Álgebra Abstrata Rubens Exerc

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Muitos conjuntos são naturalmente dotados de duas operações binárias: adição e 
multiplicação. Exemplos que rapidamente vêm à mente são os inteiros, os inteiros módulo 
n, os números reais, matrizes e polinômios. Ao considerar esses conjuntos como grupos, 
nós simplesmente usamos a adição e ignoramos a multiplicação. Em muitos casos, no 
entanto, deseja-se levar em conta tanto a adição quanto a multiplicação. Um conceito 
abstrato que faz isso é o conceito de anel. Esta noção foi originada em meados do século 
19 pelo matemático alemão Richard Dedekind (1831-1916), embora sua primeira 
definição abstrata formal não tenha sido dada até que o matemático alemão Abraham 
Fraenkel (1891-1965) a apresentou em 1914. O termo anel foi aplicado pela primeira vez 
em 1897 pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943). 
 
 Dedekind Hilbert Frenkel 
 
1. Dê um exemplo de um anel finito não comutativo. Dê um exemplo de um anel infinito 
não comutativo que não tem unidade. 
2. O anel {0, 2, 4, 6, 8}(mod 10) para a adição e a multiplicação tem unidade. Encontre-
a. 
3. Dê um exemplo de um subconjunto de um anel que é um subgrupo para a adição, mas 
não é um subanel. 
4. Mostre, através de exemplo, que para elementos a e b fixos não-nulos em um anel, a 
equação ax=b pode ter mais de uma solução. Como isso se compara com grupos? 
5. Provar que se um anel tem unidade, ela é única. Se um elemento do anel tem inverso 
multiplicativo, então ele é único; 
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6. Encontre um inteiro n que mostre que os anéis ℤ𝑛 não precisam ter as seguintes 
propriedades que o anel dos inteiros tem. 
i) a2 = a implica a = 0 ou a = 1. 
ii) ab = 0 implica a = 0 ou b = 0. 
iii) ab = ac e a ≠ 0 implicam b = c. 
O n encontrado é primo? 
7. Mostre que as três propriedades listadas na brincadeira 6 são válidas para ℤ𝑝, onde p é 
primo. 
8. Mostre que um anel é comutativo se tiver a propriedade tal que se ab = ca, implica 
b = c quando a ≠ 0. 
9. Prove que a intersecção de qualquer coleção de subanéis de um anel ℝ é um subanel 
de ℝ. 
10. Verifique os exemplos de anéis dados no material didático. 
11. Prove que: 
1. (-a)(-b) = ab. 
2. a(b - c) = ab - ac e (b - c)a = ba - ca. 
Além disso, se ℝ tem o elemento unidade 1, então 
3. (-1)a = -a. 
4. (-1)(-1) = 1. 
12. Seja a, b e c elementos de um anel comutativo e suponha que a é a unidade. Prove 
que b divide c se e somente se ab divide c. 
13. Descreva todos os subanéis do anel dos inteiros. 
14. Sejam a e b elementos do anel ℝ e seja m um inteiro. Prove que 
m . (ab) = (m . a) b = a (m . b). 
15. Mostre que se m e n são inteiros e a e b são elementos de um anel, então 
(m . a)(n . b) = (mn) . (ab). 
16. Mostre que se n é um inteiro e a é um elemento de um anel, então 
n . (-a) = - (n . a). 
17. Mostre que um anel que é cíclico para a adição é comutativo. 
18. Seja a um elemento do anel ℝ. Seja 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎𝑥 = 0}. Mostre que S é um 
subanel de ℝ. 
19. Seja ℝ um anel. O centro de ℝ é o conjunto { 𝑥 ∈ ℝ| 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎} para todo a em ℝ }. 
Prove que o centro de um anel é um subanel. 
3 
 
20. Descreva os elementos de M2 (ℤ) que têm inverso multiplicativo. 
21. Suponha que R1, R2,. . . , Rn são anéis que contêm elementos diferentes de zero. 
Mostrar que 𝑅1⨁𝑅2 ⨁ … .⊕ 𝑅𝑛 tem uma unidade se e somente se cada Ri tem uma 
unidade. 
22. Seja R um anel comutativo com unidade e seja U(R) o conjunto de unidades de R. 
Prove que U(R) é um grupo para a multiplicação em R. (Este grupo é chamado de grupo 
das unidades de R.) 
23. Determine U(Z [i]). 
24. Se R1, R2,. . . , Rn são anéis comutativos com unidade, mostrar que 
𝑈(𝑅1 ⊕ 𝑅2 ⊕ … ⊕ 𝑅𝑛) = 𝑈(𝑅1) ⊕ 𝑈(𝑅2) … ⊕ 𝑈(𝑅𝑛). 
25. Determine U(Z [x]). 
26. Determine U(R [x]). 
27. Mostre que uma unidade de um anel divide cada elemento do anel. 
28. Em Z6, mostre que 4 | 2; no Z8, mostre que 3 | 7; na Z15, mostre que 9 | 12. 
29. Suponha que a e b pertencem a um anel comutativo R com unidade. Se a é uma 
unidade de R e b2 = 0, mostra que a + b é uma unidade de R. 
30. Suponha que haja um inteiro n >1 tal que xn = x para todo elemento x de algum anel. 
Se m é um inteiro positivo e am=0 para algum a, mostre que a = 0. 
31. Dê um exemplo de um anel com elementos a e b onde ab = 0 mas ba ≠ 0. 
32. Seja n um inteiro maior que 1. Em um anel em que xn = x para todo x, mostre que 
ab = 0 implica ba = 0. 
33. Suponha que R seja um anel tal que x3 = x para todo x em R. Prove que 6x = 0 para 
todo x em R. 
34. Suponha que a pertence a um anel e a4 = a2. Prove que a2n = a2 para tudo n > 0. 
35. Encontre um inteiro n > 1 tal que an = a para todo a em Z6. Faça o mesmo para Z10. 
Mostre que tal n não existe para Zm quando m é divisível pelo quadrado de algum primo. 
36. Sejam m e n inteiros positivos e seja k o menor múltiplo comum de m e n. Mostre 
que 𝑚𝑍 ∩ 𝑛𝑍 = 𝑘𝑍. 
37. Explique por que todo subgrupo de Zn para adição é também um subanel de Zn. 
38. Z6 é um subanel de Z12? 
39. Suponha que R seja um anel com unidade 1 e a seja um elemento de R que a2 = 1. 
Seja S={ara; r∈ 𝑅}.Prove que S é um subanel de R. S contém 1? 
40. Seja M2 (Z) o anel de todas as matrizes 2 x 2 sobre os inteiros e seja 
𝑅 = {[
𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑏
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍} . Prove ou desprove que R é um subanel de M2(Z). 
4 
 
41. Seja M2(Z) o anel de todas as matrizes 2 x 2 sobre os inteiros e seja 𝑅 =
{[
𝑎 𝑎 − 𝑏
𝑎 − 𝑏 𝑏
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍}. Prove ou desprove que R é um subanel de M2(Z). 
42. Seja 𝑅 = {[
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍}. Prove ou desprove que R é um subanel de M2(Z). 
43. Seja 𝑅 = 𝑍⨁𝑍 ⨁ 𝑍 e S={(a,b,c) ∈ 𝑅; a+b=c}Prove ou desprove que S é um subanel 
de R. 
44. Suponha que exista um inteiro positivo par n tal que an = a para todo elemento a de 
algum anel. Mostre que -a = a para todo a no anel. 
45. Seja R um anel com unidade 1. Mostre que S ={n . 1 ; n ∈ Z} é um subanel de R. 
46. Mostre que 2𝑍 ∪ 3𝑍 não é um subanel de Z. 
47. Determine a menor subanel de ℚ que contém 1/2. (Isto é, encontrar o subanel S com 
a propriedade de S conter 1/2 e, se T for qualquer subanel contendo 1/2, então T contém 
S.) 
48. Determine o menor subanel de ℚ que contém 2/3. 
49. Seja R um anel. Prove que a2 – b2 = (a + b) (a - b) para todos a, b em R se, e somente 
se, R é comutativo. 
50. Suponha que R seja um anel e que a2 = a para todo a em R. Mostre que R é comutativo. 
[Um anel onde a2 = a para todo a é chamado de anel Booleano] 
51. Dê um exemplo de um anel booleano com quatro elementos. Dê um exemplo de um 
anel booleano infinito. 
52. Se a, b e c são elementos de um anel, a equação ax+b=c sempre tem uma solução x? 
Em caso afirmativo, a solução deve ser única? Responda as mesmas perguntas, 
considerando a como uma unidade. 
53. Sejam R e S anéis comutativos. Prove que (a, b) é um divisor de zero em R⨁S se, e 
somente se, a ou b for um divisor zero ou exatamente a ou b é 0. 
54. Mostre que 4x2 + 6x + 3 é uma unidade em Z8 [x]. 
55. Seja R um anel comutativo com mais de um elemento. Provar que se para cada 
elemento a de R diferente de zero, temos aR = R, então R tem uma unidade e todo 
elemento diferente de zero tem um inverso. 
56. Encontre um exemplo de um anel comutativo R com unidade tal que 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 𝑏, 
an =bn e, am=bm onde n e m são inteiros positivos relativamente primos. 
57. Suponha que R seja um anel sem divisores de zero e que R contenha um elemento 
não nulo b tal que b2 = b. Mostre que b é a unidade para R. 
 
 
 
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1. Dê cinco exemplos de domínios integrais e justifique. 
2. Quais dos exemplos dados na brincadeira 1 são corpos? Justifique. 
3. Mostre que um anel comutativo com a propriedade de cancelamento (para a 
multiplicação) não tem divisores de zero. 
4. Liste todos os divisores de zero em ℤ20. Você pode ver uma relação entre os divisores 
dezero em ℤ20 e as unidades de ℤ20? 
5. Mostre que todo elemento diferente de zero de ℤ𝑛 é uma unidade ou um divisor zero. 
6. Encontre um elemento diferente de zero em um anel que não seja um divisor zero nem 
uma unidade. 
7. Seja R um anel comutativo finito com unidade. Prove que todo elemento não-zero de 
R ou é um divisor zero ou uma unidade. O que acontece se tirarmos a condição "finito" 
de R? 
8. Seja 𝑎 ≠ 0 pertencendo a um anel comutativo. Prove que a é um divisor de zero se, e 
somente se, 𝑎2𝑏 = 0 para algum 𝑏 ≠ 0. 
9. Encontre os elementos a, b e c no anel ℤ ⊕ ℤ ⊕ ℤ de tal forma que ab, ac e bc são 
divisores de zero, mas abc não é um divisor de zero. 
10. Descreva todos os divisores de zero e unidades de ℤ ⊕ ℚ ⊕ ℤ . 
11. Seja d um inteiro. Prove que ℤ[𝑑] = {𝑎 + 𝑏√𝑑; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ} é um domínio integral. 
12. Em ℤ7 , dê uma interpretação razoável para as expressões 1/2, -2/3, √−3 e -1/6. 
13. Dê um exemplo de um anel comutativo sem divisores de zero que não é um domínio 
integral. 
14. Encontre dois elementos a e b em um anel tal que tanto a e b sejam divisores de zero, 
𝑎 + 𝑏 ≠ 0, e a + b não é um divisor de zero. 
15. Seja a pertencendo a um anel R com unidade e suponha que an =0 para algum inteiro 
positivo n. (Tal elemento é chamado de nilpotente). Prove que 1 - a tem um inverso 
multiplicativo em R. 
16. Mostre que os elementos nilpotentes de um anel comutativo formam um subanel. 
17. Mostre que 0 é o único elemento nilpotente em um domínio integral. 
18. Um elemento a de anel é chamado de idempotente se a2 = a. Prove que o somente os 
idempotentes em um domínio integral são 0 e 1. 
19. Sejam a e b idempotentes em um anel comutativo. Mostre que cada um dos seguintes 
também é um idempotente: ab, a – ab, a+ b – ab, a+b - 2ab. 
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20. Mostre que ℤ𝑛 tem um elemento nilpotente diferente de zero se, e somente se, n é 
divisível pelo quadrado de algum primo. 
21. Seja ℝ o anel das funções contínuas de valor real em [=1, 1]. Mostre que ℝ tem 
divisores de zero. 
22. Prove que se a é um elemento idempotente de um anel, então an=a para todos os 
inteiros positivos n. 
23. Determine todos os elementos do anel ℝ que são ambos nilpotentes e idempotentes. 
24. Encontre um divisor zero em ℤ5[𝑖] = {𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ5}. 
25. Encontre um idempotente em ℤ5[𝑖] = {𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ5}. 
26. Encontre todas as unidades, divisores de zero, elementos idempotentes e nilpotentes 
em ℤ3 ⊕ ℤ6. 
27. Determine todos os elementos de um anel que sejam ambos unidades e idempotentes. 
28. Seja R o conjunto de todas as funções de valor real definidas para todos os números 
reais para adição e multiplicação de funções. 
a. Determine todos os divisores de zero de R. 
b. Determine todos os elementos nilpotentes de R. 
c. Mostre que todo elemento diferente de zero é um divisor zero ou uma unidade. 
29. (Teste para um subcorpo). Seja F um corpo e seja K um subconjunto de F com pelo 
menos dois elementos. Prove que K é um subcorpo de F se, para qualquer a, b (b ≠ 0) em 
K, a - b e ab-1 pertencem a K. 
30. Seja d um inteiro positivo. Prove que 𝑄[√𝑑] = {𝑎 + 𝑏√𝑑; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄} é um corpo. 
31. Seja R um anel com unidade 1. Se o produto de qualquer par de elementos diferentes 
de zero em R não é nulo, prove que ab = 1 implica ba = 1. 
32. Seja R = {0, 2, 4, 6, 8} (mod 10) para a adição e multiplicação. Prove que R é um 
corpo. 
33. Formule a definição apropriada para um subdomínio (isto é, um "sub" domínio 
integral). Seja D um domínio integral com unidade 1. Mostre que P = {n . 1 ; 𝑛 ∈ ℤ} é 
um subdomínio de D. Mostre que P está contido em cada subdomínio de D. O que 
podemos dizer sobre a ordem de P? 
34. Prove que não há domínio integral com exatamente seis elementos. Seu argumento 
pode ser adaptado para mostrar que não há domínio integral com exatamente quatro 
elementos? E quanto a 15 elementos? Use estas observações para deduzir um resultado 
geral sobre o número de elementos em um domínio integral finito. 
35. Seja F um corpo de ordem 2n. Prove que o car F = 2. 
36. Determine todos os elementos de um domínio integral que são seus próprios inversos 
para a multiplicação. 
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37. Caracterize os domínios integrais para os quais 1 é o único elemento que é o seu 
próprio inverso multiplicativo. 
38. Determine todos os inteiros n > 1 para os quais (n-1)! é um divisor de zero em ℤ𝑛. 
39. Suponha que a e b pertençam a um domínio integral. 
a. Se a5 = b5 e a3 = b3, prove que a = b. 
b. Se am = bm e an = bn, onde m e n são inteiros positivos relativamente primos, prove 
que a = b. 
40. Encontre um exemplo de um domínio integral com inteiros positivos distintos m e n 
tais que am = bm e an = b, mas a ≠ b. 
41. Se a for um elemento idempotente em um anel comutativo, mostre que 1 - a também 
é um idempotente. 
42. Construir uma tabela de multiplicação para ℤ2[𝑖], o anel dos inteiros Gaussianos 
módulo 2. Este anel é um corpo? É um domínio integral? 
43. Os elementos não nulos de ℤ3[𝑖] formam um grupo Abeliano de ordem 8 para a 
multiplicação. Ele é isomorfo para ℤ8, ℤ4⨁ℤ2, ou ℤ2⨁ℤ2⨁ℤ2 
44. Mostre que ℤ7[√3] = {𝑎 + 𝑏√3; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ7} é um corpo. Para qualquer inteiro 
positivo k e qualquer primo p, determinar uma condição necessária e suficiente para que 
ℤ𝑝[√𝑘] = {𝑎 + 𝑏√𝑘; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ𝑝} seja um corpo. 
45. Mostre que um anel comutativo finito sem divisores de zero e com pelo menos dois 
elementos tem uma unidade. 
46. Suponha que a e b pertençam a um anel comutativo e ab seja um divisor zero. Mostre 
que a ou b é um divisor zero. 
47. Suponha que R seja um anel comutativo sem divisores de zero. Mostre que todos os 
elementos não nulos de R têm a mesma ordem aditiva. 
48. Suponha que R seja um anel comutativo sem divisores de zero. Mostre que a 
característica de R é 0 ou um primo. 
49. Sejam x e y pertencentes a um anel comutativo R com característica um primo p. 
a. Mostre que (𝑥 + 𝑦)𝑝 = 𝑥𝑝 + 𝑦𝑝. 
b. Mostre que, para todo inteiro positivos n, (𝑥 + 𝑦)𝑝𝑛
= 𝑥𝑝𝑛
+ 𝑦𝑝𝑛
. 
c. Encontre os elementos x e y em um anel de característica 4, tal que 
(𝑥 + 𝑦)4 ≠ 𝑥4 + 𝑦4 
50. Seja R um anel comutativo com unidade 1 e de característica um número primo. Se 
𝑎 ∈ 𝑅 é nilpotente, prove que existe um inteiro positivo k tal que (1 + 𝑎)𝑘 = 1. 
51. Mostre que qualquer corpo finito tem ordem pn, onde p é primo. 
52. Dê um exemplo de um domínio integral infinito que tenha características 3. 
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53. Seja R um anel e seja M2 (R) o anel das matrizes 2 x 2 com entradas de R. Explique 
porque esses dois anéis têm a mesma característica. 
54. Seja R um anel com m elementos. Mostre que a característica de R divide m. 
55. Explique por que um anel finito deve ter uma característica diferente de zero. 
56. Encontre todas as soluções de x2-x+2=0 em ℤ3[𝑖]. 
57. Considere a equação x2-5x+6=0. 
a. Quantas soluções esta equação tem ℤ7? 
b. Encontre todas as soluções desta equação em ℤ8. 
c. Encontre todas as soluções desta equação em ℤ12. 
d. Encontre todas as soluções desta equação em ℤ14. 
58. Encontre a característica de ℤ4⨁4ℤ . 
59. Suponha que R seja um domínio integral em que 20 . 1 = 0 e 12 . 1 = 0. Qual é a 
característica de R? 
60. Em um anel comutativo de característica 2, prove que os idempotentes formam um 
subanel. 
61. Descreva o menor subcorpo do copo dos números reais que contém √2. (Isto é, 
descreva o subcorpo K com a propriedade que K contém √2 e se F é qualquer subcorpo 
contendo √2 , então F contém K.) 
62. Seja F um corpo finito com n elementos. Prove que xn-1=1 para todo x diferente de 
zero em F. 
63. Seja F um corpo de característica um primo p. Prove que K={x∈ 𝐹; 𝑥𝑝 = 𝑥} é um 
subcorpo de F. 
64. Suponha que a e b pertençam a um corpo de ordem 8 e que a2+ab+b2=0. Prove que 
a = 0 e b = 0. Faça o mesmo quando o corpo tem odem 2n com n ímpar. 
65. Seja F um corpo de característica2 com mais de dois elementos. Mostre que 
(𝑥 + 𝑦)3 ≠ 𝑥3 + 𝑦3 para algum x e y em F. 
66. Suponha que F é um campo com a característica diferente de 2, e que os elementos 
não nulos de F formam um grupo cíclico para a multiplicação. Prove que F é finito. 
67. Suponha que D é um domínio integral e que 𝜙 é uma função não constante de D para 
os inteiros não negativos tais que 𝜙(𝑥𝑦) = 𝜙(𝑥)𝜙(𝑦). Se x é uma unidade em D, mostre 
que 𝜙(𝑥) = 1. 
68. Seja F um corpo de ordem 32. Mostre que os únicos subcorpos de F são o próprio F 
e {0, 1}. 
69. Suponha que F seja um corpo com 27 elementos. Mostre que para cada elemento 
𝑎𝜖𝐹, 5𝑎 = −𝑎. 
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1. Seja R um anel comutativo com unidade e seja a ∈ R. Prove que o conjunto 
〈𝑎〉 = {𝑟𝑎; 𝑟 ∈ 𝑅} é um ideal de R, chamado ideal principal gerado por a. 
2. Seja R [x] o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais e seja A o 
subconjunto de todos os polinômios com termo constante 0. Prove que A é um ideal de 
R[x] e A=〈𝑥〉. 
3. Seja R um anel comutativo com unidade e seja a1, a2,. . . ,an pertencentes a R. Prove 
que 𝐼 = 〈𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛〉 = {𝑟1𝑎1 + 𝑟2𝑎2 + ⋯ + 𝑟𝑛𝑎𝑛; 𝑟𝑖 ∈ 𝑅} é um ideal de R chamado 
ideal gerado por a1, a2,. . . ,an. E se J é qualquer ideal de R que contém a1, a2,. . . ,an , 
então, I⊆J. (Daí, 〈𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛〉 é o menor ideal de R que contém a1, a2,. . . ,an.) 
4. Encontre um subanel de ℤ⨁ℤ que não seja um ideal de ℤ⨁ℤ. 
5. Seja 𝑆 = {𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑏 é 𝑝𝑎𝑟}. Mostre que S é um subanel de Z[i], mas não é um 
ideal de Z[i]. 
6. Encontre todos os ideais maximais em 
a. Z8 b. Z10 c. Z12 d. Zn. 
7. Seja a pertencendo a um anel comutativo R. Mostre que aR = {ar ; r∈ R} é um ideal 
de R. Se R é o anel de inteiros pares, liste os elementos de 4R. 
8. Prove que a interseção de qualquer conjunto de ideais de um anel é um ideal. 
9. Se n é um número inteiro maior que 1, mostre que 〈𝑛〉 = 𝑛𝑍 é um ideal primo de Z se 
e somente se n é primo. 
10. Se A e B são ideais de um anel, mostre que a soma 𝐴 + 𝐵 = {𝑎 + 𝑏; 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}, é 
um ideal. 
11. No anel dos inteiros, encontre um inteiro positivo a tal que 
a. 〈𝑎〉 = 〈2〉 + 〈3〉 
b. 〈𝑎〉 = 〈6〉 + 〈8〉 
c. 〈𝑎〉 = 〈𝑚〉 + 〈𝑛〉 
12. Sejam A e B são ideais de um anel, mostre que o produto 𝐴𝐵 = {𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ +
𝑎𝑛𝑏𝑛; 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑏𝑖 ∈ 𝐵, 𝑛 um inteiro positivo} , é um ideal. 
13. Encontre um inteiro positivo a tal que 
a. 〈𝑎〉 = 〈3〉〈4〉 
b. 〈𝑎〉 = 〈6〉〈8〉 
c. 〈𝑎〉 = 〈𝑚〉〈𝑛〉 
10 
 
14. Sejam A e B ideais de um anel. Prove que AB ⊆ A∩ B. 
15. Se A é um ideal de um anel R e 1 pertence a A, prove que A = R. 
16. Se A e B são ideais de um anel comutativo R com unidade e A + B = R, mostre que 
A∩ B = AB. 
17. Se um ideal I de um anel R contém uma unidade, mostre que I = R. 
18. Se R é um anel comutativo finito com unidade, prove que todo ideal primo de R é um 
ideal maximal de R. 
19. Dê um exemplo de um anel que tenha exatamente dois ideais maximais. 
20. Suponha que R seja um anel comutativo e |R| = 30. Se I for um ideal de R e | I | = 10, 
prove que I é um ideal maximal. 
21. Seja 𝑅 = {[
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
] ; 𝑎𝑖 ∈ ℤ} e seja I o subconjunto de R consistindo das matrizes 
com entradas pares. Mostre que I é um ideal de R. 
22. Seja 𝐼 = 〈2〉. Prove que I[x] não é um ideal maximal de Z [x] embora I seja um ideal 
maximal de Z. 
23. Seja 𝑅 = {[
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
] ; 𝑎𝑖 ∈ ℤ} e seja I o subconjunto de R consistindo das matrizes 
com entradas pares. Considere o anel quociente R/I. A questão interessante sobre este 
anel é: Qual é o seu tamanho? Afirmamos que R/I tem 16 elementos; de fato, 
𝑅 𝐼 = {[
𝑟1 𝑟2
𝑟3 𝑟4
] + 𝐼; 𝑟𝑖 ∈ {0,1}}⁄ . Um exemplo típico ilustra a situação. Qual dos 16 
elementos é [
7 8
5 −3
] + 𝐼? Bem, observe que [
7 8
5 −3
] + 𝐼 = [
1 0
1 1
] + [
6 8
4 −4
] + 𝐼 =
[
1 0
1 1
] + 𝐼, já que um ideal absorve seus próprios elementos. Prove o caso geral. 
24. Dê um exemplo de um anel comutativo que tenha um ideal maximal, mas não um 
ideal primo. 
25. Considere 𝐵 = {𝑏𝑟 + 𝑎; 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑎 ∈ 𝐴}. Prove que Bé um ideal de R. 
26. Se R é um anel comutativo com unidade e A é um ideal próprio de R, mostre que R/A 
é um anel comutativo com unidade. 
27. Prove que os únicos ideais de um corpo F são {0} e o próprio F. 
28. Seja R um anel comutativo com unidade. Suponha que os únicos ideais de R são {0} 
e R. Mostre que R é um corpo. 
29. Liste os elementos distintos no anel 𝑍[𝑥]/〈3, 𝑥2 + 1〉. Mostre que esse anel é um 
corpo. 
30. Mostre que 𝑅[𝑥]/〈𝑥2 + 1〉 é um corpo. 
31. Em Z[x], o anel de polinômios com coeficientes inteiros, seja 
𝐼 = {𝑓(𝑥) ∈ 𝑍[𝑥]; 𝑓(0) = 0} . Prove que 𝐼 = 〈𝑥〉. 
11 
 
32. Mostre que 𝐴 = {(3𝑥, 𝑦); 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍} é um ideal maximal de 𝑍 ⊕ 𝑍 . Generalize. O que 
acontece se 3x for substituído por 4x? Generalize. 
33. Seja R o anel de funções contínuas de R em R. Mostre que 
𝐴 = {𝑓 ∈ 𝑅; 𝑓(0) = 0} é um ideal maximal de R. 
34. Seja 𝑅 = 𝑍8 ⊕ 𝑍30. Encontre todos os ideais maximal de R, e para cada ideal 
maximal I, identifique o tamanho do corpo R/I. 
35. Quantos elementos existem em 𝑍[𝑖]/〈3 + 𝑖〉? Justifique sua resposta. 
36. Em Z[x], o anel de polinômios com coeficientes inteiros, seja 
𝐼 = {𝑓(𝑥) ∈ 𝑍[𝑥]; 𝑓(0) = 0} . Prove que I não é um ideal maximal. 
37. Em 𝑍 ⊕ 𝑍 , seja 𝐼 = {(𝑎, 0); 𝑎 ∈ 𝑍}. Mostre que I é um ideal primo, mas não é um 
ideal maximal. 
38. Seja R um anel e seja I um ideal de R. Prove que o anel quociente R/I é comutativo 
se, e somente se, rs - sr ∈ I para todo r e s em R. 
39. Em Z [x], seja 𝐼 = {𝑓(𝑥) ∈ 𝑍[𝑥]; 𝑓(0) é 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟}. Prove que 𝐼 = 〈𝑥, 2〉. I é 
um ideal primo de Z [x]? I é um ideal maximal? Quantos elementos há em Z [x]/I ? 
40. Prove que 𝐼 = 〈2 + 2𝑖〉 não é um ideal primo de Z[i]. Quantos elementos há em 
Z[i] / I ? Qual é a característica de Z [i]/I ? 
41. Em Z5[x], seja 𝐼 = 〈𝑥2 + 𝑥 + 2〉. Encontre o inverso multiplicativo de 2x + 3 + I em 
Z5[x] / I. 
42. Seja R um anel e seja p um primo fixo. Mostre que 
𝐼𝑝 = {𝑟 ∈ 𝑅; 𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑟 é 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝} é um ideal de R. 
43. Um domínio integral D é chamado de domínio ideal principal se cada ideal de D tem 
a forma 〈𝑎〉 = {𝑎𝑑; 𝑑 ∈ 𝐷} para algum a em D. Mostre que Z é um domínio ideal 
principal. 
44. Seja 𝑅 = {[
𝑎 𝑏
0 𝑑
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑑 ∈ ℤ} e 𝑆 = {[
𝑟 𝑠
0 𝑡
] ; 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ ℤ, 𝑠 é 𝑝𝑎𝑟} . Se S é um ideal 
de R, o que você pode dizer sobre r e t? 
45. Se R e S são domínios ideais principais, prove que R⨁ S é um anel ideal principal. 
46. Em um domínio ideal principal, mostre que todo ideal primo não trivial é um ideal 
maximal. 
47. Seja R um anel comutativo e seja A qualquer subconjunto de R. Mostre que o 
aniquilador de A, 𝐴𝑛𝑞(𝐴) = 𝑟 ∈ 𝑅; 𝑟𝑎 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 𝑒𝑚 𝐴}, é um ideal. 
48. Seja R um anel comutativo e seja A um ideal de R. Mostre que o radical zero de A, 
𝑁(𝐴) = {𝑟 ∈ 𝑅; 𝑟𝑛 ∈ 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛 (𝑛 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟)}, é um 
ideal de R. [𝑁〈0〉 é chamado de radical zero de R.] 
49. Seja R = Z27. Encontre 
a. 𝑁(〈0〉) b. 𝑁(〈3〉) c. 𝑁(〈9〉) 
12 
 
 50. Seja R = Z36. Encontre 
a. 𝑁(〈0〉) b. 𝑁(〈4〉) c. 𝑁(〈6〉) 
51. Seja R um anel comutativo. Mostre que R/ 𝑁(〈0〉) não tem elementos nilpotentes não 
nulos. 
52. Seja A um ideal de um anel comutativo. Prove que N (N (A)) = N (A). 
53. Seja Z2 [x] o anel de todos os polinômios com coeficientes em Z2. Mostre que 
𝑍2[𝑥]/〈𝑥2 + 𝑥 + 1〉 é um corpo. 
54. Liste os elementos do corpo apresentados naBrincadeira 51 e faça uma tabela de 
adição e multiplicação para o corpo. 
55. Mostre que 𝑍3[𝑥]/〈𝑥2 + 𝑥 + 1〉 não é um corpo. 
56. Seja R um anel comutativo sem unidade, e seja 𝑎 ∈ 𝑅. Descreva o menor ideal I de 
R que contém a (isto é, se J é qualquer ideal que contém a, então 𝐼 ⊆ 𝐽. ). 
57. Seja R o anel de funções contínuas de R em R. Seja 
𝐴 = {𝑓 ∈ 𝑅; 𝑓(0) = 0 é 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟}. Mostre que A é um subanel de R, mas não é 
um ideal de R. 
58. Mostre que 𝑍[𝑖]/〈1 − 𝑖〉 é um corpo. Quantos elementos tem esse corpo? 
59. Se R é um domínio ideal principal e I é um ideal de R, prove que cada ideal de R/I é 
principal. 
60. Quantos elementos há em 𝑍5[𝑖]/〈1 + 𝑖〉 ? 
61. Mostre, através de um exemplo, que a interseção de dois ideais primos pode não ser 
um ideal primo. 
62. Seja ℝ o anel dos números reais. Determine todos os ideais de ℝ ⊕ ℝ. O que acontece 
se ℝ for substituído por qualquer corpo F? 
63. Encontre a característica de 𝑍[𝑖]/〈2 + 𝑖〉. 
64. Mostre que a característica de 𝑍[𝑖]/〈𝑎 + 𝑏𝑖〉 divide a2 + b2. 
65. Prove que o conjunto de todos os polinômios cujos coeficientes são todos pares é um 
ideal primo em Z[x]. 
66. Seja 𝑅 = 𝑍[√−5] e seja 𝐼 = {𝑎 + 𝑏√−5; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑎 − 𝑏 é 𝑝𝑎𝑟}. Mostre que I é um 
ideal maximal de R. 
67. Seja R um anel comutativo com unidade onde a2=a para todos a em R. Seja I um 
ideal primo em R. Mostre que |R / I| = 2. 
68. Seja R um anel comutativo com unidade, e seja I um ideal próprio com a propriedade 
de que todo elemento de R que não está em I é uma unidade de R. Prove que I é o único 
ideal maximal de R. 
13 
 
69. Seja 𝐼0 = {𝑓(𝑥) ∈ 𝑍[𝑥]; 𝑓(0) = 0}. Para qualquer inteiro positivo n, mostre que 
existe uma sequência de ideais estritamente crescentes tais que 
𝐼0 ⊂ 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑛 ⊂ 𝑍[𝑥]. 
70. Seja 𝑅 = {(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … )}, onde cada 𝑎𝑖 ∈ 𝑍 . Seja 𝐼 = {(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … )}, onde apenas 
um número finito de termos é diferente de zero. Provar que I não é um ideal principal de 
R. 
71. Seja R um anel comutativo com unidade e seja a, b ∈ R. Mostre que 〈𝑎, 𝑏〉, o menor 
ideal de R contendo a e b, é 𝐼 = 𝑟𝑎 + 𝑟𝑏; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅). Ou seja, mostre que I contendo a e 
b e que qualquer ideal que contém a e b também contém I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
1. Seja 𝜙: (A, +, .) → B(,+, .) um homomorfismo de anéis. Prove que 𝜙 (0A) = 𝜙 (0B). 
2. Seja 𝜙: (A, +, .) → B(,+, .) um homomorfismo de anéis. Prove que 𝜙 (-x) = - 𝜙 (x). 
3. Seja 𝜙: (A, +, .) → B(,+, .) um homomorfismo de anéis. Prove que 𝜙 (a-b) = 𝜙 (a) -
 𝜙(𝑏). 
4. Seja 𝜙: (A, +, .) → B(,+, .) um homomorfismo de anéis. Prove que (𝑁(𝜙), +, .) é um 
subanel de (A, +, .). 
5. Mostre que a correspondência 𝑥 → 5𝑥 de Z5 em Z10 não preserva a adição. 
6. Mostre que a correspondência 𝑥 → 3𝑥 de Z4 em Z12 não preserva a multiplicação. 
7. Mostre que a função 𝜙: 𝐷 → 𝐹 dada por 𝑥 →
𝑥
1
 é um homomorfismo de anéis. 
8. Prove que todo homomorfismo de anéis 𝜙 de Zn em si tem o mesmo tem a forma 
𝜙(𝑥) = 𝑎𝑥, , onde a2 = a. 
9. Suponha que 𝜙 seja um homomorfismo de anéis de Zn em Zn. Prove que se 
𝜙(1) = 𝑎𝑥, então a2 = a. Dê um exemplo para mostrar que o inverso é falso. 
10. a. O anel 2Z é isomorfo ao anel 3Z? 
b. O anel 2Z é isomorfo ao anel 4Z? 
11. Prove que a intersecção de qualquer coleção de subcorpos de um corpo F é um 
subcorpo de F. 
12. Seja Z3[i] = {a + bi | a, b ∈ Z3}. Mostre que o corpo Z3[i] é um anel isomorfo ao corpo 
Z3[x] / (x2 + l). 
13. Seja 
𝑆 = {[
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}. 
Mostre que 𝜙: ℂ → 𝑆 dado por 
𝜙(𝑎 + 𝑏𝑖) = [
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎
] 
é um isomorfismo de anéis. 
14. Deixe Z [√2] =5 {a + b√2 ; a, b ∈ Z} e 
𝐻 = {[
𝑎 2𝑎
2 𝑎
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍} 
Mostre que Z [√2] e H são anéis isomorfos. 
15 
 
15. Considere a função de M2(Z) em Z dada por [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] → 𝑎. Prove ou desprove que a 
função é um homomorfismo de anéis. 
16. Seja 𝑅 = {[
𝑎 𝑏
0 𝑑
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑑 ∈ ℤ}. Prove ou desprove que a função [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] → 𝑎 é um 
homomorfismo de anéis. 
17. A função de Z5 em Z30 é dada por 𝑥 ⟶ 6𝑥 é homomorfismo de anéis? Note que a 
imagem da unidade é a unidade da imagem mas não a unidade do Z30. 
18. A função de Z10 em Z10 é dada por 𝑥 ⟶ 2𝑥 é um homomorfismo de anéis? 
19. Seja R[x] o anel dos polinômios com coeficientes reais. Seja 𝜙: 𝑅[𝑥] ⟶ 𝑅 que 
associa f(x) ⟶ f(1) prove que é um homomorfismo sobrejetivo. Determine o núcleo 
desse homomorfismo. 
20. Lembre-se de que um elemento de anel a é chamado de idempotente se a2 = a. Provar 
que um homomorfismo de anéis leva um idempotente em um idempotente. 
21. Determine todos os homomorfismos de anéis de Z6 em Z6. Determinar todos os 
homomorfismos de anéis de Z20 em Z30. 
22. Determine todos os isomorfismos de anéis de Zn em si mesmo. 
23. Determine todos os homomorfismos de anéis de Z em Z. 
24. Suponha que f é um homomorfismo de anéis de 𝑍 ⊕ 𝑍 em 𝑍 ⊕ 𝑍. Quais são as 
possibilidades para 𝜙((1, 0))? 
25. Determine todos os homomorfismos de anéis de 𝑍 ⊕ 𝑍 em 𝑍 ⊕ 𝑍. 
26. Em Z, seja 𝐴〈2〉 e 𝐵〈8〉. Mostre que o grupo A / B é isomorfo ao grupo Z4, mas que 
o anel A / B não é um anel isomorfo para o anel Z4. 
27. Seja R um anel com unidade e seja f um homomorfismo de anéis R em S, onde S tem 
mais de um elemento. Prove que S tem uma unidade. 
28. Mostre que (𝑍 ⊕ 𝑍)/(〈𝑎〉⨁〈𝑏〉) é um anel isomorfo a 𝑍𝑎 ⊕ 𝑍𝑏 . 
29. Determine todos os homomorfismos de anéis de 𝑍 ⊕ 𝑍 em Z. 
30. Prove que a soma dos quadrados de três inteiros consecutivos não pode ser um 
quadrado. 
31. Seja m um inteiro positivo e seja n um inteiro obtido de m, reorganizando os dígitos 
de m de alguma forma. (Por exemplo, 72345 é um rearranjo de 35274.) Mostre que m - n 
é divisível por 9. 
32. (Teste de Divisibilidade por 11) Seja n um inteiro com representação decimal 
𝑎𝑘𝑎𝑘−1 … 𝑎1𝑎0. Prove que n é divisível por 11 se, e somente se, 𝑎0 − 𝑎1 + 𝑎2 −
⋯ (−1)𝑘𝑎𝑘 é divisível por 11. 
33. Mostre que o número 7 176 825 942 116 027 211 é divisível por 9 mas não divisível 
por 11. 
16 
 
34. Se m e n são inteiros positivos, prove que a função de Zm em Zn dada por 
𝜙(𝑥) = 𝑥(𝑚𝑜𝑑 𝑛) é um homomorfismo de anéis se e somente se n divide m. 
35. (Teste de Divisibilidade por 3) Seja n um inteiro com representação decimal 
𝑎𝑘𝑎𝑘−1 … 𝑎1𝑎0. Prove que n é divisível por 3 se, e somente se, 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘−1 + ⋯ + 𝑎1 +
𝑎0 é divisível por 3. 
36. (Teste de Divisibilidade por 4) Seja n um inteiro com representação decimal 
𝑎𝑘𝑎𝑘−1 … 𝑎1𝑎0. Prove que n é divisível por 4 se e somente se, 𝑎1𝑎0 é divisível por 4. 
37. Para qualquer inteiro n > 1, prove que 𝑍𝑛[𝑥]/〈𝑥〉 é isomorfo a Zn. 
38. Para qualquer inteiro n >1, prove que 〈𝑥〉 é um ideal maximal de Zn, [x] se, e somente 
se, n é primo. 
39. Dê um exemplo de um homomorfismo de anéis de um anel comutativo R para um 
anel S que leve um divisor de zero em R em uma unidade em S. 
40. Prove que qualquer automorfismo de um corpo F é a identidade de um subcorpo primo 
em si mesmo. 
41. Mentalmente, determine (2. 1075 + 2)100 (mod 3) e (10100 + 1)99 (mod 3). 
42. Determine todos os homomorfismos de anéis de Q em Q. 
43. Sejam R e S anéis comutativos com unidade. Se 𝜙 é um homomorfismo de R em S e 
a característica de R é diferente de zero, prove que a característica de S divide a 
característica de R. 
44. Seja R um anel comutativo de característica um primo p. Mostre que a função de 
Frobenius 𝑥 → 𝑥𝑝 é um homomorfismo de anéis de R em R. 
45. Existe um homomorfismo de anéis dos reais para algum anel cujo núcleo são os 
inteiros? 
46. Mostre que um homomorfismo sobrejetivo de um corpo em um anel com mais de um 
elemento deve ser um isomorfismo. 
47. Suponhaque R e S sejam anéis comutativos com unidades. Seja 𝜙 um homomorfismo 
de anéis de R em S e seja A ideal de S. 
a. Se A é primo em S, mostre que 𝜙−1(𝐴) = {𝑥 ∈; 𝜙 ∈ 𝐴} é primo em R. 
b. Se A for maximal em S, mostre que 𝜙−1(𝐴) é maximal em R. 
48. Um anel ideal principal é um anel com a propriedade que todo ideal tem a forma 〈𝑎〉. 
Mostre que a imagem do homomorfismo de um anel ideal principal é um anel ideal 
principal. 
49. Sejam R e S anéis. 
a. Mostre que a função sobrejetiva 𝑅⨁𝑆 em R dada por (𝑎, 𝑏) → 𝑎 é um homomorfismo 
de anéis. 
17 
 
b. Mostre que a função de R em 𝑅⨁𝑆 dada por 𝑎 → (𝑎, 0) é um homomorfismo injetivo 
de anéis . 
c. Mostre que 𝑅⨁𝑆 é um anel isomorfo a 𝑆⨁𝑅. 
50. Mostre que se m e n são inteiros positivos distintos, então mZ não é um anel isomorfo 
a nZ. 
51. Prove ou desprove que o corpo dos números reais é um anel isomorfo ao corpo de 
números complexos. 
52. Mostre que o único automorfismo de anel dos números reais é a função identidade. 
53. Determine todos os homomorfismos de anéis de R em R. 
54. Suponha que n divide m e que a é um idempotente de Zn (isto é, a2 = a). Mostre que a 
função 𝑥 ⟶ 𝑎𝑥 é um homomorfismo de anéis de Zn em Zn. Mostre que a mesma 
correspondência não precisa produzir um homomorfismo de anéis se n não divide m. 
55. Mostre que a operação de multiplicação 
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 é bem definida. 
56. Seja 𝑄[√2] = {𝑎 + 𝑏√2; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄} 𝑒 𝑄[√5] = 𝑎 + 𝑏√5; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄]. Mostre que esses 
dois anéis não são anéis isomorfos. 
57. Seja 𝑍[𝑖] = {𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍}. Mostre que o corpo das frações (ou corpo quociente) 
de Z[i] é um anel isomorfo a 𝑄[𝑖] = {𝑟 + 𝑠𝑖; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑄. 
58. Seja D um domínio integral. Então existe um corpo F (chamado de corpo das frações 
de D) que contém um subanel isomorfo a D. Prove. 
59. Seja F um corpo. Mostre que o corpo das frações de F é um anel isomorfo a F. 
60. Seja D um domínio integral e seja F um corpo quociente (ou corpo das frações) de 
D. Mostre que se E é qualquer corpo que contém D, então E contém um subcorpo que é 
anel isomorfo a F. (Assim, o corpo das frações de um domínio integral D é o menor 
corpo contendo D.) 
61. Explique por que um anel comutativo com unidade que não é um domínio integral 
não pode estar contido em um corpo. (Compare com o a questão 58) 
62. Seja 𝑆 = {(𝑎, 𝑏); 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷, 𝑏 ≠ 0}. Seja a relação em S dada por (𝑎, 𝑏) ≡ (𝑐, 𝑑) se 
ad=bc. Mostre que é um relação de equivalência. 
63. Dê um exemplo de um anel sem unidade contido em um corpo. 
64. Prove que o conjunto 𝑇 = {𝑎𝑏−1; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, 𝑏 ≠ 0} é um anel isomorfo ao corpo dos 
números racionais. 
65. Suponha que 𝜙: 𝑅 ⟶ 𝑆 seja um homomorfismo de anéis e que a imagem 𝜙 não é 
{0}. Se R tem uma unidade e S é um domínio integral, mostre que 𝜙 leva a unidade de 
R na unidade de S. Dê um exemplo para mostrar que a afirmação anterior não precisa ser 
verdadeira se S não for um domínio integral. 
18 
 
66. Seja 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥]. Se a+bi é um zero complexo de f(x) (aqui 𝑖 = √−1), mostre que 
a – bi é um zero de f(x). 
67. Seja 𝑅 = {[
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍}, e seja 𝜙 uma função tal que [
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
] ⟶ 𝑎 − 𝑏. 
a. Mostre que 𝜙 é um homomorfismo. 
b. Determine o kernel de 𝜙. 
c. Mostre que R/Ker 𝜙 é isomorfo a Z. 
d. O Ker 𝜙 é um ideal primo? 
e. Ker 𝜙 é um ideal maximal? 
68. Mostre que o subcorpo primo de um corpo de característica p é um anel isomorfo a 
Zp e que o subcorpo primo de um corpo de característica 0 é um anel isomorf a Q. 
69. Seja n um inteiro positivo. Mostre que existe um isomorfismo de anéis de Z2 em um 
subanel de Z2n se, e somente se, n for ímpar. 
70. Mostre que Zmn é um anel isomorfo a 𝑍𝑚⨁𝑍𝑛 quando m e n são relativamente primos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Verdadeiro ou falso 
Marque cada uma das seguintes afirmações como verdadeira ou falsa. 
1. Cada anel é um grupo abeliano com respeito às operações de adição e multiplicação. 
2. Seja A um anel. O conjunto {0} é um subanel de A em relação às operações em A. 
3. Seja A um anel. Então A é um subanel de si mesmo. 
4. Ambos E, o conjunto de inteiros pares, e Z-E, o conjunto de inteiros ímpares, são 
subanéis do conjunto Z de todos os inteiros. 
5. Se um elemento em um anel A tem um inverso multiplicativo, então todos os elementos 
em A devem ter inversos multiplicativos. 
6. Seja x e y elementos em um anel A. Se xy = 0, então x = 0 ou y = 0. 
7. Seja A um anel com unidade e S subanel (com unidade) de A. Então A e S devem ter 
o mesmo elemento como unidade. 
8. A unidade existe em qualquer anel comutativo. 
9. Qualquer anel com unidade deve ser comutativo. 
10. Zn é um subanel de Z, onde n∈ Z+ e n> 1. 
11. Um domínio integral contém pelo menos dois elementos. 
12. Todo corpo é um domínio integral. 
13. Todo domínio integral é um corpo. 
14. Se um conjunto S não for um domínio integral, então S não é um corpo. 
15. O corpo ℚ de números racionais é uma extensão do domínio integral ℤ dos inteiros. 
16. O corpo ℝ de números reais é uma extensão do domínio integral ℤ dos inteiros. 
17. Todo ideal de um anel A é um subanel de A. 
18. Todo subanel de um anel A é um ideal de A. 
20 
 
19. O único ideal de um anel A que contém a unidade 1A é o próprio anel A. 
20. Qualquer ideal de um anel A é um subgrupo normal do grupo aditivo A. 
21. Os únicos ideais do conjunto de números reais A são os ideais {0} e A. 
22. Todo ideal de Z é um ideal principal. 
23. Para n > 1, o anel quociente de Z pelo ideal 〈𝑛〉 é Zn. 
24. Se I é um ideal de S, onde S é um subanel de um anel A, então I é um ideal de A. 
25. A característica de um anel A é o inteiro positivo n tal que nx = 0 para todo x em A. 
26. A característica de um anel R é o menor inteiro positivo n tal que nx = 0 para algum 
x em A. 
27. A característica de um anel A é zero se n = 0 é o único inteiro tal que nx = 0 para todo 
x em A. 
28. Se um anel A tem característica zero, então A deve ter um número infinito de 
elementos. 
29. Se um anel A tiver um número infinito de elementos, então A deve ter característica 
zero. 
30. O único ideal de um anel A que contem propriamente um ideal maximal é o ideal A. 
31. Existe apenas um ideal maximal para um dado anel A. 
32. Um homomorfismo de anéis de um anel A para um anel A’ deve preservar ambas as 
operações dos anéis. 
33. Se existe um homomorfismo de um anel A para um anel A', então A' é chamado de 
imagem homomórfica de R. 
34. Os ideais de um anel A e os núcleos dos homomorfismos de A a outro anel são os 
mesmos dos subanéis de A. 
35. Cada anel quociente de um anel A é uma imagem homomórfica de R. 
36. Um homomorfismo de anéis de A em A' é um homomorfismo de grupo do grupo 
aditivo A para o grupo aditivo A'. 
37. Seja 𝜃 um homomorfismo de um anel A para um anel A'. Se r∈A é um divisor de 
zero, então 𝜃(𝑟) ∈ A' também deve ser um divisor zero.