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Itajaí. 
Essas ocorrências de descargas extremas fugindo da distribuição estatística das séries 
observadas têm sido descritas freqüentemente, o que sugere uma grande reserva na 
aplicação de métodos estatísticos para obras importantes e especialmente para 
enchentes de períodos de recorrência muito elevados. 
Outro fator que às vezes prejudica de maneira grave e insuspeita a análise estatística das 
descargas máximas de um rio é a má definição da relação cota-descarga para níveis 
elevados, devido à dificuldade de efetuar as medições de descarga para enchentes 
excepcionalmente altas, o que conduz a imperfeições na extrapolação da relação cota-
descarga na maioria dos rios, prejudicando a definição no segmento mais sensível da 
curva de probabilidade e diminuindo sua confiabilidade. 
Para bacias maiores que 400km2, pode-se efetuar o estudo estatístico das descargas 
máximas anuais com dados médios diários baseados em duas observações diárias. Para 
31 
 
bacias de menor extensão é necessário recorrer a dados de aparelhos registradores de 
níveis, os quais são disponíveis muito mais raramente, devido ao seu alto custo. 
No caso de bacias menores, não havendo dados linigráficos (leituras do nível d’água por 
réguas ou linígrafos) para conhecer com precisão os valores das descargas máximas 
instantâneas, deve-se recorrer a registros de outros rios semelhantes com os quais se 
pode avaliar a relação entre esses valores máximos e as descargas médias diárias. 
Na falta de semelhante informação, pode-se recorrer à expressão que Füller estabeleceu 
a partir de numerosos rios nos E.U.A., e que tem a seguinte forma: 
0,3
méd
máx
A
2,661
Q
Q += 
sendo Qmáx e Qméd, em m³/s, a descarga máxima instantânea e a média diária, 
respectivamente, e “A” a área da bacia hidrográfica, em km2. 
5.3 MÉTODO DE GUMBEL 
Baseado na teoria dos extremos de amostras ocasionais, Gumbel demonstrou que, se o 
número de vazões máximas anuais tende para infinito, a probabilidade “P” de uma dada 
descarga ser superada por um certo valor da variável aleatória é dada pela equação 
seguinte, para um número infinito de elementos: 
yeeP
−−= 
onde 
P = probabilidade de não ocorrerem descargas maiores; 
e = base dos logaritmos neperianos; 
y = variável reduzida. Para TR = 25 anos, y = 3,1985. Para TR = 12,5 anos y= 2,4843 . 
Na prática, pode-se levar em conta o número real de anos de observação utilizando-se a 
fórmula devida a Ven Te Chow, que demonstrou que a maioria das funções de freqüência, 
aplicáveis em Hidrologia, pode ser resolvida pela equação geral: 
( )t(t) σKQQ += 
onde: 
)(tQ = descarga máxima para o tempo de recorrência previsto; 
Q = descarga média obtida da série disponível; 
32 
 
σ = desvio-padrão do universo; 
( )tK = fator de freqüência, que depende do número de amostras e do tempo de 
recorrência. 
A descarga média é obtida pela expressão: 
n
QQ ∑= 
onde: 
Q = descarga média; 
QΣ = somatório das descargas da série de máximas anuais; 
n = número de anos de observação. 
O desvio-padrão é obtido por: 
1n
)Q(Q
σ
2
−
−∑= 
onde: 
2)QΣ(Q − = somatório dos quadrados dos desvios da média. 
O fator de freqüência K(t) pode ser determinado pela expressão: 
n
(t) σ
ynyK −= 
onde: 
y = variável reduzida; 
Yn = média aritmética da variável reduzida, para uma amostra de n elementos extremos; 
nσ = desvio-padrão da variável reduzida. 
De acordo com a equação Gumbel e considerando que o tempo de recorrência, TR, é o 
inverso da probabilidade P, a variável reduzida pode ser calculada pela expressão: 
[ ]1)(TRLTRLLy nnn −−⋅−= 
onde: 
33 
 
Ln = base dos logaritmos neperianos; 
TR = tempo de recorrência. 
A média aritmética da variável reduzida é determinada pela expressão: 
n
Σyyn = 
e o desvio-padrão 
n
yn)Σ(y
σ
2
n
−= 
A probabilidade, em percentagem, de não ser excedida uma dada descarga, e o tempo de 
recorrência correspondente em anos podem ser obtidos pelas expressões abaixo: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−= 11100 n
mp e 
p
TR −= 100
100
 
onde: 
m = número de ordem da série anual, organizada de forma decrescente. 
A Tabela 1, apresentado como exemplo ilustrativo, tem como objetivo facilitar a 
compreensão do método apresentado. 
Pode-se verificar a qualidade do ajustamento estatístico, marcando-se os valores 
observados no papel de Gumbel (Figura 2), sendo as descargas, em escala normal, nas 
ordenadas, e as probabilidades e correspondentes tempos de recorrência, nas abscissas, 
proporcionais à variável reduzida Y. 
Esses elementos se encontram na quinta, sétima, oitava e nona colunas da Tabela 1. 
A reta de ajustamento estatístico pode ser marcada de modo a passar por dois ou mais 
pontos calculados segundo a equação de descarga máxima. 
O cálculo das descargas de vários tempos de recorrência não exige necessariamente a 
representação gráfica, a qual serve mais para apreciar a qualidade do ajustamento, isto é, 
a dispersão dos valores individuais observados em relação à reta de ajustamento 
estatístico. 
34 
 
Tabela 1 - Método Estatístico 
GUMBEL 
Rio: Muriaé Posto: Cardoso Moreira
Ano de
ocorrência
Vazões
Q
(m3/s)
Número
de
ordem
m
Vazões em
ordem
decrescente
(m3/s)
*
( % )
**
(anos)
Variavel
Reduzida
y
y - yn ( y- yn )
2
1955 333 1 1,005 571,42 187.991,62 96,00 25,00 3,199 2,669 7,124
1956 588 2 863 291,58 85.018,90 92,00 12,50 2,484 1,954 3,818
1957 1,005 3 739 167,58 28.083,06 88,00 8,33 2,057 1,527 2,332
1958 570 4 734 162,58 26.432,26 84,00 6,25 1,747 1,217 1,481
1959 474 5 684 112,58 12.674,26 80,00 5,00 1,500 0,970 0,941
1960 674 6 674 102,58 10.522,66 76,00 4,17 1,294 0,764 0,584
1961 863 7 666 94,58 8.945,38 72,00 3,57 1,113 0,583 0,340
1962 571 8 661 89,58 8.024,58 68,00 3,13 0,955 0,425 0,181
1963 263 9 614 42,58 1.812,06 64,00 2,78 0,808 0,278 0,077
1964 614 10 588 16,58 274,90 60,00 2,50 0,672 0,142 0,020
1965 562 11 588 16,58 274,90 56,00 2,27 0,543 0,013 0,000
1966 739 12 572 0,58 0,34 52,00 2,08 0,422 -0,108 0,012
1967 684 13 571 -0,42 0,18 48,00 1,92 0,307 -0,223 0,050
1968 588 14 570 -1,42 2,02 44,00 1,79 0,201 -0,329 0,108
1969 536 15 562 -9,42 88,74 40,00 1,67 0,091 -0,439 0,193
1970 391 16 536 -35,42 1.254,58 36,00 1,56 -0,024 -0,554 0,307
1971 734 17 474 -97,42 9.490,66 32,00 1,47 -0,131 -0,661 0,437
1972 572 18 456 -115,42 13.321,78 28,00 1,39 -0,240 -0,770 0,593
1973 438 19 438 -113,42 17.800,90 24,00 1,32 -0,349 -0,879 0,773
1974 305 20 422 -149,42 22.326,34 20,00 1,25 -0,476 -1,006 1,012
1975 666 21 391 -180,42 32.551,38 16,00 1,19 -0,607 -1,137 1,293
1976 661 22 338 -233,42 54.484,90 12,00 1,14 -0,741 -1,271 1,615
1977 456 23 305 -266,42 70.979,62 8,00 1,09 -0,914 -1,444 2,085
1978 422 24 263 -308,42 95.122,90 4,00 1,04 -1,181 -1,711 2,928
* PROBABILIDADE DE NÃO OCORREREM DESCARGAS MAIORES
** TEMPO DE RECORRÊNCIA
Método de GUMBEL
 ∑ (y - yn )
2 = 28,304
 = 571,42
σ n -1 = 172,89
yn = 0,53
Sn = 1,11
N = 24
 = 13.714
 = 687.479,92
 ∑ y = 12,730
100
P100
1TR ×−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−= 11100 n
mP2)( QQ −QQ −
Q∑
2)( QQ −∑
Q
 
35 
 
Figura 2 - Probabilidade Extrema 
 
36 
 
5.4 MÉTODO DE HAZEN 
Segundo Hazen, as descargas máximas anuais dos registros de um curso d'água 
distribuem-se, em uma representação logarítmica, segundo a distribuição de freqüência 
normal de Gauss. 
Com isto, a partir dos registros fluviométricos de um posto, pode-se organizar uma série 
de máximas anuais, dispondo-as em ordem decrescente, com seus respectivos números 
de ordem, a partir do qual são calculados os tempos de recorrência pela expressão 
seguinte: 
1/2m
nTR −= 
onde: 
n = número de anos de