67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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( )tEA
m,,m,,m
EI
δ 81151515
3
151513
3
12111
⋅⋅+


 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 
( ) m/kN,EAEIδ t
34
4411 1041101410
8
102
12812 −− ⋅=⋅=+⋅=+= 
(2.108)
A equação de compatibilidade é 
011110 =⋅+ δδ X (2.109)
e substituindo-se os valores calculados, obtém-se 
0104,11012 31
3 =⋅⋅+⋅− −− X (2.110)
kNX 57,8
4,1
12
1 == (2.111)
As reações (R) e os momentos finais (M) podem ser obtidos por 
110 XRRR ⋅+= e (2.112)
110 XMMM ⋅+= (2.113)
 
Como exercícios didático, devem ser calculadas as reações do pórtico (Figura 2-56) 
e traçados os diagramas de esforços normais (Figura 2-57), cortantes (Figura 2-58) e 
momentos fletores (Figura 2-59), especificando os valores dos momentos máximos e os 
locais onde eles ocorrem. 
 
5,715 kN 5,715 kN
15 kN15 kN
N = 8,57 kN
5,715 kN 5,715 kN
15 kN15 kN
N = 8,57 kN
 
Figura 2-56: Reações e esforço normal no tirante 
 
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N = 8,57 kNN = 8,57 kN
 
Figura 2-57: Diagrama de esforços normais nas barras e no tirante 
 
 
Figura 2-58: Diagrama de esforços cortantes 
 
-17,15 kN
-17,15 kN-17,15 kN
-17,15 kN
Momento nulo
-17,15 kN
-17,15 kN-17,15 kN
-17,15 kN
Momento nulo
 
Figura 2-59: Diagrama de momentos fletores 
 
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2.1.4. Exemplo 3 - Quadro bi-apoiado 
Seja o quadro bi-apoiado mostrado na Figura 2-60a. Esta estrutura se caracteriza 
por ser três vezes hiperestática. Isto pode ser constatado por meio de um corte virtual de 
uma barra do quadro. Na seção deste corte aparecerão os esforços internos normal (N), 
cortante (V) e momento fletor (M) (Figura 2-60b). 
5 kN/m
3 m
4 m
EI
EI
EI
EI
5 kN/m
3 m
4 m
EI
EI
EI
EI
5 kN/m
3 m
4 m
M
V
N N
V
M
5 kN/m
3 m
4 m
M
V
N N
V
M
(a) Quadro bi-apoiado (b) Seção no quadro bi-apoiado 
Figura 2-60: Quadro bi-apoiado 
Para determinar os esforços internos nas barras do quadro bi-apoiado, pode-se 
utilizar a secção apresentada na Figura 2-60b. Chamando 1XN = , 2X=V e 3X=M , 
têm-se as incógnitas hiperestáticas internas e tem-se o sistema principal (Figura 2-61). 
 
5 kN/m
3 m
4 m
X1
X2
X3
X1 X2
X3
5 kN/m
3 m
4 m
X1
X2
X3
X1 X2
X3
 
Figura 2-61: Sistema principal e hiperestáticos 
A condição de compatibilidade é dada pelos deslocamentos relativos nulos na seção 
do corte. O deslocamento horizontal relativo 01 =δ , o deslocamento vertical relativo 
02 =δ e a rotação relativa na seção do corte ( ) 03 =−= DE θθδ . Estas condições podem 
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ser desacopladas em 4 sistemas utilizando-se a superposição de efeitos (estrutura linear) 
(Figura 2-62). 
0=δ (2.114)
O efeito do carregamento e do hiperestático Xi sobre o sistema principal pode ser 
determinado por superposição de efeito, sendo calculado separadamente o efeito da carga e 
do hiperestático sobre a estrutura (Figura 2-62). 
Superpondo os efeitos dos esforços mostrados na Figura 2-62 e aplicando as 
condições de compatibilidade, têm –se: 
0
0
0
333322311303
233222211202
133122111101
=+++=
=+++=
=+++=
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
XXX
XXX
XXX
, 
(2.115)
sendo 0iδ o deslocamento relativo na seção devido ao carregamento externo. 
5 kN/m
1
X2
1
X3
1
X1+ + +
(0) (I) (II) (III)
5 kN/m
1
X2
1
X3
1
X1+ + +
5 kN/m5 kN/m
1
X2
1
X2
1
X3
1
X3
1
X1
11
X1+ + +
(0) (I) (II) (III)
 
 
Figura 2-62: Efeitos do carregamento e dos hiperestáticos 
 
Os deslocamentos generalizados são calculados por 
dx
EA
NN
dx
EI
MM
Barras
ji
Barras
ji
ij ∫∫ += δ , (2.116)
 
mas desprezando-se o esforço axial, tem-se 
dx
EI
MM
Barras
ji
ij ∫=δ , (2.117)
Para se encontrar os coeficientes δij, calculam-se inicialmente os diagramas de 
momento fletor M0, M1, M2 e M3 para os sistemas 0, I, II e III, respectivamente. 
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4 m
5 kN/m5 kN/m
10 kN 10 kN
3 m
-10-10
-10 -10
-10 -10
4 m
5 kN/m5 kN/m
10 kN 10 kN
3 m
4 m
5 kN/m5 kN/m
10 kN 10 kN
3 m
5 kN/m5 kN/m
10 kN 10 kN10 kN 10 kN
3 m
-10-10
-10 -10
-10 -10
-10-10
-10 -10
-10 -10
 
Figura 2-63: Reações e diagrama de momentos para o sistema 0 
 
11
Reações Nulas
nulonulo
-3 -3
-3 -3
11
Reações Nulas
11
Reações Nulas
nulonulo
-3 -3
-3 -3
nulonulo
-3 -3
-3 -3
 
Figura 2-64: Reações e diagrama de momentos para o sistema I 
 
11
Reações Nulas
+2
+2
-2
-2
-2
+2
11
Reações Nulas
11
Reações Nulas
+2
+2
-2
-2
-2
+2
+2
+2
-2
-2
-2
+2
 
Figura 2-65: Reações e diagrama de momentos para o sistema II 
 
 
Reações Nulas
11 +1 +1
+1+1
+1 +1
Reações Nulas
11
Reações Nulas
11 +1 +1
+1+1
+1 +1
+1 +1
+1+1
+1 +1
 
Figura 2-66: Reações e diagrama de momentos para o sistema III 
 
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A partir dos diagramas de momentos flexores dos sistemas 0, I, II e III (Figura 
2-63, Figura 2-64, Figura 2-65 e Figura 2-66, respectivamente), calculam-se os 
coeficientes ijδ . A Tabela 2-16 apresenta a combinação dos diagramas de momentos 
flexores utilizada para o cálculo de δ10. 
Tabela 2-16: Combinação de momentos para o cálculo de δ10 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 Barra 4 
10 310 3 
 
3
10 
3
10
 10 310 3 
 
Combinação 
nula 
011101 2
1
1
MMldxMM
l
=∫ 012201
2
MMldxMM
l
=∫ 013301 21
3
MMldxMM
l
=∫ 
 
( ) ( ) 10333103
2
1210 ⋅⋅+

 ⋅⋅⋅=⋅ mmEI δ , 
EI
210
10 =δ . (2.118)
A Tabela 2-17 apresenta a combinação dos diagramas de momentos flexores 
utilizada para o cálculo de δ20. Esta combinação apresenta valores finais nulos ( 020 =δ ), 
visto que resultam da combinação de uma função simétrica com uma função anti-simétrica. 
A integral do produto de duas funções de (x) em que uma é simétrica e a outra é anti-
simétrica em relação a um eixo transversal a x no meio do intervalo de integração é sempre 
nula (Figura 2-67). 
∫ =⋅L xgxf
0
0)()( . 
(2.119)
Isto vem a simplificar o cálculo de deformações em estruturas simétricas. Se o 
diagrama iM for simétrico em relação ao eixo de simetria da estrutura e jM for anti-
simétrico (ou vice-versa) então 
0== ∫ dxEI
MM
Barras
ji
ijδ . 
(2.120)
Para este exemplo, têm-se que M0, M1 e M3 são simétricos e M2 é anti-simétrico. 
Portanto, pode-se afirmar, sem efetuar os cálculos, que 
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0 e 0 ,0 2332211220 =δ=δ=δ=δ=δ . Quando j M e iM são simétricos, pode-se calcular 
o produto dos diagramas para metade da estrutura e multiplicar por 2. 
Lembrando –se que 
0
0
=∫π nx dxsen mx sen e (2.121)
0coscos
0
=∫π nx dx mx , (2.122)
se m ≠ 0 e m, n ≠ π. 
a
-a
g
L/2
f
b
+
+
x
L/2
x
+
-