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Projeto estrutural de edificios - José Samuel Giongo

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
∂
∂ν+∂
∂−= 2
2
2
2
y
x
w
y
wDm 
 
 
 dzz
ty
w
1
Ezdzm 2
22/h
2/h
2/h
2/hxyxy 



∂∂
∂
ν−−−=τ∫ ∫ 
 [5.15] 
 



∂∂
∂ν−−=
yx
w)1(Dm
2
xy 
 
 com, 
 
 =ν−= )1(12
EhD 2
3
 rigidez a flexão da placa, equivalente à rigidez EI das vigas, 
 
 E = módulo de deformação longitudinal, 
 
 h = espessura, 
 
 ν = coeficiente de Poisson. 
 As forças cortantes podem ser relacionadas com as curvaturas, utilizando-se as 
expressões (5.2) e (5.3), sendo substituídos os valores dos momentos. 
 
 2
3
2
3
3
3
x
yx
w)1((D
yx
w
x
wDv ∂∂
∂ν−−



∂∂
∂ν+∂
∂−= 
 
 



∂∂
∂ν+∂
∂−= 2
3
3
3
x
yx
w
x
wDv [5.16] 
 
 
yx
w)1(D
yx
w
y
wDv 2
3
2
3
3
3
y ∂∂
∂ν−−



∂∂
∂ν+∂
∂−= 
 [5.17] 
 
 



∂∂
∂ν+∂
∂−=
yx
w
y
wDv 2
3
3
3
y 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
117
 Substituindo-se as expressões dos momentos fletores (5.13), (5.14) e (5.15) na 
equação (5.4), resulta a conhecida equação de Lagrange ou equação das placas: 
 
 
D
P
y
w
yx
w
x
w =++ 4
4
22
4
4
4
2 ∂
∂
∂∂
∂
∂
∂ [5.18] 
 
 As condições de contorno da equação diferencial (5.18) dependem dos 
diferentes tipos de apoio. Assim, por exemplo, quando se trata de uma borda reta 
paralela ao eixo y, ter-se-á, em função das condições dessa borda, as seguintes 
condições de contorno: 
 
 a. borda engastada - o deslocamento vertical e a rotação são nulos: 
 
 0
x
w,0w =∂
∂= 
 
 b. borda simplesmente apoiada - o deslocamento vertical e o momento fletor são 
nulos: 
 
 0
y
w
x
wDm,0w 2
2
2
2
x =



∂
∂ν+∂
∂−== 
 
 c. borda livre - o momento fletor e a reação na borda são nulos: 
 
 0,0 =∂
∂−=
y
m
vm xyxx 
 
 Obtida a função w, os esforços solicitantes são calculados pelas equações 
(5.13) a (5.17). 
 Normalmente, não é fácil encontrar uma função w( x,y ) que satisfaça a equação 
diferencial das placas e atenda às condições de contorno. Para tal, recorre-se a 
soluções aproximadas, obtendo-se w como uma soma de funções elementares que 
satisfaçam as condições de contorno. 
 O processo de integração da Equação de Lagrange só pode ser aplicado a 
alguns poucos casos de formas de placas e condições de contorno. Uma alternativa 
mais geral e o uso de diferenças finitas para a integração numérica, conduzindo a 
resolução de um sistema de equações lineares. 
 Tais métodos foram bastante utilizados para a montagem de tabelas (ver, por 
exemplo, BARES (1970). Para o caso de placas com formas mais complexas, com 
regiões de diferentes espessuras, com aberturas, com carregamentos de distribuição 
não usual, ou com condições de apoio variadas, os métodos anteriores não possuem, 
em geral, aplicação prática. Podem-se recorrer, então, ao método dos elementos 
finitos, elementos de contorno ou analogia de grelha. 
 
5.8.2 MOMENTOS FLETORES E COMPATIBILIZAÇÃO 
 
 A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, 
é bastante trabalhosa. No entanto, há várias tabelas já elaboradas, destacando-se as 
de Czerny, Bares e Kalmanock. 
 Quando se analisa um pavimento composto por várias lajes, as dificuldades que 
se apresentam no estudo de funcionamento das lajes contínuas residem, basicamente, 
na consideração do engastamento nos apoios internos, onde há continuidade. Nesses 
apoios, o engaste não e rigorosamente perfeito; na verdade, ocorrem engastamentos 
parciais. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
118
 Nos casos usuais, podem-se supor as lajes contínuas perfeitamente engastadas 
nas lajes adjacentes. Em geral, porém, as lajes de um pavimento diferem nas 
condições de apoio, nos vãos ou nos carregamentos, resultando em momentos fletores 
negativos diferentes, em um mesmo vínculo. Deve-se proceder à compatibilização dos 
momentos fletores. Alguns autores recomendam adotar, para esse momento negativo, 
o maior valor entre a média dos dois momentos fletores e 80% do maior. Esse critério é 
razoável quando os momentos fletores negativos, entre as lajes vizinhas, são de 
mesma ordem de grandeza. 
 Após a compatibilização dos momentos negativos, devem-se corrigir os 
momentos fletores positivos relativos à mesma direção. Para que em serviço, o 
comportamento da laje seja o mais próximo possível do relativo ao regime elástico, a 
correção dos momentos fletores positivos é feita integralmente, ou seja os momentos 
no centro da laje devem ser aumentados ou diminuídos adequadamente, de acordo 
com a variação do respectivo momento negativo, após a compatibilização. 
 
5.8.3 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS 
 
 Para cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares utilizam-se as tabelas 
elaboradas por Pinheiro (1993), que são: 
 
 -2.5a a 2.5e nos casos de ações uniformemente distribuídas; 
 
 -2.6a a 2.6e nos casos de ações linearmente variáveis. 
 
 As tabelas foram adaptadas por Pinheiro e Wolfensberger de trabalho de 
BARES (1970) - Tablas para el calculo de placas y vigas pared. 
 Os momentos fletores são calculados pela expressão: 
 
 
100
)qg(m
2l+µ= 
 
 sendo, l é o menor vão teórico da laje. 
 
 As convenções adotadas para os coeficientes, e portanto para os momentos 
fletores, são os seguintes: 
 
 mx - momento fletor por unidade de largura (1m) com plano de ação paralelo ao 
eixo x, ou seja, vetor momento com direção paralela ao eixo y, que provoca tração nas 
fibras inferiores da laje, e com valor máximo na região central. 
 
 m'x - idem, que provoca tração nas fibras superiores da laje, e com valor 
máximo na região central dos apoios. 
 
 Se a laje tiver borda livre os coeficientes e os momentos recebem o índice b, 
indicando que eles ai ocorrem, e que atuam paralelamente ao lado com borda livre 
(mxb) e / ou (m'xb). 
 
5.8.3.1 Exemplo 1 
 
 Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura 
5.20, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2. 
 Trata-se de uma laje tipo 9, sendo que os coeficientes são apresentados na 
Tabela 2.5e, elaborada por PINHEIRO [1993]. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
119
 
 
Figura 5.20 - Momentos fletores na laje tipo 9 
 
 Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo la é perpendicular à borda livre e 
ao lado engastado, lb é, portanto, paralelo à borda livre e ao lado engastado. 
 Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar a relação 
entre os vão efetivos, obtendo-se: 
 
 1,50
3,0
4,5
γ
b
a === l
l 
 
 Portanto, os momentos fletores atuantes na laje resultam: 
 
 1,37kNm/m
100
3,02,54x6,0m
2
x == 
 
 6,66kNm/m12,33x0,54m'x == 
 
 4,59kNm/m8,50x0,54my == 
 
 6,64kNm/m12,29x0,54myb == 
 
 Na figura 5.20 se mostram as posições das armaduras, também por unidade de 
largura (cm2/m), para absorver os respectivos momentos fletores. 
 
 
5.8.3.2 Exemplo 2 
 
 Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura 
5.21, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2. 
 Trata-se de uma laje tipo 5A sendo que os coeficientes são apresentados na 
Tabela 2.5c, elaborada por PINHEIRO [1993]. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 120
 
 
FIGURA 5.21 - Momentos fletores na laje tipo 5A 
 
 Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo lx é o menor entre os dois vãos 
teóricos e, portanto, ly é o maior. 
 Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar