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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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(2.2)
 
B
l
A
R
B∆
RB
(c)
q
A
l
B
c
B∆
(b)
B
q
l
A
(a)
≡ B
l
A
R
B∆
RB
(c)
B
l
A
R
B∆
RB
(c)
q
A
l
B
c
B∆
(b)
q
A
l
B
c
B∆
q
A
l
B
c
B∆
(b)
B
q
l
A
(a)
B
q
l
A
(a)
≡
 
Figura 2-3: Superposição dos efeitos 
Sabendo-se que o deslocamento vertical no ponto B é nulo, têm-se 
0=∆+∆=∆ RBCBB , (2.3)
0
38
34
=−
EI
lR
EI
ql B , 
(2.4)
qlRB 8
3= . (2.5)
Conhecida a reação em B, em seguida pode-se determinar os esforços internos na 
estrutura, utilizando a viga isostática mostrada na Figura 2-4. 
B
q
l ql
8
3
A B
q
l ql
8
3
A
 
Figura 2-4: Sistema principal com o valor do hiperestático determinado 
A fim de formalizar o Método das Forças para o sistema uma vez indeterminado da 
Figura 2-1, adota-se o sistema principal da Figura 2-2a. Aplicando-se um carregamento 
unitário no ponto B, este se deslocará de δB (Figura 2-5). Portanto, aplicando-se uma força 
RB, obter-se-á um deslocamento igual a (RB. δB). 
B
l
A B
δ
1
B
l
A B
δ
1 
Figura 2-5: Deslocamento produzido por uma força unitária 
 
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Profª Henriette Lebre La Rovere 
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Chamando-se de CBδ o deslocamento em B provocado pela carga uniformemente 
distribuída CB∆ , e chamando de RBδ o deslocamento em B provocado pela carga 
concentrada unitária (Figura 2-5) tem-se 
0=⋅+ RBBCB R δδ . (2.6)
Logo 
R
B
C
B
BR δ
δ−= . (2.7)
Neste curso, será adotada a convenção proposta por SUSSEKIND, sendo os 
hiperestáticos denominados de R1, R2, R3 ou X1, X2, X3... (incógnitas do problema) e os 
deslocamentos generalizados de ijδ . O índice i indica o local onde ocorre o deslocamento 
generalizado e o índice j indica a causa deste deslocamento. 
Os deslocamentos generalizados provocados pelo carregamento externo 
apresentarão o índice j igual a zero ( 0iδ ). Portanto, para o exemplo da Figura 2-2a, o 
deslocamento na direção do hiperestático X1 provocado pelo carregamento externo é 
expresso por 10δ e o deslocamento na direção do hiperestático X1 provocado pela força 
unitária é expresso por 11δ . 
q
X1
B
l
A
q
X1
B
l
A
 
 
≡ 
q
A
l
B
10δ
q
A
l
B
10δ
 
B
l
A 11
δ
1
B
l
A 11
δ
1
Sistema principal e hiperestático (0) (I) 
Figura 2-6: Decomposição dos efeitos das cargas e hiperestáticos sobre a viga 
O deslocamento no ponto B na direção do hiperestático 1 é nulo, portanto a 
condição de compatibilidade de deslocamentos é 
011110 =⋅+ δδ X . (2.8)
Logo 
11
10
1 δ
δ−=X . (2.9)
No exemplo da Figura 2-2a 
EI
ql
8
4
10 −=δ e 
(2.10)
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13
EI
l
3
1 3
11
⋅=δ . (2.11)
Substituindo os valores na equação acima, têm-se 
EI
l
EI
ql
X
3
1
8
3
4
1 ⋅



−
−= , 
(2.12)
qlX
8
3
1 −= . (2.13)
Outro sistema principal possível seria o da Figura 2-2b, na qual o hiperestático X1 
representa o momento no engaste A. 
q
A
l
X1
q
A
l
X1
 
Figura 2-7: Sistema principal e hiperestático 
Sabe-se que a rotação no ponto A da viga engastada-apoiada (Figura 2-1) é nula. 
Portanto, a soma da rotação causada pela carga distribuída com a rotação causada pelo 
hiperestático X1 deve ser nula (Figura 2-8) ( 01 =δ , ou seja, 0=Aθ ). 
≡
q
A
l
X1
+
δ11
A
l
X1
q
A
lδ10
(I)(0)
(a) (b) (c)
≡
q
A
l
X1
+
δ11
A
l
X1
q
A
lδ10
≡
q
A
l
X1
q
A
l
X1
+
δ11
A
l
X1
δ11
A
l
X1
q
A
lδ10
q
A
l
q
A
lδ10
(I)(0)
(a) (b) (c) 
Figura 2-8: Superposição dos efeitos do carregamento externo e do hiperestático 
Utilizando a nomenclatura proposta por SUSSEKIND e supondo que 1δ é positivo 
no sentido de X1, obtém-se de tabelas que a rotação em A (ponto 1) produzida por uma 
carga distribuída (Figura 2-8b) é 
EI
ql
24
3
10 −=δ 
(2.14)
e a rotação em 1 (ponto A) produzida pelo momento unitário aplicado em 1 (ponto A) é 
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EI
l
3
1
11
⋅+=δ . (2.15)
Utilizando-se a condição de compatibilidade de rotação, têm-se 
011110 =⋅+ δδ X , (2.16)
0
3
1
24 1
3
=⋅⋅+−
EI
lX
EI
ql
, 
(2.17)
8
2
1
qlX = , (2.18)
sendo X1 o momento reativo em A e o seu sinal positivo indica que o sentido arbitrado está 
correto. 
Para serem determinados os esforços internos da estrutura, emprega-se o sistema 
principal utilizado 
q
A
l
B
8
2ql
HA
VA VB
ql
8
5
8
3
DEC
8
ql
MmaxDMF
q
A
l
B
8
2ql
HA
VA VB
ql
8
5
8
3
DEC
8
ql
MmaxDMF
Cálculo das reações 
qlqlql
l
ql
qlVA 8
5
82
8
2
2
=+=+= 
qlqlql
l
ql
qlVB 8
3
82
8
2
2
=−=−= 
 
Cálculo do momento máximo 
 
O momento é máximo quando o esforço 
cortante é nulo. 
q
V
x
B
ql
8
3N
q
V
x
B
ql
8
3N
 
Tomando-se um segmento de viga acima e 
efetuando-se o equilíbrio de forças e 
momentos, têm-se 
∑ = 0F , 083 =−= qlqxV , lx 83= . 
2
max 8
3
28
3
8
3 

−

⋅

=+ lqlqlM ,
2
max 128
9 qlM =+ 
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1.4.1.1. Exemplo 1- Pórtico plano 
Traçar os diagramas de esforços do pórtico plano mostrado na Figura 2-9. 
5m
3m
50 kN
EI
EI
EI
A B
D
C
5m
3m
50 kN
EI
EI
EI
A B
D
C
 
Figura 2-9: Pórtico uma vez hiperestático 
Para determinar os diagramas de esforços do pórtico plano ilustrado pela Figura 2-9 
é necessário primeiramente determinar as suas reações. Como o pórtico é hiperestático, 
utilizar-se-á o Método das Forças para a determinação das reações redundantes. 
Para a aplicação do Método das Forças, supõem-se que o material segue a lei de 
Hooke e que as condições são tais que os pequenos deslocamentos devidos à deformação 
da estrutura não afetam a ação das forças exteriores e são desprezíveis no cálculo das 
tensões. Com estas duas restrições, os deslocamentos de um sistema elástico são funções 
lineares das cargas exteriores. Se as cargas crescem numa certa proporção, todos os 
deslocamentos crescem na mesma proporção (TIMOSHENKO 1967; POPOV 1978; BEER 
e JOHNSTON 1982). 
Para resolver o pórtico da Figura 2-9 pelo Método das Forças, substitui-se o vínculo 
redundante por sua respectiva força reativa, tornando a estrutura isostática como o 
mostrado na Figura 2-10b. 
5m
3m
50 kN
EI
EI
EI
A B
D
C
(a)
5m
3m
50 kN
B
X1
(b)
5m
3m
50 kN
EI
EI
EI
A B
D
C
(a)
5m
3m
50 kN
EI
EI
EI
A B
D
C
5m
3m
50 kN
EI
EI
EI
A B
D
C
(a)
5m
3m
50 kN
B
X1
(b)
5m
3m
50 kN
B
X1
(b) 
Figura 2-10: Pórtico com a sua estrutura principal e o seu hiperestático 
 
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Da Figura 2-10a, sabe-se que o deslocamento horizontal do ponto no qual esta 
sendo aplicada a força X1 é nulo (δ1= 0). Como o material é elástico e a estrutura esta 
submetida a pequenas