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Projeto estrutural de edificios - José Samuel Giongo

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obtém-se 4 superfícies conforme indicado 
na figura. Calculando as alturas dos triângulos e trapézios, podem-se determinar as 
áreas das superfícies e a partir daí as reações de apoio. 
 
 
50,4
1x10,1x)70,050,4(
2
1x0,6
A
)qg(v
y
1
x 

 +=+= l 
 
 vx = 3,81 kN/m 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
106
 
4,50
1x0,70)x1,90(4,5
2
16,0x
A
q)(gv
y
2'
x 

 +=+= l 
 
 v’x = 6,59 kN/m 
 
 
3,00
1xx3,0x1,9
2
16,0x
A
q)(gv
x
3'
y 

=+= l 
 
 v’y = 5,70 kN/m 
 
 
5.7.2 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS 
 
 Como se pode notar no desenvolvimento dos exemplos, o trabalho de cálculo 
das reações de apoio em lajes maciças é repetitivo, sendo viável a montagem de 
tabelas auxiliares para tornar o cálculo expedito. É possível também a montagem de 
programa para microcomputador com a mesma finalidade. 
 Foram desenvolvidas tabelas para o cálculo das reações de apoio para as lajes 
com condições de vinculações tipos de 1 a 6, perfazendo 9 casos, lembrando que 
alguns precisaram ser desdobrados em dois, em função de se adotar lx o menor vão 
efetivo da laje. 
 A tabela 2.3a, apresentada em PINHEIRO [1993] - Concreto Armado: Tabelas e 
Ábacos mostram as expressões com as quais se determinam os coeficientes, para 
cada tipo de vinculação, com os quais se calculam as reações de apoio. 
 As reações de apoio são determinadas pela expressão típica: 
 
 
10
)qg(v l+υ= 
 
 sendo: 
 
 ν : dado pelas expressões da tabela 2.3a; 
 
 (g+q), l /10 : fator de multiplicação; 
 
 l = menor vão da laje. 
 
 As tabelas 2.3b e 2.3c foram montadas para os casos das lajes com relação 
entre vãos teóricos (λ = ly / lx) entre 1,0 e 2,0. Para os casos de lajes armadas em uma 
direção usam-se as linhas onde se encontra indicado λ > 2,0, ou se associam à laje 
faixas de vigas de largura unitária com as mesmas condições de vinculação da laje na 
direção perpendicular ao menor vão teórico. 
 A seguir indica-se como a tabela para a laje tipo 1 foi elaborada. 
 Usando o critério da NBR 6118:2003, traçam-se as retas formando, com os 
vértices, os ângulos de 45º pois os quatro lados são considerados apoiados. Conforme 
pode ser visto na figura 5.13 resultam dois trapézios e dois triângulos de áreas iguais, 
respectivamente. 
 Considerando 1,0 ≤ λ = ly / lx ≤ 2,0, podem-se calcular as reações de apoio para 
a laje tipo 1, procurando determinar expressões válidas para qualquer λ no intervalo 
indicado. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
107
 Na montagem das expressões matemáticas para a determinação das reações de 
apoio vx e vy procurou-se escrevê-las em função do menor vão teórico da laje (lx) e, 
logicamente, em função da ação total uniformemente distribuída (g + q). 
 
 
 
Figura 5.14 - Reações de apoio, laje simplesmente apoiada 
 
 Assim sendo a expressão com a qual se calcula a reação de apoio, atuante nos 
lados paralelos ao lado ly, em uma laje apoiada nas quatro bordas, resulta: 
 
 [ ]
y
x
xyyx
1
2
)(
2
1)qg(v l
llll 
⋅−+
 ⋅+= 
 
 
y
x
xyx
1
2
)2(
2
1)qg(v l
lll −+= 
 
 A expressão final para cálculo de vx deve ter fator de multiplicação (g+q) (lx/10) 
o que sugere multiplicar e dividir o segundo membro da expressão por 10. 
 
 Portanto: 
 
 
2
10)
2
1(
10
)qg(v
y
xx
x l
ll −+= 
 
 A expressão com a qual se calcula a reação de apoio vx, atuante ao longo dos 
apoios paralelos a ly pode ser escrita por: 
 
 


λ−+=
5,25
10
)qg(v xx
l
 
 
e para vy tem-se: 
 
 
x
x
xy
1)
22
1)(qg(v l
ll+= 
 
 10)
4
1(
10
)qg(v xy
l+= 
 
 2,5
10
q)(gv xy
l+= 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
108
 Resultando para νy o valor 2,5, constante para qualquer relação entre os lados ly 
e lx. 
 
5.7.2.1 Exemplo 1 
 
 Para a laje com condição de vinculação tipo 1 calcular os coeficientes νx e νx 
para os valores de λ indicados, conforme mostrados na tabela a seguir. 
 
λ νx νy 
1,00 
1,30 
1,75 
2,00 
2,00 
2,50 
3,08 
3,57 
3,75 
5,00 
2,50 
2,50 
2,50 
2,50 
2,50 
 
 Sugere-se ao leitor conferir estes valores calculados com os indicados na tabela 
2.3b elaborada por Pinheiro [1993]. 
 Se a laje for armada em uma direção λ = ly / lx > 2,0, na direção do menor vão 
(lx) calculam-se os esforços solicitantes, considerando faixas de vigas com bw = 1m e 
com a mesma condição de vinculação. Assim as reações de apoio ficam iguais a: 
 
 v= (g+q) . lx / 2. 
 
 
 
Figura 5.15 - Laje armada em uma direção 
 
 Sendo: 
 
 ( )
10
10.
2
.qgv xx
l+= 
 
 ( )
2
10.
10
.qgv xx
l+= 
 
e, portanto, νx = 5,0, conforme indicado na coluna 1, λ > 2,0, para laje tipo 1, das 
Tabelas de Pinheiro. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
109
 As reações de apoio atuantes nas bordas de menor comprimento, as que levam 
índice y, podem ser avaliadas usando as tabelas considerando λ = 2,0. 
 
5.7.2.2 Exemplo 2 
 
 Calcular as reações de apoio da laje do exemplo 2, item 5.7.1.2, usando as 
tabelas de Pinheiro [1993]. 
 
 Solução: 
 
 1) Identificação do tipo de laje 
 
 Tipo 5A, pois ly é paralelo ao lado apoiado, tabela 2.3c. 
 
 2) Determinação dos coeficientes / reações 
 
 50,1
00,3
50,4
x
y ===λ l
l
 
 
 m/kN50,450,2
10
0,30,6v50,2 xx ===υ 
 kN/m6,593,66
10
3,06,0v3,66υ 'x
'
x === 
 
 kN/m5,713,17
10
3,06,0v3,17υ 'y
'
y === 
 
 Comparação entre os resultados: 
 
 vx v’x v’y 
NBR 6118:2003 3,8 6,6 5,7 
Tabela 4,5 6,6 5,7 
 
 Como se pode notar há diferença entre os resultados obtidos pelo processo da 
NBR 6118:2003 e com os coeficientes obtidos na Tabela elaborada por Pinheiro [1993]. 
 O processo com o qual se montaram as tabelas segue o mesmo roteiro prescrito 
pela NBR 6118:2003 porém, nas tabelas para os casos em que há engastamento se 
fizeram correções para os valores obtidos pelo processo da Norma. 
 Essa correção leva em conta a possível situação de não ocorrer o engastamento 
por falha de construção, ou seja, deficiência no posicionamento das barras da 
armadura junto à face superior da laje ou falha de concretagem. 
 Analisando a situação de vinculação dos lados ly, e isolando uma faixa de laje 
de largura unitária, percebe-se que se a condição de engastamento não ocorrer de 
modo integral, a reação de apoio do lado apoiado irá aumentar. Este fato acarreta 
deficiência de ação na viga onde se encontra o lado apoiado da laje. Esta situação 
preserva a viga de acréscimo de ação se o engastamento da laje não funcionar 
convenientemente, conforme figura 5.16. 
 Os coeficientes indicados nas tabelas 2.3b e 2.3c, anotados com asterisco (*) 
foram obtidos considerando-se os alívios pela metade. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
110
 As expressões com as quais se obtém os coeficientes para o cálculo das 
reações de apoios indicadas na tabela 2.3a, Pinheiro [2003], não estão afetados desse 
alívio. 
 
 
Figura 5.16 - Cálculo das reações por tabelas 
 
 Na figura 5.16 mostram-se as reações de apoio calculadas usando o processo 
da NBR 6118:2003. 
 Se não houvesse engastamento as reações de apoio seriam: 
 
 
2
vv
v
'
xNBR
'
xNBR
AP
+= 
 
 O alívio gerado pelo engastamento no lado apoiado é dado por: 
 
 
2
vv
v
'
xNBR
'
xNBR'
xNBR
+= 
 
 Resultando para o cálculo da reação de apoio usando a tabela, com o alívio 
considerado pela metade a seguinte expressão: 
 
 

 +−+=
2
vv
v
2
1vv xNBR
'
xNBR'
NBRxNBRxTABx 
 
 A equação anterior pode ser