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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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Tabela 2-7, 
resultando 
( )( ) ( )( )( )( )4015,014
6
125,1113
3
1
10 −++⋅−=⋅ mmEI δ ,
EI
25,51
10 −=δ . (2.73)
 
Tabela 2-7: Combinação dos diagramas de momentos para o cálculo de δ10 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
+ 
-1 
11,25 40
+
-1
 
 
Combinação nula 
max11101 3
1
1
MMldxMM
l
=∫ ( ) 012201 161
2
MMldxMM
l
α+=∫ 
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Para a determinação de δ20 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-8, 
resultando 
( )( )( )( ) ( )( ) 5,2213
3
14015,014
6
1
20 ⋅−+−+=⋅ mmEI δ , 
EI
5,62
20 −=δ . (rad) (2.74)
 
Tabela 2-8: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ20 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
 
 
 
Combinação nula 
40
+
1
40
+
1
 
+
22,5
1
+
22,5
1
 
 ( ) 022202 16
1
2
MMldxMM
l
α+=∫ max23302 31
3
MMldxMM
l
=∫ 
Para a determinação de δ11 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-9, 
resultando 
( )( )( ) ( )( )( )114
3
1113
3
1
11 −−+−−=⋅ mmEI δ , 
EI3
7
11 =δ . (rad/kN) (2.75)
 
Tabela 2-9: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ11 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
-1 
-1 
 
 
-1
+
-1
 
 
Combinação nula 
111111 3
1
1
MMldxMM
l
=∫ 112211 31
2
MMldxMM
l
=∫ 
Para a determinação de δ21 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-10, 
resultando 
( )( )( )114
6
1
12 −−=⋅ mEI δ , 
EI3
2
12 =δ . (rad/kN.m) (2.76)
 
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Tabela 2-10: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ12 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
 
Combinação nula 
1
 
 
Combinação nula 
 
212221 6
1
2
MMldxMM
l
=∫ 
Para a determinação de δ22 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2-11, 
resultando 
( )( )( ) ( )( )( )113
3
1114
3
1
22 −−+−−=⋅ mmEI δ , 
EI3
7
22 =δ .(rad/kN.m) (2.77)
 
Tabela 2-11: Combinação do diagrama de momentos para o cálculo de δ22 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
 
Combinação nula 
 
 
-1
-1
 
-1
+ 
-1
 
 
112111 3
1
2
MMldxMM
l
=∫ 113211 31
3
MMldxMM
l
=∫ 
Substituindo os deslocamentos generalizados na equação (2.72), obtém-se 









=++−
=++−
0X
3
7
X
3
25,62
0X
3
2
X
3
725,51
21
21
. 
(2.78)
mkNX ⋅= 60,151 . (2.79)
mkNX ⋅= 33,222 . (2.80)
Os esforços podem ser obtidos a partir do sistema principal, isostático, empregando 
o princípio da superposição dos efeitos 
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22110 MXMXMM ⋅+⋅+= . (2.81)
Os valores máximos (e mínimos) do momento fletor correspondem aos pontos onde 
o esforço cortante muda de sinal. Portanto, é necessário conhecer as reações e, a partir 
delas, traçar o diagrama de esforço cortante da viga. As reações podem ser calculadas a 
partir dos trechos da viga contínua (Figura 2-32), cujos momentos fletores internos foram 
determinas a partir dos hiperestáticos. 
Como atividade didática, devem ser calculadas as reações nos apoios e concluídos 
os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores. 
10 kN/m
A B
3 m
15,6 kN·m
10 kN/m
A B
3 m
15,6 kN·m
 
B C
40 kN
2 m 2 m
15,6 kN·m 22,33 kN·m
B C
40 kN
2 m 2 m
15,6 kN·m 22,33 kN·m
C
20 kN/m
3 m
D
22,33 kN·m
C
20 kN/m
3 m
D
22,33 kN·m
Figura 2-32: Trechos da viga contínua 
 
10 kN/m
A
B C
20 kN/m40 kN
3 m 3 m2 m 2 m
D
15,6 kN·m 22,33 kN·m
15,6 kN·m
15,6 kN·m
22,33 kN·m
21,035 kN·m
22,5 kN·m
10 kN/m
A
B C
20 kN/m40 kN
3 m 3 m2 m 2 m
D
15,6 kN·m 22,33 kN·m10 kN/m
A
B C
20 kN/m40 kN
3 m 3 m2 m 2 m
D
15,6 kN·m 22,33 kN·m
15,6 kN·m
15,6 kN·m
22,33 kN·m
21,035 kN·m
22,5 kN·m
15,6 kN·m
15,6 kN·m
22,33 kN·m
21,035 kN·m
22,5 kN·m
 
Figura 2-33: Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores da viga da Figura 2-27. 
 
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1.4.1.4. Exercício 
Uma viga contínua de quatro vãos tem, à esquerda, uma parte em balanço como se 
vê na figura. Determinar as reações e traçar os diagramas dos esforços internos da viga , no 
espaço indicado da Figura 2-34. I1 = 4375 cm4 e I2 = 4102 cm4. 
3 m
6,67 kN/m
B
150 kN
6 m 3 m7,5 m
E
5 kN
3 m
A C DI1I1 I2 I2
V
M
3 m
6,67 kN/m
B
150 kN
6 m 3 m7,5 m
E
5 kN
3 m
A C DI1I1 I2 I2
V
M
 
Figura 2-34: Viga contínua de quatro vão e seus esforços internos 
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1.1.2. Estruturas três vezes hiperestática (ge = 3) 
Seja o pórtico plano bi-engastado mostrado na Figura 2-35, do qual deseja-se 
determinar os esforços internos e traçar os respectivos diagramas. Este pórtico apresenta 6 
reações devidas aos engastamentos em A e B, portanto o seu grau de hiperestaticidade (gh) 
é igual a 3. 
q
F ge =3
Reações = 6
Equações = 3
A B
C D
q
F ge =3
Reações = 6
Equações = 3
A B
C D
 
Figura 2-35: Pórtico plano bi-engastado 
 
Um dos sistemas principais possíveis para o pórtico mostrado na Figura 2-35 é 
aquele mostrado pela Figura 2-36. 
F
X1
X3
X2
q
FF
X1
X3
X2
q
 
Figura 2-36: Sistema principal do pórtico mostrado na Figura 2-35 
As condições de compatibilidade do sistema principal da Figura 2-36 é 
deslocamentos horizontal e vertical e rotação nulos no ponto B, o que resulta 01 =δ , 
02 =δ e 03 =δ . 
Para determinar os esforços no ponto B, usar-se-á o princípio da superposição dos 
efeitos das cargas sobre o sistema principal (isostático), segundo o esquema mostrado na 
Figura 2-37. Superpondo a contribuição de deslocamento dessas cargas e aplicando as 
condições de compatibilidade para o ponto B da estrutura real (Figura 2-35), obtém- se o 
sistema de equações 
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39
0
0
0
333322311303
233222211202
133122111101
=⋅+⋅+⋅+=
=⋅+⋅+⋅+=
=⋅+⋅+⋅+=
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
XXX
XXX
XXX
, 
(2.82)
que na forma matriz é expresso como sendo 






−=






⋅








30
20
10
3
2
1
333231
2221
131211
δ
δ
δ
δδδ
δδδ
δδδ
X
X
X
 ou 
00 δδXδXδ
1 ⋅−=∴−=⋅ − , (2.83)
onde δ é a matriz de flexibilidade, X é o vetor das forças (incógnitas) e 0δ é vetor de 
deslocamento devido ao carregamento (conhecidos). 
 
F
q
+ X1. + X2.
1
1
+ X3.
1
(0) (1) (2) (3) 
Figura 2-37: Efeitos devidos ao carregamento atuante na Figura 2-36 
Conforme foi visto anteriormente, os coeficientes δij podem ser obtidos pelo 
Princípio dos Trabalhos Virtuais. Para o pórtico plano, desprezando esforço por 
cisalhamento, tem-se 
dx
EA
NN
dx
EI
MM
l
ji
l
ji
ij ∫∫ +=δ , (2.84)
sendo E o módulo de elasticidade do material; A a seção transversal das barras, I o 
momento de inércia da seção transversal e l todas as barras da estrutura. 
Como Mi.Mj = Mj.Mi, tem-se δij = δji, ou seja, a matriz de flexibilidade é sempre 
simétrica,