Lista02 2012

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Ca´lculo 1 - Insper - Lista 2 1
Lista 2
Nı´vel 1
E1) Verifique se cada func¸a˜o dada e´ cont´ınua no ponto indicado.
a) f(x) =
{
x+ 2, se x ≤ −5
−x− 8, se x > −5
, em x = −5. b) g(x) =
{
3x− 2, se x < 1
2x+ 4, se x ≥ 1
, em x = 1.
c) h(x) =
{
x
2
− 3, se x 6= 0
x+ 3, se x = 0
, em x = 0. d) i(x) = x+ 1, em x = 2.
E2) Considere a func¸a˜o g(x) =


x, se x < −1
2, se x = −1
3x+ 2, se x > −1
.
a) Construa o gra´fico de g(x).
b) Calcule, se existir, lim
x→−1
g(x).
c) Calcule g(−1).
d) A func¸a˜o g(x) e´ cont´ınua em x = −1? Justifique.
Nı´vel 2
E3) Stewart - 6a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 2.5 - pa´g. 115
◮ Exerc´ıcio 7
E4) Determine p e q para que a func¸a˜o g(x) =


−10, se x < −3
px+ q, se − 3 ≤ x ≤ 3
10, se x > 3
seja cont´ınua.
E5) Considere a func¸a˜o f(x) =
{
|x|
x
, se x 6= 0
b, se x = 0
.
a) Desenhe o gra´fico de f(x) para b = 0.
b) Existe algum valor de b para o qual a func¸a˜o f(x) seja cont´ınua em x = 0? Justifique.
Nı´vel 3
E6) Considere a func¸a˜o f(x) =
{
0, se x ∈ Z
1, se x 6∈ Z
, em que Z representa o conjunto dos nu´meros inteiros.
a) Calcule f(2) e f(pi).
b) Desenhe o gra´fico de f(x).
c) Calcule lim
x→2
f(x) e lim
x→pi
f(x).
d) A func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua em x = 2? E em x = pi? Justifique.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 2 2
E7) Considere a func¸a˜o g(x) =
{
0, se x ∈ Q
1, se x 6∈ Q
, em que Q representa o conjunto dos nu´meros racionais.
a) Calcule g(2) e g(pi).
b) Existe lim
x→2
g(x)? Justifique.
c) A func¸a˜o g(x) e´ cont´ınua em x = 2? Justifique.
d) Esta func¸a˜o e´ cont´ınua em algum ponto do seu domı´nio? Justifique.
Respostas
Nı´vel 1
E1) a) sim b) na˜o c) na˜o d) sim
E2) a)
x
y
−2 −1 0 1
-2
-1
1
2
3
b
bc
b) −1 c) 2
d) Na˜o, pois g(−1) 6= lim
x→−1
g(x)
Nı´vel 2
E4) p = 10
3
e q = 0.
E5) a)
x
y
-1 0 1
-1
1
b
bc
bc
b) Na˜o, pois, para todo valor de b, na˜o existe lim
x→0
f(x).
Nı´vel 3
E6) a) f(2) = 0 e f(pi) = 1. b)
x
y
-2 -1 0 1 2
1
b b bbb
bc bc bcbcbc
c) lim
x→2
f(x) = 1 e lim
x→pi
f(x) = 1.
d) Na˜o e´ cont´ınua em x = 2, pois lim
x→2
f(x) 6= f(2).
E´ cont´ınua em x = pi, pois lim
x→pi
f(x) = f(pi).
E7) a) g(2) = 0 e g(pi) = 1
b) Na˜o. Tomando-se qualquer vizinhanc¸a do ponto x = 2, por menor que seja, sempre encontraremos tanto nu´meros
racionais quanto irracionais. Portanto, havera´ pontos onde a func¸a˜o assume o valor 0 e pontos onde ela assume o valor 1,
o que na˜o permite definir o limite.
c) A func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = 2 porque na˜o existe lim
x→2
g(x).
d) Na˜o, pois a explicac¸a˜o dada nos itens b e c para o caso x = 2 repete-se para todos os nu´meros reais.