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Apostila Matemática Discreta

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

−
−
1
3
.
Portanto, ( ) +ΖΜ ,2 é um grupo abeliano!
Exemplo: Seja { }4,3,2,1,05 =Ζ . Definimos a soma módulo 5, denotada por 5+ , em 5Ζ , como
ryx =+5 , onde r é o resto da divisão de x + y por 5. Por exemplo:
321 5 =+
243 5 =+ , pois 3 + 4 = 7 e o resto da divisão de 7 por 5 é 2.
A multiplicação módulo 5 é definida por ryx =×5 , onde r é o resto da divisão de yx × por
5. Por exemplo:
132 5 =× , pois 632 =× e o resto da divisão de 6 por 5 é 1.
243 5 =× , pois 1243 =× e o resto da divisão de 12 por 5 é 2.
As seguintes tabelas definem 5+ e 5× em 5Ζ :
5+ 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
3
4
0
2
3
4
0
1
3
4
0
1
2
4
0
1
2
3
5× 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
2
4
1
0
0
3
1
4
2
0
4
3
2
1
Podemos verificar que 55 ,+Ζ e 55 ,×Ζ são fechadas, pois todos os resultados verificados
nas tabelas são elementos de 5Ζ .
Podemos também verificar que 55 ,+Ζ e 55 ,×Ζ são comutativas, através das tabelas
construídas, pois estão espelhadas em torno da diagonal principal.
Matemática Discreta
Márcia Rodrigues Notare
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Ainda é possível verificar que 55 ,+Ζ e 55 ,×Ζ são associativas. Entretanto, não podemos
verificar tal propriedade nas tabelas construídas.
55 ,+Ζ e 55 ,×Ζ possuem elemento neutro: o elemento neutro de 55 ,+Ζ é 0 e o elemento
neutro de 55 ,×Ζ é 1.
Todos os elementos de 55 ,+Ζ possuem elemento inverso:
- o elemento inverso de 0 é 0;
- o elemento inverso de 1 é 4;
- o elemento inverso de 2 é 3;
- o elemento inverso de 3 é 2;
- o elemento inverso de 4 é 1;
Portanto, podemos afirmar que 55 ,+Ζ é um grupo abeliano.
Entretanto, nem todos os elementos de 55 ,×Ζ possuem elemento inverso. Logo 55 ,×Ζ é
um monóide abeliano.