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exercicios_trigonometria

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Func¸o˜es trigonome´tricas
Introduc¸a˜o
As unidades mais usadas para medir aˆngulos ou arcos de circunfereˆncias
sa˜o o grau e o radiano.
Define-se 1 grau (1o) como sendo a divisa˜o de uma circunfereˆncia em 360
partes cangruentes (iguais).
Define-se 1 radiano (1 rad) como sendo um arco de uma circunfereˆncia,
cujo comprimento e´ igual ao raio circunfereˆncia.
O arco AB mede r unidades, enta˜o o aˆngulo de ve´rtice C mede 1 radiano.
E´ possivel estabelecer uma relac¸a˜o entre essas duas unidades, pois, 360o
(leˆ-se trezentos e sessenta graus) equivale a 2pi rad (leˆ-se dois pi radianos),
e consequentemente segue que 180o(leˆ-se cento e oitenta graus) equivale a pi
rad (leˆ-se pi radianos).
A transfereˆncia de unidade e´ feita a partir de uma regra de treˆs simples.
O triaˆngulo retaˆngulo e´ um pol´ıgono de treˆs lados que possui um aˆngulo
reto (90o ou pi
2
rad). Por definic¸a˜o, o lado oposto ao aˆngulo reto e´ chamado
de hipotenusa, e os outros dois lados de catetos.
1
Em um triaˆngulo retaˆngulo define-se sen, cos e tg de um aˆngulo como
sendo:
sen(α) =
cateto oposto
hipotenusa
, cos(α) =
cateto adjacente
hipotenusa
e tg(α) =
cateto oposto
cateto adjacente
Lembrando que tomamos como refereˆncia o aˆngulo para classificar os
catetos como adjacente e oposto.
A definic¸a˜o acima define sen, cos e tg apenas para aˆngulos positivos,
pois se trata de medida de aˆngulos, gostariamos de estender esse conceito
para aˆngulos negativos, mas para isso precisamos da cirncunfereˆncia trigo-
nome´trica.
A circunfereˆncia trigonome´trica e´ uma circunfereˆncia orientada cujo raio
mede 1 unidade de comprimento, e o sentido positivo e´ o anti-hora´rio.
Os eixos x e y dividem a circunfereˆncia em quatros partes congruentes
(iguais) chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 contadas a partir do zero
no sentido positivo.
2
Partindo da origem e deslocando, no sentido positivo, sobre a circun-
fereˆncia ate´ um ponto A obtemos um aˆngulo α.
Trac¸ando em A uma paralela ao eixo x e ao eixo y temos que a paralela
ao eixo x intercepta o eixo y em um ponto B, e a paralela ao eixo y intercepta
o eixo x em um ponto D, enta˜o obtemos:
3
Observe que o aˆngulo de ve´rtice D e´ um aˆngulo reto, logo o triaˆngulo
ACD e´ retaˆngulo.
Pela definic¸a˜o de seno, cosseno e tg em um triaˆgulo retaˆngulo temos que:
sen(α) = AD
CA
, mas CA e´ o raio da circunfereˆncia trigonome´trica que mede 1
unidade, desta maneira temos que sen(α) = AD
1
como AD = CB segue que
sen(α) = CB
1
= CB.
cos(α) = CD
CA
, logo cos(α) = CD
1
, e assim temos que cos(α) = CD
tg(α) = AD
CD
= AD÷1
CD÷1 =
sen(α)
cos(α)
Observe que sen(α) e cos(α) sa˜o definidos respectivamente pelo eixo y e
pelo eixo x.
Como ja´ foi dito a cirncunfereˆncia trigonome´trica e´ uma crincunfereˆncia
orientada, quando deslocamos sobre ela ate´ o ponto A, deslocamos no sen-
tido positivo (anti-hora´rio) e encontramos um aˆngulo α, se deslocassemos
a mesma quantidade em sentido contra´rio (hora´rio), obteriamos um aˆngulo
−α.
Alguns arcos sa˜o chamados de arcos correspondentes, os arcos correspon-
dentes de um aˆngulo θ sa˜o pi− θ; pi+ θ; 2pi− θ, e todos os arcos que possuem
4
mais de uma volta e correspondem a esses arcos como por exemplo o arco
2pi + θ que corresponde ao arco θ apo´s uma volta.
Esses arcos possuem caracteristicas peculiares que mostraremos na cir-
cunfereˆncia trigonome´trica.
Seja o aˆngulo θ o aˆngulo representado na circunfereˆncia trigonome´trica
abaixo:
Tracemos uma reta que passe em A e seja paralela ao eixo x, essa reta
intercepta a cirncunfereˆncia em B. Tracemos agora duas retas paralelas ao
eixo y , uma passando em A e a outra passando em B.
5
Observe que os triaˆngulos BCO e ADO sa˜o congruentes pelo caso LAL,
pois , BC = AD, OC = OD e os aˆngulos cujos ve´tices sa˜o C e D sa˜o con-
grueˆntes, desta maneira o aˆngulo de ve´rtice O do triaˆngulo BCO e´ congrueˆnte
com o aˆngulo θ.
Marquemos agora o ponto E na intersec¸a˜o da reta paralela ao eixo y
que passa em B, com a circunfereˆncia trigonome´trica, e o ponto F que e´ a
intersec¸a˜o da reta paralela ao eixo y que passa em A, com a circunfereˆncia
trigonome´trica, trac¸amos agora a reta definida pelos pontos E e F e depois
unimos os pontos E e F a` origem, assim obtemos a seguinte figura:
Observe agora que os triaˆngulos BCO e ECO sa˜o congruentes pelo caso
ALA, uma vez o lado OC e´ comum nos dois triaˆngulos, os aˆngulos de ve´rtice
C sa˜o retos em ambos os triaˆngulos e o aˆngulo de ve´rtice O no triaˆngulo
ECO e´ o aˆngulo θ, pois ele e´ oposto pelo ve´rtice do aˆngulo θ.
Ja´ os triaˆngulos ECO e FDO caem no caso LAL que pode ser demons-
trado de forma ana´loga a dos triaˆngulos BCO e ADO. Assim, concluimos
que os quatro triaˆngulos sa˜o congurentes entre si.
Desta maneira obtemos:
6
Como ja´ foi dito o seno dos aˆngulos sa˜o determinados pelo eixo y e o
cosseno pelo eixo x, enta˜o segue que:
sen(θ) = OG e cos(θ) = 0D
sen(pi − θ) = OG e cos(pi − θ) = OC = −OD
sen(pi + θ) = OH = −OG e cos(pi + θ) = OC = −OD
sen(2pi − θ) = OH = −OG e cos(2pi − θ) = OD.
sen(θ) = sen(pi − θ) = −sen(pi + θ) = −sen(2pi − θ).
cos(θ) = −cos(pi − θ) = −cos(pi + θ) = cos(2pi − θ).
Alguns arcos sa˜o chamados de arcos nota´veis, sera˜o apresentados na ta-
bela abaixo os arcos nota´veis e os valores de seus repectivos seno, cosseno e
tangente.
x 0 rad pi
6
rad pi
4
rad pi
3
rad pi
2
rad pi rad 3pi
2
rad 2pi rad
sen(x) 0 1
2
1
2
√
3
2
1 0 -1 0
cos(x) 1
√
3
2
1
2
1
2
0 -1 0 1
tg(x) 0
√
3
3
1
√
3 @ 0 @ 0
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor calcular o seno, cosseno e tan-
gente dos arcos correspondentes de pi
6
, pi
4
e pi
3
.
Apresentaremos abaixo algumas relac¸o˜es trigonome´tricas:
1.1. sen2(x) + cos2(x) = 1 (Relac¸a˜o fundamental).
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1.2. sen(a+ b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a).
1.3. sen(a− b) = sen(a)cos(b)− sen(b)cos(a).
1.4. cos(a+ b) = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b).
1.5. cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b).
1.5. sen(2a) = 2sen(a)cos(a).
1.6 cos(2a) = cos2(a)− sen2(a).
1.7 sec(x) = 1
cos(x)
com (cos(x) 6= 0).
1.8 cossec(x) = 1
sen(x)
com (sen(x) 6= 0).
1.9 cotg(x) = cos(x)
sen(x)
com (sen(x) 6= 0).
Func¸a˜o seno
Definimos a func¸a˜o seno como sendo f :IR�IR tal que f(x) = sen(x), lem-
brando que x, medida de aˆngulo (ou arco) , e´ expresso em radianos.
O gra´fico da func¸a˜o seno f(x) = sen(x) e´ a curva senoide, que tem o
seguinte aspecto:
Observe que:
O domı´nio de f(x) = sen(x) e´ IR.
O conjunto imagem de f(x) = sen(x) e´ o intervalo [−1; 1].
A func¸a˜o seno na˜o e´ sobrejetiva, pois sua imagem na˜o e´ igual ao contra
domı´nio([−1; 1] 6= IR).
A func¸a˜o seno na˜o e´ injetiva pois para valores diferentes de x temos o mesmo
f(x).
A func¸a˜o seno e´ uma func¸a˜o impar, isto e´, qualquer que seja o valor de
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x ∈ D(f) temos que sen(x) = −sen(−x).
O gra´fico da func¸a˜o seno repete periodicamente seus valores nos interva-
los ..., [−2pi; 0], [0; 2pi], [2pi; 4pi],... Da´ı dizemos que a func¸a˜o seno e´ perio´dica.
Para encontrar o per´ıodo basta observar no gra´fico o deslocamento hori-
zontal necessa´rio para que ele comece a se repetir. O per´ıodo da func¸a˜o
f(x) = sen(x) e´ 2pi e indicamos: p = 2pi.
Observando o sinal da func¸a˜o seno, vemos que a func¸a˜o e´ positiva para
valores do 1o e do 2o quadrantes e negativo para valores do 3o e 4o quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o seno
Observe que:
No primeiro quadrante, quando x cresce de 0 a pi
2
, sen(x) cresce de 0 a 1.
No segundo quadrante, quando x cresce de pi
2
a pi, sen(x) decresce de 1 a 0.
No terceiro quadrante, quando x cresce de pi a 3pi
2
, sen(x) decresce de 0 a −1.
No quarto quadrante, quando x cresce de 3pi
2
, sen(x) cresce de −1 a 0.
Func¸a˜o cosseno
Definimos a func¸a˜o cosseno como sendo a func¸a˜o f :IR�IR tal que
f(x) = cos(x), lembrando que x, medida de aˆngulo (ou arco), e´ expresso em
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radianos.
O gra´fico da func¸a˜o cosseno f(x) = cos(x) e´ a curva chamada cossenoide,
que tem o seguinte aspecto:
Observe que:
A cossenoide e´ uma senoide