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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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


−
=








=




∴=
−
−
3/8
9/82
0
2
64,148,0
48,036,0
D
D
}A.{]S[}D{
1
2
11 .
A partir deste vetor de deslocamentos nodais obtêm-se as reações de apoio da 
estrutura e os esforços nos seus elementos. 
 
3.15.4. Exemplo 4 – Pórtico plano 
 Seja o pórtico da Figura 3-83 cujas barras têm seção transversal constante de 12 × 
40 cm e material homogêneo com módulo de elasticidade E = 5x106 kN/m2. Calcule os 
deslocamentos nodais e as reações de apoio do pórtico. 
2 m
2 m
4m
32
1
32 kN
40 kN.m
24 kN/m
: 1 2
: 2 3
1 1
2
2
2 m
2 m
4m
32
1
32 kN
40 kN.m
24 kN/m
: 1 2
: 2 3
11 11
22
22
 
Figura 3-83: Pórtico plano 
A estrutura é dividida em dois elementos e 3 nós. Cada nó tem três graus de 
liberdade, como mostra a Figura 3-84, logo o sistema de equações para a estrutura não-
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148
restringida tem um total de 9 equações. Considerando os apoios restam apenas 2 direções 
livres, logo para o pórtico restringido o sistema de equações de equilíbrio terá 2 equações e 
2 incógnitas, que são os deslocamentos do nó 2 nos graus de liberdade 5 e 6, mostrados 
na.Figura 3-85. 
1
2
3
NÓ
 
Figura 3-84: Graus de liberdade por nó 
 
8
2
3
96
5
4
1
1
2
1
2
73
 
Figura 3-85 Graus de liberdade da estrutura 
Matriz de rigidez dos elementos no sistema local 
[ ] [ ]












⋅==
3212-016120
12-6012-6-0
0060000600-
1612-032120
126-01260
00600-00600
10SS 22L
1
L .
Matriz de rotação dos elementos 
 
 
 
Elemento 
1 
 
 
 
°= 90θ 
 
 
 
0cosθ = 
 
 
 
1senθ = [ ]












−
−
=ℜ
100000
001000
010000
000100
000001
000010
1 
Elemento 
2 
°= 0θ [ ] [ ]I2 =ℜ 
Matriz de rigidez dos elementos no sistema global 
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PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
149
[ ] [ ] [ ] [ ]
6
5
4
3
2
1
3201216012
0600006000
12061206
1601232012
0600006000
12061206
10SS
654321
211
L
11
G












−
−
−
−
−
−−−
⋅=ℜℜ= T 
 
 
[ ] [ ]
9
8
7
6
5
4
3212016120
12601260
0060000600
1612032120
12601260
0060000600
10SS
987654
22
L
2
G












−
−−−
−
−
−
−
⋅==
 
 
 
Regra da Correspondência 
 Elemento 1 2 
 J→K 1→2 2→3 
{ }Gu
 
 3J-2 1 4 1 
 3J-1 2 5 2 
 3J 3 6 3 
 3K-2 4 7 4 
 3K-1 5 8 5 
 3K 6 9 6 [ ] { }GEPG F vetoresnos e S matrizes nas Indicados 44444 344444 21 
 
 
No vetor de ações aplicadas nos nós, {A}*, conhece-se A5=0, A6=-40 
E no vetor de deslocamentos nodais, {D}*, são incógnitas D5=?, D6=? 
Montagem da matriz de rigidez da estrutura [S]* 
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150
[ ]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3212016120000
12601260000
0060000600000
16120323212001216012
126012066000006000
006000120060061206
0001601232012
0000600006000
00012061206
10
987654321
2*
















−
−−−
−
−+++−
−+++−
−+++−
−
−
−−−
⋅=S
 
Vetor de esforços de engastamento perfeito no sistema local: 
 
 
 
Elemento 
1 
 
{ }














−
=
16
16
0
16
16
0
F 1LEP 
 
 
 
Elemento 
2 
 
{ }














−
=
32
48
0
32
48
0
F 2LEP 
Vetor de Esforços de Engastamento Perfeito no Sistema Global 
 
 
 
Elemento 1 { } [ ] { }
6
5
4
3
2
1
16
0
16
16
0
16
16
16
0
16
16
0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
FF 1LEP
11
GEP














−
−
−
=














−











−
−
=ℜ= T 
 
 
00
1616
16
32
(32 ⋅4)/8=16
= = 00
1616
16
32
(32 ⋅4)/8=16
= =
00
4848
32
24 kN/m
[24 ⋅(42)]/12=32
00
4848
32
24 kN/m
[24 ⋅(42)]/12=32
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PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
151
 
 
 
Elemento 2 { } { }
9
8
7
6
5
4
32
48
0
32
48
0
FF 2LEP
2
GEP














−
== 
 
Vetor de Esforços de Engastamento Perfeito da Estrutura 
{ }
9
8
7
6
5
4
3
2
1
32
48
0
16
48
16
16
0
16
32
48
0
3216
480
016
16
0
16
F *GEP


















−
−
−
=


















−
+−
+
+−
−
= 
 
Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não-restringida 









−
=


































−
−−−
−
−−
−−
−−
−
−
−−−
⋅+


















−
−
−
9
8
7
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
R
R
R
4
0
R
R
R
R
D
D
D
D
D
D
D
D
D
3212016120000
12601260000
0060000600000
1612064121216012
126012606006000
006001206061206
0001601232012
0000600006000
00012061206
10
32
48
0
16
48
16
16
0
16
 
Restringe-se a estrutura impondo-se as condições de contorno na estrutura: 
D1=D2=D3=D4=D7=D8=D9=0, o que corresponde a eliminar as colunas e linhas de [S]* no 
sistema acima, correspondentes às direções restringidas por apoios. Obtém-se assim o 
sistema de equações equilíbrio de forças para a estrutura restringida: 




−=




⋅+




40
0
D
D
6412
12606
10
16
48
6
52 
 




−
−=





⋅
56
48
D
D
6412
12606
10
6
52 
 
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152
 
Resolve-se o sistema de equações, obtendo-se os deslocamentos nodais: 




⋅−
⋅−=



−
−



−
−⋅=




−
−
2
2
2
6
5
108634,0
100621,0
56
48
60612
1264
38640
1
10
1
D
D 
mmm 62,01006,0D 25 −=⋅−≅ − 
°=⋅−≅ − 5,01086,0D 26 rad 
Para se obter as reações de apoio, inserem-se estes deslocamentos no sistema de 
equações de equilíbrio para a estrutura não-restringida: 
kN
mkN
kN
kN
36,26
19,2
26,37
64,5
10
863,0
062,0
120
160
0600
120
10
16
16
0
16
R
R
R
R
22
4
3
2
1
⋅






−
−
=⋅




−
−








−
−
⋅+






−
−
=






−