1 Geometria Plana

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Geometria 
Plana
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GEOMETRIA PLANA 
1) INTRODUÇÃO
Conceitos primitivos: ponto, reta e plano. 
Ângulos 
Agudo Reto Obtuso
0º < < 90º = 90º 90º < <180º 
Ângulos complementares: + = 90º 
Ângulos suplementares: + = 180º 
OBS: Se é um ângulo então seu complemento é 90º e seu suplemento será 180º .
Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V) 
Bissetriz: Semirreta que divide o ângulo ao meio ou lugar geométrico de todos os pontos do plano que são 
equidistantes das semirretas OA e OBOA e OB .
 
A 
C 
B 
 
 0 
s 
 
r 
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A 
B C 
2) TRIÂNGULOS
2.1) Soma dos ângulos internos 
iS x y z 180º
2.2) Teorema do ângulo externo 
1
2 1 2 3
3
e y z
e x y e e e 2 x y z 360º
e x z
2.3) Condição de existência: Para que o triângulo exista, um lado tem que ser menor que a soma dos outros 
dois lados e maior que o módulo da diferença entre os outros dois lados, ou seja, b – c a b c .
EX: Determine os possíveis valores inteiros de x para que exista um triângulo de lados 4, 7 e x. 
Devemos ter 7 4 x 7 4 3 x 11 x 4,5,6,7,8,9,10
2.4) Classificação dos triângulos 
1ª) Quanto aos lados: 
ESCALENO ISÓSCELES EQUILÁTERO
AB AC BC 
AB = AC 
AB = AC = BC 
B C 
A 
A 
B C 
60º 
60º 60º 
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A 
B C 
2ª) Quanto aos ângulos: 
ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO
2.5) Segmentos notáveis de um triângulo 
 Bissetriz 
Mediatriz 
B C 
A 
60º 50º 
70º 
A 
B C
 
 
A 
B C
I 
A
B
C
P
Circuncentro: Ponto de encontro das Mediatrizes. 
 Centro do círculo circunscrito no triângulo. 
Incentro: Ponto de encontro das Bissetrizes. 
Centro do círculo inscrito no triângulo 
A 
B 
C 
10º 
140º 30º 
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Altura
Mediana 
OBS: A mediana divide o triângulo em dois 
triângulos de mesma área. 
OBS: Mediana em relação à hipotenusa do triângulo retângulo Base média 
 
A
CMB
P
NG
A
B C
0
Ortocentro: Ponto de encontro das Alturas. 
Baricentro: Ponto de encontro das Medianas. 
Centro de Gravidade do triângulo 
Temos que: 
2AG AM
3
1GM AM
3
A
B M C
A
M N
CB
BCAM BM MC
2
BCMN e MN / / BC
2
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3) POLÍGONOS
i
e
Soma dos ângulos internos
S n – 2 180º
Soma dos ângulos externos
Polígono qualquer S 360º
Número de diagona
n n 3
2
is
d
3.1) Polígonos Regulares: Todos os lados são iguais, todos os ângulos internos são iguais e todos os ângulos 
externos são iguais. São válidas todas as fórmulas acima e ainda: 
i e 180º
n – 2 180º
Polígonos regulares i
n
360ºe
n
3.2) Nomenclatura: 
n 3 triângulo
n 4 quadrilátero
n 5 pentágono
n 6 hexágono
n 7 heptágono
n 8 octógono
n 9 eneágono
n 10 decágono
n 12 dodecágono
n 15 pentadecágono
n 20 icoságono
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4) QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
4.1) Paralelogramo 
Lados opostos congruentes
Ângulos opostos congruentes
Diagonais que se cortam ao meio
4.2) Retângulo 
Todos os ângulos congruentes
Diagonais congruentes
Todo retângulo é um paralelogramo
4.3) Losango 
Todos os lados congruentes
Diagonais perpendiculares
Diagonais bissetrizes dos ângulos internos
Todo losango é um paralelogramo
4.4) Quadrado 
Todos os lados congruentes
Todos os lados congruentes
Diagonais perpendiculares
Diagonais bissetrizes dos ângulos internos
Todo quadrado é um paralelogramo, um retângulo e um losango
D 
A B 
C 
M 
D 
A B 
C 
M 
A B
C D 
A 
D B
C 
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D C 
A B 
4.5) Trapézio 
Dois lados opostos paralelos e dois lados opostos não paralelos
AB é a base menor e CD é a base maior
Trapézio Isósceles: 
180º
Os lados não paralelos são congruentes
Os ângulos das bases são congruentes
Suas diagonais são congruentes
Trapézio retângulo: 
Possui dois ângulos de 90º, ou seja, um dos lados
não paralelos é perpendicular à base
180º
Base média de Trapézio: 
AB CDMN
2
MN / /AB / /CD
A C
C D 
 
 
D C 
A B 
 
 
A B 
D C 
N M 
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5) CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
5.1) Elementos 
5.2) Ângulos no círculo 
 Central Inscrito Semi-inscrito 
 AB = 
AB AB 2 AB 2
 Vértice interior Vértice exterior 
AB CD
2
AB CD
2
A
0
B
A
B 
p 
A 
P
B 
 
B 
C 
 
D 
A 
C 
D 
B 
 p 
A 
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5.3) Segmentos tangentes: PA = PB 
5.4) Teorema de PITOT: Um quadrilátero é circunscritível se, e somente se, AB CD AD BC
 
OBS: Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, seus ângulos opostos são suplementares. 
6) TEOREMA DE TALES
AB BC AC
A'B' B'C'
r / /s / /
'C'
 t
A
0
p 
B
A
 
A A’ 
r
s 
B’ 
C’ 
B 
C 
t
B 
C 
A 
D 
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6.1) Teorema das bissetrizes 
a) Bissetriz interna b) Bissetriz externa
 
7) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
 Suponha ABC
DEF
2Pa b cABC DEF k
d e
A D , B E e
2
 C F
f P
7.1) Relações métricas na circunferência 
1ª) Corda-corda 2ª) Secante-secante 
 PA PB PC PD PA PB PC PD
B 
A 
S 
 
 
b c 
a y 
C 
x 
A 
b c 
B C a 
B 
C D 
A 
P
x y
c b
c 
C B 
A 
b 
x 
S 
y 
A 
B 
D 
C 
P
O 
D
ef
E F d
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3ª) Secante - tangente: 2PT PA PB
7.2) Relações métricas no triângulo retângulo 
2 2 2
2
2
2
a b c
 a h b c 
h m n 
c a m 
b a n
8) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
2 2
b asen cos 90º cossec
a b
c acos sen 90º sec
a c
b ctg cot g
c b
sen cos 1
30º 45º 60º 
Seno 2
1
2
2
2
3
Cosseno 
2
3
2
2
2
1
tangente 
3
3 1 3
T 
B 
A 
P O 
A 
b c 
B C 
a 
h 
m n 
H 
C 
B 
b 
A c 
a 
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9) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c – 2 bc cos
b a c – 2 ac cos
c a b – 2 ab cos
Lei do
a b cLeis dos senos 2R
se
s
n sen sen
cossenos
 ` 
10) POLÍGONOS REGULARES
1º) Quadrado 2º) Triângulo equilátero 3º) Hexágono regular 
L 2R
2
2 L 3R
3 2
R L
p
La
2 p
1 L 3a
3 2 p
L 3a
2
 
D 
A B 
C 
E 
F 
R 
O 
A 
D C 
B 
O 
pa
L 
R 
O 
A 
B C 
R 
pa
L 
pa
L 
C 
B 
A 
a 
b 
c 
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c 
a 
b 
11) ÀREAS DE FIGURAS PLANAS
Paralelogramo Retângulo Quadrado
A b h A b h 2A L 
Losango Trapézio 
B b h
A
2
D dA
2
 Triângulo Triângulo retângulo 
b hA
2
b hA
2
b cA
2
h h 
h 
b 
B 
 
 
D 
d 
h 
b 
h 
b 
L 
L
L 
L 
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b 
c 
a 
Triângulo equilátero Triângulo qualquer (Fórmula de Heron) 
2L 3 L 3h A
2 4
a b cA p p a p b p c onde p
2
 Triângulo circunscrito 
b c senA
2
 A p r
Triângulo inscritoCírculo 
abcA
4R
2A R e C 2 R
hL L 
L 
c 
b 
a 
0 
r 
O 
b 
a 
c 
R 
R 
b 
C 
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B 
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O 
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A 
 Setor circular Segmento circular Coroa circular
2
setor
RA
360º segmento setor triângulo
A A A 2 2coroaA R r
OBS: Demonstração da fórmula de Heron: 
Observe a figura: 
Então vamos lá, Pitágoras e muita álgebra: 
ABC
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
ah2p a b c e A
2
c h x c h x
b h a x b h x 2ax a
a c b a c b a c b a c bx h c h c c
2a 2a 2a 2a
(a 2ac c ) b b (a 2ah
2a
2 2 2 2 2
2
2
2
2
c c ) (a c) b b (a c)h
2a 2a 2a
(a b c)(a c b) (a b c)(b c a)h
2a 2a
(a b c)(a b c 2b) (a b c 2c)(a b c 2a)h
2a 2a
(2p)(2p 2b) (2p 2c)(2ph
2a
2
2
ABC2
2a) 4h p (p a) (p b) (p c)
2a a
4 2h p (p a) (p b) (p c) h p (p a) (p b) (p c) A p (p a) (p b) (p c)
aa
R 
R 
O 
r 
R 
B 
O 
A 
x a x
B C
D
A
h
c
b