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Projeto estrutural de edificios - José Samuel Giongo

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serviço Md,ser a hipótese a 
adotar é a do Estádio I, em caso contrário, ou seja, Md,ser > Mr adotam-se as hipóteses 
para o Estádio II, pois há a possibilidade de se formarem fissuras no elemento 
estrutural fletido. 
O valor do módulo de elasticidade secante Ecs, dado pela expressão 5.20 
sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. 
 
 Ecs = 0,85 . 5.600 fck1/2 (5.20)
 
 
a.- Flecha imediata em vigas (lajes) de concreto armado 
 
Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar a 
expressão de rigidez equivalente dada a seguir : 
 
ccsII
3
a
r
c
3
a
r
cseq I.EI.M
M
1IM
ME)EI( ≤






−+=













 
 
sendo: 
 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
 
III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II, 
calculado com: 
 
 
cs
s
e E
E=α 
 
sendo Es = 210GPa e Ecs (módulo de elasticidade secante do concreto) 
calculado com a expressão 5.20 (NBR 6118:2003); 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
138
Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo 
no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, 
para a combinação de ações considerada nessa avaliação; 
 
Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, calculado com a 
expressão 5.19 (NBR 6118:2003) cujo valor deve ser reduzido à metade no 
caso de utilização de barras lisas; 
 
No cálculo de Mr, fct é a resistência à tração direta do concreto, adotada igual a 
fctm para verificação do estado limite de deformação excessiva, dado por: 
 
 3/2ckctm f3,0f ⋅= (em MPa) 
 
b.- Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado 
 
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função 
da fluência, podem ser calculadas de maneira aproximada pela multiplicação da flecha 
imediata pelo fator αf dado pela expressão: 
 
 
sendo: 
 
 
 
sendo: 
 
ξ é um coeficiente função do tempo, que deve ser calculado pela expressão 
seguinte, se t ≤ 70 meses, ou obtido diretamente na tabela 5.5: 
 
0,32t)t0,996(.0,68(t) =ξ para t ≤ 70 meses 
 
 ξ(t) = 2 para t > 70 meses 
 
 
Tabela 5.5 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo 
 
Tempo (t) 
meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70
Coeficiente 
ξ (t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
 
sendo: 
 
t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
 
ρ′+
ξ∆=α
501f
′
=ρ′
bd
As
)t()t( 0ξ−ξ=ξ∆
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
139
t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. 
No caso de parcelas da carga de longa duração ser aplicadas em idades 
diferentes pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir : 
 
 
sendo: 
 
Pi são as parcelas de carga; 
 
t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses. 
 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por 
(1 + ξf). 
 
5.12.1.3. Estado limite de fissuração 
 
Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa 
aderente (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro de bainhas), que 
controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do 
concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 
7Φ do contorno do elemento da armadura (ver figura 5.35). A armadura de pele Φi da 
viga, na sua zona tracionada, necessária para vigas com altura maior do que 60cm, 
limite a abertura de fissuras na região Acri correspondente. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.35 - Concreto de envolvimento da armadura 
 
O valor da abertura de fissuras, w, determinada para cada parte da região de 
envolvimento, é a menor dentre as obtidas pelas expressões que seguem : 
 
 
 
sendo: σsi, φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento em exame. 
 
sendo: 
 
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi; 
 
i
i0i0
P
tP
t Σ
Σ=
ctm
si
si
si
i
i
f
3
E5,12
w
σσ
η
φ=



 +ρ
σ
η
φ= 454
E5,12
w
risi
si
i
i
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
140
Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra φi considerada; 
 
φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
 
ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de 
bainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri); 
 
σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, 
calculada no Estádio II. 
 
Nos elementos estruturais com protensão, σsi é o acréscimo de tensão, no 
centro de gravidade da armadura, entre o estado limite de descompressão e o 
carregamento considerado. Deve ser calculada no Estádio II considerando toda 
armadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas. 
O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e 
despreza a resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação αe 
entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15. 
η1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, 
devendo ser adotados os valores de η1 para passiva e ηp1 para ativa (ver 9.3.2). 
Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a 
condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de fissuras 
calculada na região das barras mais tracionadas for verificada e exista uma armadura 
lateral que atenda a área mínima de armadura longitudinal de tração. 
O controle da fissuração, sem a verificação da abertura de fissuras, pode ser 
feito sem a avaliação do valor da abertura de fissuras, atendendo a verificação do 
estado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o 
concreto armado e 0,2 mm para o concreto com armaduras ativas). Um elemento 
estrutural (no caso deste item, lajes maciças) deve ser dimensionado respeitando as 
restrições da tabela 5.6 quanto ao diâmetro máximo (φmax) e ao espaçamento máximo 
(smáx) das armaduras, bem como as exigências de cobrimento (item 7) e de armadura 
mínima. A tensão σs deve ser determinada no Estádio II. 
 
Tabela 5.6 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento, 
com barras de alta aderência 
 Valores máximos 
Tensão na barra Concreto sem armaduras ativas 
σs (MPa) φmáx (mm) smáx (cm) 
160 32 30 
200 25 25 
240 16 20 
280 12,5 15 
320 10 10 
360 8 6 
 
 Os limites para as aberturas das fissuras e das flechas são os indicados na NBR 
6118:2003. 
 
5.12.1.1.Exercício 1 
 
 Pretende-se construir a laje da figura com espessura de 9cm. Sabendo-se que 
as ações uniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificar 
essa possibilidade atendendo as condições dos estados limites de serviço. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
 
141
 
 
Figura 5.36 – Figura do exercício 1 
 
 
5.12.1.2 Exercício 2 
 
 A laje maciça cujas condições de contorno e vãos teóricos estão indicados na 
figura e foi pré-dimensionada com espessura de 8cm. Sabendo-se que as ações 
uniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificar os 
critérios da NBR 6118:2003 com relação aos estados limites últimos. 
 
 
Figura 5. 37 – Figura do exercício 2 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
1.. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:1978 Projeto e 
execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978. 
 
 
2. ASSOCIAÇÃO