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Projeto estrutural de edificios - José Samuel Giongo

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calculados por 
BARES [1970] para a relação (λ = ly / lx) entre os lados variando: 
 
 1,0 ≤ λ = ly / lx ≤ 2,0 
 
 Considera-se que se a relação de lados for menor do que 2,0 a laje é armada 
em duas direções, isto é, as armaduras posicionadas nas duas direções têm a mesma 
ordem de grandeza. 
 Se λ > 2,0 considera-se que a laje é armada em uma direção, isto é, armada na 
direção do vão menor (lx). Neste caso a armadura de maior área é posicionada 
paralelamente ao menor vão. Na direção do vão maior posiciona-se armadura 
chamada de distribuição, com área mínima indicada na NBR 6118:2003. 
 Os esforços solicitantes - momentos fletores e forças cortantes - são calculados 
para uma viga com largura unitária (bw = 1m) com a mesma condição de vinculação 
dos lados paralelos a ly. 
 O exemplo da figura 5.5 indica uma laje com três bordas apoiadas e uma 
considerada engastada em laje contígua, que garante esta situação. O lado engastado 
é paralelo ao maior vão efetivo da laje. Como a relação entre os vãos teóricos é maior 
do que 2, não há necessidade de se recorrer a tabelas para cálculo dos esforços 
solicitantes, embora este caso, de λ ≥ 2,0, seja contemplado nas Tabelas de Pinheiro. 
 Os esforços solicitantes para uma viga engastada e apoiada no lado oposto, de 
vão lx,, quando associada a uma laje maciça de mesma condição de vinculação, são 
dados pelas expressões que seguem: 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
98
 
xx
x
x
x
'
x
x'
x
)qg(,v
,
)qg(m
)qg(,v)qg(m
ll
ll
+=+=
+=+=
40
2214
60
8
2
2
 
 
 A largura da viga deve ser considerada igual a um (1) metro, conforme mostrado 
na figura 5.5. Os momentos fletores de índice “x” têm planos de ação paralelos ao lado 
lx e as reações de apoio de mesmo índice atuam em bordas da laje paralelas ao lado 
ly. As reações de apoio atuantes nos lados paralelos a lx podem ser determinadas 
usando a Tabela de PINHEIRO [1993], para o tipo de laje compatível, para λ = 2. O 
momento fletor na direção do eixo y não precisa ser calculado, pois a NBR 6118:2003 
indica que para lajes armadas em uma direção deve-se dispor de armadura de 
distribuição como será mostrado no item relativo a critérios de armação de lajes. 
 
 
 
Figura 5.5 - Esforços solicitantes em laje armada em uma direção 
 
 Os esforços solicitantes na direção do eixo y são avaliados para laje 
considerando-se uma laje fictícia com mesma condição de vinculação da laje em 
questão, porém, com relação entre os vãos teóricos igual a 2,0. Os coeficientes para 
cálculo dos esforços solicitantes na direção do maior vão efetivo são os encontrados 
nas respectivas tabelas, força cortante e momento fletor, para λ = 2,0. 
 Observa-se que na tabela 2.5a, laje tipo 2B, os coeficientes com índice y 
para λ > 2,0 são iguais aos de λ = 2,0. Os de índice x foram adaptados em função dos 
fatores de multiplicação e dos denominadores das expressões com as quais se 
calculam os esforços solicitantes. 
 As tabelas para as lajes tipos 7, 8, 9 e 10 foram elaboradas considerando uma 
borda livre e submetidas à ação uniformemente distribuída na área da laje. 
 Nestes casos o eixo x é paralelo ao lado la e o eixo y é paralelo ao lado de vão 
efetivo lb. Notar que nos quatro tipos lb é paralelo ao lado da laje com borda livre. 
 Os esforços solicitantes são indicados pelas letras m para momento fletor por 
unidade de largura (1m) e v para força cortante ou reação de apoio na mesma unidade. 
Os índices x ou y indicam os planos de ação dos momentos fletores ou o lado 
que ocorrem as reações de apoio - x para os lados paralelos a ly e y para os lados 
paralelos a lx. 
 Quando os momentos fletores ocorrem em lados engastados eles são indicados, 
com plica ('), por exemplo, m'x para designar o momento fletor, com plano de ação 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
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paralelo ao lado lx e provocando tração na face superior da laje, na ligação desta com 
a contígua. 
 Para os coeficientes, apresentados nas Tabelas de Pinheiro, adotam-se as 
mesmas convenções. Os coeficientes com os quais se calculam as reações de apoio 
são anotados com a letra grega ν (ni) e os coeficientes para momento fletor µ (mi). 
 
 
5.4 CONDIÇÕES DE VINCULAÇÃO DIFERENTES DAS INDICADAS NAS TABELAS 
 
 Como pode ser visto nas tabelas para determinação dos momentos fletores, os 
lados das lajes foram considerados totalmente apoiados, engastados ou com borda 
livre, procurando abranger casos usuais de projetos. Ao se analisar as condições de 
vinculação das lajes de um pavimento é comum deparar-se com lajes com um lado 
parcialmente engastado e parcialmente apoiado, como pode ser observado na figura 
5.6. Essa situação não é contemplada pelas tabelas, exigindo do projetista um critério 
específico para a determinação dos esforços solicitantes neste caso. Lembra-se que 
nos casos de critérios que levam a valores aproximados, estes devem ser justificados 
pensando-se na segurança estrutural. 
 A laje mostrada na figura 5.6 apresenta um dos lados com condições de 
vinculação diferentes. Um processo aproximado para cálculo dos esforços solicitantes 
é o que a seguir se expõe. 
 Se a laje for armada em duas direções, e se ly1 ficar entre ly/3 e (2/3). ly, os 
esforços solicitantes podem ser calculados considerando-se ora o lado em questão 
todo engastado ora todo apoiado. Os esforços solicitantes considerados para o 
dimensionamento serão os de maior módulo. 
 Esse procedimento significa adotar no primeiro caso laje tipo 3 e no segundo laje 
tipo 2A, no exemplo. 
 Se ly1 for menor do que ly/3 considera-se esse lado todo apoiado; se ly1 for 
maior do que 2. ly/3 considera-se o lado em questão todo engastado. 
 No caso da laje do exemplo ser armada em uma direção, podem ser 
consideradas duas faixas unitárias, posicionadas nas duas regiões com condições de 
vinculação diferentes. As armaduras nessas regiões também serão diferentes. Este 
critério, quando a laje for considerada armada em uma direção, prevê a divisão fictícia 
da laje em duas, conforme indicado na figura 5.6. Para avaliar os esforços solicitantes 
na direção do maior vão efetivo, podem-se determinar os coeficientes nas tabelas para 
relação entre os vãos igual a 2,0, procurando associar à laje real com aquelas típicas 
para as quais foram montadas tabelas auxiliares. 
 É importante lembrar que os critérios de aproximação para casos não usuais, 
devem ser cuidadosamente analisados pelo projetista da estrutura, com a finalidade de 
resolver o problema proposto, porém, atendendo sempre os requisitos de segurança 
estrutural. 
 O exemplo mostrado na figura 5.6 pode ser encontrado, nos casos práticos, 
quando a laje em análise pode ser considerada engastada em laje contígua apenas na 
região de comprimento ly1 e, no complemento ly2 só é possível considerar apoio. 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
100
 
 
Figura 5.6 - Laje com condições de vinculações diferentes 
 
5.5 VÃOS EFETIVOS DAS LAJES 
 
 A NBR 6118:2003 indica que, quando os apoios puderem ser considerados 
suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado 
pela seguinte expressão: 
 
lef = l0 + a1 + a2 [5.1] 
 
Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados 
pelos valores apropriados de ai, indicado na figura 5.7, sendo: 
 
 a1 igual ao menor valor entre (t1 e h) e 
 
a2 igual ao menor valor entre (t2 e h). 
 
 Na maioria dos casos usuais de lajes de edifícios, pode-se considerar como vão 
efetivo a distância entre os centros dos apoios (vigas) que têm, nos projetos usuais de 
edifícios, larguras medindo entre 10cm a 20cm. 
 Nos casos de lajes apoiadas em vigas de transição, que são vigas de grande 
largura, faz-se