermos a derivada parcial em relação à x, consideramos a segunda variável y como constante (isto é seu valor não se 
altera). Assim derivamos a função: 
 
GUIDG.COM 3 
 
 
∂
∂x
ffffffff
x 2 + 3xy@ 4y2
b c
=
dx 2
dx
fffffffffff+ 3y dxdxffffffff@ d4y
2
dx
fffffffffffffff
= 2x + 3y@ 0 = 2x + 3y
 
 
Veja que quando derivamos parcialmente à x , derivamos apenas os termos que estão envolvidos com a variável x, já os que 
não estão, neste caso (@4y2 ), são zerados (é justamente isso que quer dizer derivada parcial). Agora derivemos 
parcialmente à variável y. 
 
∂ x 2 + 3xy@4y2
b c
∂y
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
dx 2
dy
fffffffffff+ 3x dydyffffffff@4 dy
2
dy
fffffffffff
= 0 + 3x@4.2y = 3x@8y
 
 
Agora associando ao erro da medida indireta que pode ser uma função com mais de uma variável, temos que o erro propagado 
é a soma dos módulos dessas derivadas parciais (justamente porque as derivadas parciais são infinitésimos, isto é valores muito 
pequenos, que tendem à zero), assim vemos que a definição da equação do erro indeterminado fica mais fácil de entender. O 
procedimento para encontrar as derivadas parciais é denominado diferenciação parcial. 
 
4. Exercícios demonstrados. 
 
1 – Considere que foram medidas a altura (h) e o raio (r) de uma calota esférica. A partir dos dados abaixo 
calcule o volume dessa calota. 
 
x. = xF ∆x` a 
h = 155,3 F 0,7` amm 
r = 389,0 F 1,9` amm 
 
V = 13
ffffpih2 3r@h` a
 
Resolução: Primeiramente devemos colocar os valores no formato adequado para depois poder substituir os 
valores na equação do erro indeterminado. Assim temos: 
 
h. =h
fff
F ∆h = 155,3 F 0,7` amm e r . = rffF ∆r = 389,0 F 1,9` amm 
Legenda: 
x´ implica em uma medida acompanhada do desvio ou erro x. = xF ∆x` a. 
h
fff
 indica que a medida da altura pode ser a média ou valor mais provável (isso quando for fornecido mais de um 
valor), (a expressão pode ser encontrada em Conceitos básicos da Teoria de erros). 
F indica que o valor pode contribuir positivamente como negativamente para a medida. 
∆x, parax= h,r ou… representa o desvio ou erro da medida direta. 
 
A medida indireta deve ser apresentada assim: V. = VF ∆V, onde o ∆V é o erro propagado da medida indireta e 
é obtido através da equação do erro indeterminado. 
 
Primeiro calculamos o volume a partir da expressão fornecida: 
 
V= 13
ffffpih2 3r@h` a = 13ffffpi 3rh2@h3
b c
=
1
3
ffffpi 3B389,0B155,3 2@155,3 3b c 
 
Colocando os valores na calculadora, obtemos: 25 551 904,72mm3 , como as medidas diretas possuem 4 
algarismos significativos, de acordo com os critérios de arredondamento esse valor deve ser arredondado para 
4 as também, mas antes colocamos o valor em notação científica e depois arredondamos: 
 
2,5 5 5fff1 90472B10 7 mm3 = 2,555B10 7 mm3 
 
GUIDG.COM 4 
 
Agora que já temos o valor do volume, basta obtermos a eq. do erro indeterminado e calcular o erro da medida 
indireta. Para isso diferenciemos parcialmente a função do volume em relação as suas variáveis: 
 
V = pi3
fffffh2 3r@h3b c Q ∆V = ∂V∂hfffffffff
LLLLL
MMMMM∆h + ∂V∂rfffffffff
LLLLL
MMMMM∆r
∆V = ∂∂h
ffffffffpi
3
fffffh2 3r@h3b cD E
LLLLLL
MMMMMM∆h +
∂
∂r
fffffffpi
3
fffffh2 3r@h3b cD E
LLLLLL
MMMMMM∆r
 
∆V = ∂∂h
ffffffffpi
3fffffh2 3r@ pi3fffffh3
d eLLLLLL
MMMMMM∆h + ∂∂rfffffffpi3fffffh2 3r@ pi3fffffh3
d eLLLLLL
MMMMMM∆r
∆V = pir ddh
fffffffh2b c@ pi3fffff
d e d
dh
fffffffh3b c
LLLLLL
MMMMMM∆h + pih2 ddrfffffffr` a@ ddrfffffffpi3fffffh3
d eLLLLLL
MMMMMM∆r
∆V = 2pihr@3pih
2
3
ffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆h + pih2@0
LLL MMM∆r
∆V = 2pihr@pih2
LLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r ou ∆V = pih 2r@h` aLLL MMM∆h + pih2LLL MMM∆r
 
 
Obs: Isso foi a demonstração, mas é claro que você pode pular esses passos e derivar diretamente a função, 
faremos isso nos próximos exercícios. 
 
Agora substituímos pelos valores fornecidos onde: h
fff
F ∆h = 155,3 F 0,7` amm e rffF ∆r = 389,0 F 1,9` amm 
 
∆V= pi155,3 2B389,0 @155,3` aLLL MMM0,7 + pi155,3 2LLL MMM1,9
 
 
Colocando tudo isso na calculadora, obtemos: 356 627,591 3mm3 
Agora passamos este valor para notação científica na mesma potência em que ficou a notação do volume, isto é, 
10 7 mm3 . Devemos fazer isso para saber onde devemos arredondar o valor do desvio. 
 
356 627,591 3mm3 = 0,035 662 759 13B10 7 mm3 
 
Agora para arredondarmos olhamos o número de casas após a vírgula do volume, e aplicamos igualmente no 
desvio, veja: V= 2,555B10 7 mm3 , vemos que têm três casas após a vírgula, portando o desvio também deve 
ter este mesmo número de casas após a vírgula, então arredondando ∆V= 0,03 5fff662 759 13B10 7 mm3 
temos: ∆V= 0,036B10 7 mm3 , agora podemos expressar a medida do volume da calota junto com seu erro 
propagado: 
 
 
V. = VF ∆V= 2,555B10 7 mm3F 0,036B10 7 mm3 = 2,555 F 0,036` aB10 7 mm3 
 
2 – Mediu-se com um paquímetro a altura (h), o diâmetro maior (D) e o diâmetro menor (d) de um anel, 
sendo os valores: 
 
x. = xF ∆x` a 
h. = 11,85 F 0,05` amm 
D. = 50,25 F 0,05` amm 
d. = 43,65 F 0,05` amm 
 
Áreacírcunferência = pir 2 
 
A partir da fórmula da área da circunferência determine: 
a) as fórmulas da área da seção reta (circunferência maior) e do volume do anel. 
b) calcule a área da seção reta e o volume do anel, respeitando as regras de operações com algarismos 
significativos. 
c) obtenha a equação do erro indeterminado para as duas fórmulas. 
d) calcule os erros propagados para as duas fórmulas. 
e) escreva os resultados das medidas indiretas em formato adequado, isto é: 
 
Área = A´ = AF ∆A e Volume = V´ = VF ∆V. 
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Resolução: 
a) Primeiramente vamos esclarecer o que é a área da seção reta com a imagem, e depois escrevemos a nova 
fórmula com base na fórmula fornecida pelo exercício. 
 
 
Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, 
re-escrevemos a fórmula assim: 
Áreacírcunferência = pir 2QA = pi D2
ffffff g2
=
piD2
4
fffffffffffff
 
Portanto a área da seção reta: A = piD
2
4
fffffffffffff
 
 
Agora a partir da fórmula da área da seção reta, podemos obter a fórmula do volume do anel, uma vez que o 
volume da circunferência é calculado multiplicando a área da circunferência pela sua altura, o único problema é 
que o anel não é maciço (possui o furo interno), então para isso calcula-se os dois volumes e subtrai-se o volume 
maior do menor. Mas por enquanto o exercício pede apenas a fórmula. 
Vanel =
pihD2
4
fffffffffffffffff
@
pihd2
4
fffffffffffffffff g
=
pih D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
b) Agora que já temos as fórmulas basta substituir e calcular: 
A = piD
2
4
fffffffffffff
=
pi50,252
4
fffffffffffffffffffffffffffff
= 1 98 3fff,179 45 = 1,983B10 3 mm2 
Veja que o resultado é expresso em notação científica e com a quantidade adequada de algarismos significativos 
(isto é quatro as) uma vez que nossas medidas possuem essa quantidade de as (lembre-se que isto é regra), 
outra observação é a unidade de medida, fique atento! Neste caso a área é expressa em milímetros quadrados 
(mm2 ). 
 
Vanel =
pih D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
pi11,85 50,252@43,652
b c
4
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= 5 76 7fff,900 495 = 5,768B10 3 mm3 
Da mesma forma calculamos o volume, que é expresso em milímetros cúbicos (mm3 ). 
 
c) Para obter a equação do erro indeterminado, basta derivar as funções (isto é as fórmulas) parcialmente em 
relação a suas respectivas variáveis. 
A = piD
2
4
fffffffffffff
Q ∆A = ∂A∂D
fffffffffLLLLL
MMMMM∆D = ∂∂DfffffffffpiD
2
4
ffffffffffffff gLLLLLLL
MMMMMMM∆D =
2piD
4
fffffffffffffffLLLLL
MMMMM∆D = piD2ffffffffff
LLLLL
MMMMM∆D 
No final da expressão acima, temos a equação do erro indeterminado da área, que nos levará ao erro propagado 
da medida indireta, isto é o ∆A. Como foi dito no exercício anterior pulamos alguns passos, mas para as próximas 
resoluções resumiremos ainda mais, no entanto o procedimento continua o mesmo, só que de forma mais rápida. 
V=
pih D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Q ∆V= ∂V∂h
fffffffffLLLLL
MMMMM∆h + ∂V∂Dfffffffff
LLLLL
MMMMM∆D + ∂V∂dfffffffff
LLLLL
MMMMM∆d =
pi D2@d2
b c
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL
MMMMMMM∆h +
pihD
2
ffffffffffffffLLLLL
MMMMM∆D + @pihd2ffffffffffffffffffff
LLLLL
MMMMM∆d 
Como foi dito, obtemos a equação do erro indeterminado para o volume, isto é o ∆V. 
 
d) Para achar os erros propagados (isto é o ∆A e o ∆V), basta substituirmos os valores nas fórmulas e 
calcularmos. 
Os valores são: ∆A = 0,00 3fff946625771B10 3 = 0,004 B10 3 mm2 ; 
 ∆V= 0,11 1ff729 564 6B10 3 = 0,112 B10 3 mm3 
 
OBS: os valores devem ser expressos dessa forma: (1) passe o desvio (∆x) para a mesma notação exponencial da medida 
indireta obtida anteriormente (ou seja, se no calculo da área obteve-se uma medida que ao passar para notação cientifica o 
expoente de 10 foi três 10 3
b c
, devemos colocar o erro propagado nesta mesma potência, mas sem alterar o seu valor 
verdadeiro, fazemos isso para determinar o número de algarismos significativos do erro propagado). (2) arredondamos o valor 
de acordo com o número de algarismos significativos após a vírgula da medida indireta obtida anteriormente (isto é, se o 
número de as após a vírgula no cálculo da área foi três, então devemos ter três as após a vírgula no erro propagado, e 
atenção isto é regra!). (3) tome cuidado com as unidades de medida. 
e) Área = A´ = AF ∆A = 1,983 F 0,004` aB10 3 mm2 , 
Volume = V´ = VF ∆V= 5,768 F 0,112` aB10 3 mm3 . 
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3 - Outras funções: Seguindo as regras da tabela geral de derivadas obtenha a equação do erro 
indeterminado ∆z` a para essas funções (que chamaremos de z). Considerando x= xF ∆x e y= yF ∆y 
, onde x e y são constantes. Note que omitimos a aspa (’) em x e y para não confundir com a derivada que 
também se representa por (’), mas normalmente em MEF usamos (’) para representar uma medida acompanhada 
de seu desvio w. = wF ∆w` a. 
Obs.: ∆z= ∂z∂x
ffffffffLLLLL
MMMMM∆x ou ∆z= ∂z∂xffffffff
LLLLL
MMMMM∆x+ ∂z∂yfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y 
a) adição: z = x + y 
∆z= dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ dydyfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y 
 
b) subtração: z = x – y 
∆z= dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ d @y
` a
dy
fffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y= ∆x+ ∆y 
 
c) multiplicação: z = x.y 
∆z= y dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ x dydyfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y= y∆x+ x∆y 
 
d) divisão: z = x/y 
x
y
ffff
= xA y@ 1[∆z= y@ 1 dxdx
fffffffLLLLL
MMMMM∆x+ xdy
@ 1
dy
ffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y= ∆xyfffffffff+ x @1` ay@ 2
LLL MMM∆x= ∆xyfffffffff+ x∆yy2fffffffffff 
 
e) potenciação: z = xn (n é um número qualquer) 
∆z= dx
n
dx
ffffffffffLLLLL
MMMMM∆x= nxn@ 1 dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x=nxn@ 1 ∆x 
 
f) logaritmo decimal: z = log x (neste caso “e” é o logaritmando, onde e = 2,718...) 
∆z= ddx
ffffffflogxb c
LLLLL
MMMMM∆x= logexffffffffffffffdxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= logexffffffffffffff∆x 
 
g) logaritmo natural: z = ln x (neste caso “e” é a base do logaritmo, onde e = 2,718...) 
∆z= ddx
ffffffflnx
LLLLL
MMMMM∆x= 1xffffdxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= ∆xxfffffffff 
 
h) exponenciação: z = ex 
∆z= ddx
fffffffex
LLLLL
MMMMM∆x= ex dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x=ex ∆x 
 
i) trigonométrica:z = sen x 
∆z= ddx
fffffffsenx
LLLLL
MMMMM∆x= cos x dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= cosx∆x 
 
j) trigonométrica: z = cos x 
∆z= ddx
fffffffcos x
LLLLL
MMMMM∆x= @senx dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x= senx∆x 
 
k) trigonométrica: z = tg x 
∆z= ddx
ffffffftgx
LLLLL
MMMMM∆x= sec2 x dxdxfffffff
LLLLL
MMMMM∆x=sec2 x∆x 
 
OBS: a tabela geral de derivadas pode ser obtida no site. 
 
GUIDG.COM 7 
 
4A– Medida de Tempo de Reação humana: Com o auxilio de uma régua de 300 milímetros (30 cm) medimos 
sete vezes o tempo de reação humana, sendo estes valores relativamente próximos. 
 
 
Um estudante (a) segura a régua pela extremidade (30 cm) 
enquanto o outro (b) fica atento para pegar a régua quando 
(a) soltar, mas sem avisar. De todas as tentativas, montamos 
uma tabela com sete medidas próximas que utilizaremos 
nos exercícios. 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 
Tabela 1 yi mm
` a
 
120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5 
 
Subentendemos que você já tenha visto e estudado os Conceitos básicos da teoria de erros, caso contrário 
será impossível resolver os exercícios abaixo. 
 
A partir da tabela 1, seguindo os conceitos e regras da teoria, determine: 
a) A média ou valor mais provável: y
fff
=
1
n
ffffX
i = 1
n
yi . 
b) Monte uma tabela com o desvio de cada medida: ∆yi = yi@y
fffLLL MMM. 
c) Monte outra tabela com o quadrado do desvio de cada medida: ∆yi
b c2
. 
d) O desvio médio: ∆y
ffffffff
=
1
n
ffffX
i = 1
n
∆yi
LLL MMM. 
e) O desvio padrão: σ y = 1
n@1
ffffffffffffffffX
i = 1
n
∆yi
b c2vuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
. 
f) Informe o resultado da medida nos formatos: 
 
(1) y. = y
fff
F ∆y
ffffffff
 ; (2) y. = y
fff
Fσ y ; (3) y. = y
fff
F erroescala ; (4) y. = y
fff
F erro
aleatório 
 
 
Resolução: 
 
a) Basta somarmos todos os valores da tabela 1 e dividir pelo número de medidas. 
y
fff
=
1
7
ffffX
i = 1
7
yi
h
j
i
k
=
877,5
7
fffffffffffffffff
= 125, 3ff571429Q arredondando: yffff= 125,4 mm
 
 
b) Pegamos cada medida da tabela 1 e subtraímos da medida obtida na letra a. Esses valores são os desvios 
das medidas. Colocamos em módulo, pois procuramos sempre pelo maior desvio. 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 2 
∆yi = yi@y
fffLLL MMM ∆yi mm` a 5,4 5,1 3,1 14,6 4,6 13,4 8,9 
 
c) Pegamos a tabela 2 e elevamos cada desvio ao quadrado. 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 
Tabela 3 ∆yi
b c2
mm2 29,16 26,01 9,61 213,16 21,16 179,56 79,21 
 
d) Para o desvio médio, somamos todos os valores da tabela 2 e dividimos pelo número de medidas. Ou seja, é a 
média aritmética dos desvios. 
∆y
ffffffff
=
1
7
ffffX
i = 1
7
∆yi
LLL MMM
h
j
i
k
=
55,1
7
fffffffffffff
= 7, 8ff71428571Q arredondando: ∆yfffffffff= 7,9 mm
 
e) Para obter o desvio padrão, somamos os quadrados dos desvios, dividimos pelo número de medidas menos 
uma unidade, e tiramos a raiz quadrada desse valor. 
GUIDG.COM 8 
 
σ y =
1
7@1
ffffffffffffffffX
i = 1
7
∆yi
b c2vuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
1
6
fffX
i = 1
7
∆yi
b c2vuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
557,87
6
fffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 9, 6ff42527331mmQ arredondando:σ y = 9,6 mm 
 
f) Este passo apesar de simples também é importante, é a apresentação final das medidas: 
(1) y. = 125,4F 7,9
b c
mm 
(2) y. = 125,4F 9,6
b c
mm 
(3) O erro de escala é considerado como a metade da menor medida. Para a régua milimetrada o erro é 
de 0,5mm então: y. = 125,4F 0,5
b c
mm 
(4) Exclusivamente para o curso de MEF da UDESC Joinville, foi adotado o erro aleatório como sendo 
igual ao desvio padrão, portanto: y. = 125,4F 9,6
b c
mm 
 
4B – Ainda com base no exercício anterior (4A), resolva: 
a) Sabendo que a equação que se aplica a este caso (olhe para a figura do exercício 4A) é: 
y = y0 + v0 t +
1
2
fffgt2b c, obtenha a fórmula para o cálculo do tempo de reação (isto é, uma fórmula com a variável 
tempo “t” isolada). 
 
b) Usando a fórmula obtida na letra a, monte uma quarta tabela com o tempo de reação para cada medida da 
tabela 1 do exercício 4A. Considere g = 980,66cmAs@ 2 . 
c) Com base na tabela obtida na letra b, determine o valor mais provável do tempo de reação. t
ff
=
1
n
ffffX
i = 1
n
ti 
d) A partir da fórmula obtida na letra a, obtenha a equação do erro indeterminado para o tempo de reação ∆ t
ff
. 
 
e) Calcular o erro propagado (para o valor mais provável do tempo de reação) a partir da fórmula obtida na letra d. 
Considere ∆y =erroescala . 
 
f) Informe o resultado da medida indireta do tempo de reação no formato adequado. 
 
 
Resoluções: 
 
a) Como y0 e v0 t (espaço e velocidade) são iguais à zero no instante em que o estudante (a) da figura solta a 
régua, podemos escrever a equação como: 
 
y = 0 + 0 + 12
fffgt2b c= 12fffgt2
b c
Q então isolamos a variavel t2 e tirando a raiz quadrada dos dois lados temos
a fórmula para calcular o tempo de reação: t = 2yg
ffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
 
b) Para criar a tabela 4 precisamos de algumas informações, acompanhe abaixo: 
Note que g esta em cmAs@ 2 , temos duas opções: passamos g para milímetros ou passamos as medidas para 
centímetros. Desta vez pegaremos o caminho mais curto, passaremos g para milímetros: 
 
1cm = 10mm
g = 980,66cmAs@ 2 = 980,66cm
s2
fffffffffffffffffffffffffffffff10mm
1cm
ffffffffffffffffff
= 9806,6mmAs@ 2 
 
Agora vamos determinar a unidade que acompanhará as medidas: Realizando as operações, no final a unidade 
que sobra é o segundo, e indicamos por s, veja por que: 
t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Q y e g são dados em mm Q t = 2y mm
` a
g mm
` a
s@ 2
fffffffffffffffffffffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
2y
gs@ 2
ffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
2ys2
g
ffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww s` a
 
Veja que sobrou somente o tempo em segundos, fora da raiz ( pois s2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= s), e esta é a unidade final, note 
também que g tem 5 algarismos significativos mas yi tem quatro, então nossos resultados também devem ter 4 
GUIDG.COM 9 
 
algarismos significativos, fazemos isso utilizando os critérios de arredondamento. Agora pegamos a tabela 1 e a 
partir dos valores calculamos o tempo de reação para cada medida, sendo g = 9806,6mmAs@ 2 . 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 
Tabela 1 yi mm
` a
 
120,0 130,5 128,5 140,0 130,0 112,0 116,5 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 Tabela 4 
t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
ti s
` a
 
0,1564 0,1631 0,1619 0,1690 0,1628 0,1511 0,1541 
 
c) Basta somar todos os valores da tabela 4 e dividir pelo número de medidas, depois arredondamos e colocamos 
o resultado em notação científica: 
t
ff
=
1
7
ffffX
i = 1
7
ti =
1,1184
7
fffffffffffffffffffff
= 0,159 7fff71428 s` a Q arredondando: 0,1598 s` a= 1,598B10@ 1 s
 
 
d) Como g é uma constante, a derivada se faz dessa forma: 
t =
2y
g
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 2ygfffffff
f g12fffff
Q chamamos 2yg
fffffffde u, e aplicamos a definição da equação do erro indeterminado:
 
∆t = ∂t∂y
ffffffffLLLLLL
MMMMMM∆y = dtdyfffffffA dudyfffffff
LLLLLL
MMMMMM∆y = ddyfffffff2ygfffffff
f g12fffff
A
d
dy
fffffff2y
g
ffffffff g
LLLLLLLL
MMMMMMMM∆y =
1
2
fff2yg
ffffffff g@ 12fffff
A
2
g
ffff
LLLLLLLL
MMMMMMMM∆y Q ∆t =
1
g
ffff g
2y
ffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
LLLLLL
MMMMMM∆y 
 
e) Aqui considera-se o ∆y =erroescala , a variável y como o valor mais provável y
fff
= 125,4mm e 
g = 9806,6mmAs@ 2 : 
∆ t
ff
=
1
g
ffff g
2 y
fffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
LLLLLL
MMMMMM∆y = 19806,6mmAs@ 2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
9806,6mmAs@ 2
2B125,4mm
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwLLLLLLL
MMMMMMMA 0,5mm 
 
∆ t
ff
=
6,253101304
9806,6mm
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
s
LLLLL
MMMMMA 0,5mm = 3,18 8ff210646B10@ 4 s` a 
 
Agora vem um passo importante, devemos colocar o desvio do tempo ∆ t
ff
 na mesma potência da medida do valor 
mais provável do tempo t
ff
= 1,598B10@ 1 s. 
∆ t
ff
= 3,188210646B10@ 4 s` a Q 0,003188210646B10@ 1 s. 
 
A última etapa é contar o número de casas após a vírgula do valor mais provável t
ff
 e arredondar o desvio do 
tempo ∆ t
ff
. 
Como t
ff
 tem três casas após a vírgula: ∆ t
ff
= 0,00 3ff188210646B10@ 1 s = 0,003B10@ 1 s 
 
f) O formato adequado para apresentação da medida é 
t. = t
ff
F ∆ t
ff
Q t. = 1,598F 0,003
b c
B10@ 1 s 
 
5 – Áreas e volumes fundamentais. Determine a expressão do erro indeterminado para: 
 
a) Área de um retângulo de lados a e h. A = b Ah 
b) Área de um triângulo de base b e altura h. A = b Ah2
ffffffffffff
 
c) Área de um disco de diâmetro D. A = pi A r2 
d) Volume de um cilindro de diâmetro D e comprimento L. V = pi A r2 L 
e) Volume de uma esfera de diâmetro D. V = 43
ffffpi A r3
 
 
 
GUIDG.COM 10 
 
Resoluções: Fórmulas dos desvios de medidas indiretas através da equação do erro indeterminado: 
 
a) 
∆A = ∂A∂b
fffffffffLLLLL
MMMMM∆b + ∂A∂hfffffffff
LLLLL
MMMMM∆h = h∆b + b∆h 
 
b) 
∆A = ∂A∂b
fffffffffLLLLL
MMMMM∆b + ∂A∂hfffffffff
LLLLL
MMMMM∆h = h2ffff∆b + b2ffff∆h 
 
c) 
r =
D
2
fffff
QA = pi A D2
ffffff g2
=
piD2
4
fffffffffffff
∆A = ∂A∂D
fffffffffLLLLL
MMMMM∆D = 2piD4fffffffffffffff
LLLLL
MMMMM∆D = piD2fffffffffff∆D
 
 
d) 
 
r =
D
2
fffff
QV= pi A D2
ffffff g2
AL = piD
2 L
4
fffffffffffffffffff
∆A = ∂V∂D
fffffffffLLLLL
MMMMM∆D + ∂V∂Lfffffffff
LLLLL
MMMMM∆L = 2piDL4ffffffffffffffffffff
LLLLL
MMMMM∆D + piD
2
4
fffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆L = piD L2fffffffffffffffff∆D + piD
2
4
ffffffffffffff∆L
 
 
e) 
r =
D
2
fffff
QV= 43
fffffpi AD38ffffffff= piD
3
6
fffffffffffff
∆A = ∂V∂D
fffffffffLLLLL
MMMMM∆D = 3piD
2
6
fffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM∆D = piD
2
2
ffffffffffffff∆D 
 
 
6 – Aplicação: Determine o volume: 
6A) Mediu-se o raio r e o comprimento L de um cilindro. A partir dessas 
medidas calcule o volume sabendo que: V = pi A r2 L, r = 2,0F 0,5
b c
cm 
e L = 10,0F 0,5
b c
cm. Informe o resultado no formato adequado: 
V. = VF ∆V . 
 
 
Resolução: 
 
Sabendo obter a equação do erro indeterminado e manipula-la, não tem segredo realizar esses cálculos, é só 
substituir para encontrar os resultados: 
V = pi A r2 L = 125,6637061 = 1, 2ff56637061B102 cm3Q arredondando:V = 1,3B102 cm3 
 
∆V= ∂V∂r
fffffffffLLLLL
MMMMM∆r + ∂V∂Lfffffffff
LLLLL
MMMMM∆L = 2pir L∆r + pir 2 ∆L 
∆V = 69,11503838 = 0, 6ff911503838B102 cm3Q arredondando: ∆V = 0,7B102 cm3 
 
V. = VF ∆V = 1,3F 0,7
b c
B102 cm3 
GUIDG.COM 11 
 
6B) Mediu-se o diâmetro D de uma esfera. A partir dessa medida calcule 
o volume sabendo que: V = 43
ffffpi A r3 , D = 9,10F 0,03b ccm. 
Informe o resultado no formato adequado: V. = VF ∆V . 
 
 
 
Resolução: 
V = 43
ffffpi A r3 = 43ffffpi A D2fffff
f g3
= 394,5688529 = 3,9 4fff5688529B102 cm3Q arredondando: V = 3,95B102 cm3
 
 
∆V= ∂V∂D
fffffffffLLLLL
MMMMM∆D = piD
2
2
ffffffffffffff∆D = 3,902329315 = 0,0 3fff902329315B10 2 cm3
Q arredondando: ∆V = 0,04 B10 2 cm3
 
 
V. = VF ∆V = 3,95F 0,04
b c
B102 cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fontes de pesquisa e estudo: 
Apostila do curso: Medidas e Algarismos Significativos, Física Experimental. 
UDESC – CCT (Universidade do Estado de Santa Catarina – Centro de Ciências Tecnológicas). 
Curso, Disciplina: LEF – Licenciatura em Física, MEF – Medidas Físicas.