exercicios_trigonometria

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Func¸o˜es trigonome´tricas
Introduc¸a˜o
As unidades mais usadas para medir aˆngulos ou arcos de circunfereˆncias
sa˜o o grau e o radiano.
Define-se 1 grau (1o) como sendo a divisa˜o de uma circunfereˆncia em 360
partes cangruentes (iguais).
Define-se 1 radiano (1 rad) como sendo um arco de uma circunfereˆncia,
cujo comprimento e´ igual ao raio circunfereˆncia.
O arco AB mede r unidades, enta˜o o aˆngulo de ve´rtice C mede 1 radiano.
E´ possivel estabelecer uma relac¸a˜o entre essas duas unidades, pois, 360o
(leˆ-se trezentos e sessenta graus) equivale a 2pi rad (leˆ-se dois pi radianos),
e consequentemente segue que 180o(leˆ-se cento e oitenta graus) equivale a pi
rad (leˆ-se pi radianos).
A transfereˆncia de unidade e´ feita a partir de uma regra de treˆs simples.
O triaˆngulo retaˆngulo e´ um pol´ıgono de treˆs lados que possui um aˆngulo
reto (90o ou pi
2
rad). Por definic¸a˜o, o lado oposto ao aˆngulo reto e´ chamado
de hipotenusa, e os outros dois lados de catetos.
1
Em um triaˆngulo retaˆngulo define-se sen, cos e tg de um aˆngulo como
sendo:
sen(α) =
cateto oposto
hipotenusa
, cos(α) =
cateto adjacente
hipotenusa
e tg(α) =
cateto oposto
cateto adjacente
Lembrando que tomamos como refereˆncia o aˆngulo para classificar os
catetos como adjacente e oposto.
A definic¸a˜o acima define sen, cos e tg apenas para aˆngulos positivos,
pois se trata de medida de aˆngulos, gostariamos de estender esse conceito
para aˆngulos negativos, mas para isso precisamos da cirncunfereˆncia trigo-
nome´trica.
A circunfereˆncia trigonome´trica e´ uma circunfereˆncia orientada cujo raio
mede 1 unidade de comprimento, e o sentido positivo e´ o anti-hora´rio.
Os eixos x e y dividem a circunfereˆncia em quatros partes congruentes
(iguais) chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 contadas a partir do zero
no sentido positivo.
2
Partindo da origem e deslocando, no sentido positivo, sobre a circun-
fereˆncia ate´ um ponto A obtemos um aˆngulo α.
Trac¸ando em A uma paralela ao eixo x e ao eixo y temos que a paralela
ao eixo x intercepta o eixo y em um ponto B, e a paralela ao eixo y intercepta
o eixo x em um ponto D, enta˜o obtemos:
3
Observe que o aˆngulo de ve´rtice D e´ um aˆngulo reto, logo o triaˆngulo
ACD e´ retaˆngulo.
Pela definic¸a˜o de seno, cosseno e tg em um triaˆgulo retaˆngulo temos que:
sen(α) = AD
CA
, mas CA e´ o raio da circunfereˆncia trigonome´trica que mede 1
unidade, desta maneira temos que sen(α) = AD
1
como AD = CB segue que
sen(α) = CB
1
= CB.
cos(α) = CD
CA
, logo cos(α) = CD
1
, e assim temos que cos(α) = CD
tg(α) = AD
CD
= AD÷1
CD÷1 =
sen(α)
cos(α)
Observe que sen(α) e cos(α) sa˜o definidos respectivamente pelo eixo y e
pelo eixo x.
Como ja´ foi dito a cirncunfereˆncia trigonome´trica e´ uma crincunfereˆncia
orientada, quando deslocamos sobre ela ate´ o ponto A, deslocamos no sen-
tido positivo (anti-hora´rio) e encontramos um aˆngulo α, se deslocassemos
a mesma quantidade em sentido contra´rio (hora´rio), obteriamos um aˆngulo
−α.
Alguns arcos sa˜o chamados de arcos correspondentes, os arcos correspon-
dentes de um aˆngulo θ sa˜o pi− θ; pi+ θ; 2pi− θ, e todos os arcos que possuem
4
mais de uma volta e correspondem a esses arcos como por exemplo o arco
2pi + θ que corresponde ao arco θ apo´s uma volta.
Esses arcos possuem caracteristicas peculiares que mostraremos na cir-
cunfereˆncia trigonome´trica.
Seja o aˆngulo θ o aˆngulo representado na circunfereˆncia trigonome´trica
abaixo:
Tracemos uma reta que passe em A e seja paralela ao eixo x, essa reta
intercepta a cirncunfereˆncia em B. Tracemos agora duas retas paralelas ao
eixo y , uma passando em A e a outra passando em B.
5
Observe que os triaˆngulos BCO e ADO sa˜o congruentes pelo caso LAL,
pois , BC = AD, OC = OD e os aˆngulos cujos ve´tices sa˜o C e D sa˜o con-
grueˆntes, desta maneira o aˆngulo de ve´rtice O do triaˆngulo BCO e´ congrueˆnte
com o aˆngulo θ.
Marquemos agora o ponto E na intersec¸a˜o da reta paralela ao eixo y
que passa em B, com a circunfereˆncia trigonome´trica, e o ponto F que e´ a
intersec¸a˜o da reta paralela ao eixo y que passa em A, com a circunfereˆncia
trigonome´trica, trac¸amos agora a reta definida pelos pontos E e F e depois
unimos os pontos E e F a` origem, assim obtemos a seguinte figura:
Observe agora que os triaˆngulos BCO e ECO sa˜o congruentes pelo caso
ALA, uma vez o lado OC e´ comum nos dois triaˆngulos, os aˆngulos de ve´rtice
C sa˜o retos em ambos os triaˆngulos e o aˆngulo de ve´rtice O no triaˆngulo
ECO e´ o aˆngulo θ, pois ele e´ oposto pelo ve´rtice do aˆngulo θ.
Ja´ os triaˆngulos ECO e FDO caem no caso LAL que pode ser demons-
trado de forma ana´loga a dos triaˆngulos BCO e ADO. Assim, concluimos
que os quatro triaˆngulos sa˜o congurentes entre si.
Desta maneira obtemos:
6
Como ja´ foi dito o seno dos aˆngulos sa˜o determinados pelo eixo y e o
cosseno pelo eixo x, enta˜o segue que:
sen(θ) = OG e cos(θ) = 0D
sen(pi − θ) = OG e cos(pi − θ) = OC = −OD
sen(pi + θ) = OH = −OG e cos(pi + θ) = OC = −OD
sen(2pi − θ) = OH = −OG e cos(2pi − θ) = OD.
sen(θ) = sen(pi − θ) = −sen(pi + θ) = −sen(2pi − θ).
cos(θ) = −cos(pi − θ) = −cos(pi + θ) = cos(2pi − θ).
Alguns arcos sa˜o chamados de arcos nota´veis, sera˜o apresentados na ta-
bela abaixo os arcos nota´veis e os valores de seus repectivos seno, cosseno e
tangente.
x 0 rad pi
6
rad pi
4
rad pi
3
rad pi
2
rad pi rad 3pi
2
rad 2pi rad
sen(x) 0 1
2
1
2
√
3
2
1 0 -1 0
cos(x) 1
√
3
2
1
2
1
2
0 -1 0 1
tg(x) 0
√
3
3
1
√
3 @ 0 @ 0
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor calcular o seno, cosseno e tan-
gente dos arcos correspondentes de pi
6
, pi
4
e pi
3
.
Apresentaremos abaixo algumas relac¸o˜es trigonome´tricas:
1.1. sen2(x) + cos2(x) = 1 (Relac¸a˜o fundamental).
7
1.2. sen(a+ b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a).
1.3. sen(a− b) = sen(a)cos(b)− sen(b)cos(a).
1.4. cos(a+ b) = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b).
1.5. cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b).
1.5. sen(2a) = 2sen(a)cos(a).
1.6 cos(2a) = cos2(a)− sen2(a).
1.7 sec(x) = 1
cos(x)
com (cos(x) 6= 0).
1.8 cossec(x) = 1
sen(x)
com (sen(x) 6= 0).
1.9 cotg(x) = cos(x)
sen(x)
com (sen(x) 6= 0).
Func¸a˜o seno
Definimos a func¸a˜o seno como sendo f :IR�IR tal que f(x) = sen(x), lem-
brando que x, medida de aˆngulo (ou arco) , e´ expresso em radianos.
O gra´fico da func¸a˜o seno f(x) = sen(x) e´ a curva senoide, que tem o
seguinte aspecto:
Observe que:
O domı´nio de f(x) = sen(x) e´ IR.
O conjunto imagem de f(x) = sen(x) e´ o intervalo [−1; 1].
A func¸a˜o seno na˜o e´ sobrejetiva, pois sua imagem na˜o e´ igual ao contra
domı´nio([−1; 1] 6= IR).
A func¸a˜o seno na˜o e´ injetiva pois para valores diferentes de x temos o mesmo
f(x).
A func¸a˜o seno e´ uma func¸a˜o impar, isto e´, qualquer que seja o valor de
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x ∈ D(f) temos que sen(x) = −sen(−x).
O gra´fico da func¸a˜o seno repete periodicamente seus valores nos interva-
los ..., [−2pi; 0], [0; 2pi], [2pi; 4pi],... Da´ı dizemos que a func¸a˜o seno e´ perio´dica.
Para encontrar o per´ıodo basta observar no gra´fico o deslocamento hori-
zontal necessa´rio para que ele comece a se repetir. O per´ıodo da func¸a˜o
f(x) = sen(x) e´ 2pi e indicamos: p = 2pi.
Observando o sinal da func¸a˜o seno, vemos que a func¸a˜o e´ positiva para
valores do 1o e do 2o quadrantes e negativo para valores do 3o e 4o quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o seno
Observe que:
No primeiro quadrante, quando x cresce de 0 a pi
2
, sen(x) cresce de 0 a 1.
No segundo quadrante, quando x cresce de pi
2
a pi, sen(x) decresce de 1 a 0.
No terceiro quadrante, quando x cresce de pi a 3pi
2
, sen(x) decresce de 0 a −1.
No quarto quadrante, quando x cresce de 3pi
2
, sen(x) cresce de −1 a 0.
Func¸a˜o cosseno
Definimos a func¸a˜o cosseno como sendo a func¸a˜o f :IR�IR tal que
f(x) = cos(x), lembrando que x, medida de aˆngulo (ou arco), e´ expresso em
9
radianos.
O gra´fico da func¸a˜o cosseno f(x) = cos(x) e´ a curva chamada cossenoide,
que tem o seguinte aspecto:
Observe que:
A cossenoide e´ uma senoidetransladada pi
2
unidades para a esquerda. Isso faz
com que a maioria dos aspectos relevantes da func¸a˜o cosseno seja a mesma
da func¸a˜o seno.
O domı´nio de f e´: D(f) = IR.
A imagem de f e´: Im = [−1; 1].
O per´ıodo de f e´: p = 2pi.
A func¸a˜o cosseno na˜o e´ injetiva nem sobrejetiva.
A func¸a˜o cosseno, diferente da func¸a˜o seno, e´ par pois cos(x) = cos(−x) para
todo x ∈ D(f).
Ale´m disso observe que o domı´nio, a imagem e o per´ıodo de f e´ o mesmo da
func¸a˜o g(x) = sen(x).
Observando o sinal da func¸a˜o f(x) = cos(x), vemos que a func¸a˜o cosseno
e´ positiva para valores do 1o e 4o quadrantes e negativa para valores do 2o e
3o quadrantes.
10
Variac¸a˜o da func¸a˜o cosseno
Observe que:
No primeiro quadrante, quando x cresce de 0 a pi
2
, cos(x) decresce de 1 a 0.
No segundo quadrante, quando x cresde de pi
2
a pi, cos(x) decresce de 0 a −1.
No terceiro quadrante, quando x cresde de pi a 3pi
2
, cos(x) cresce de −1 a 0.
No quarto quadrante, quando x cresce de 3pi
2
a 2pi, cos(x) crese de 0 a 1.
Func¸a˜o tangente
Definimos a func¸a˜o tangente como sendo f :D�IR tal que f(x) = tg(x) em
que D = {x ∈ IR/x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ ZZ }, lembrando que x, medida de aˆngulo
(ou arco), e´ expresso em radianos.
O gra´fico da func¸a˜o tangente f(x) = tg(x) e´ a curva chamada tangen-
toide, que tem o seguinte aspecto:
Quando x tende a valores em que tg(x) na˜o existe (pi
2
+ kpi, k ∈ ZZ ), o gra´fico
da tangente tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tra-
cejadas nesses valores sa˜o chamadas de ass´ıntotas, ou seja, retas cujo ponto
de intersec¸a˜o com o gra´fico tende ao infinito.
Observe que:
D(f) = {x ∈ IR/x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ ZZ } e Im(f) = IR.
A func¸a˜o tangente na˜o e´ injetiva, mas e´ sobrejetiva.
11
A func¸a˜o tangente e´ func¸a˜o impar, isto e´, tg(x) = −tg(−x) para todo
x ∈ D(f).
Afunc¸a˜o tangente e´ perio´dica de per´ıodo p = pi.
Observando o sinal da func¸a˜o tangente, vemos que a func¸a˜o e´ positiva
para valores da 1o e do 3o quadrantes e negativa para valores do 2o e 4o
quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o tangente
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, tg(x) cresce de 0 a +∞.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , tg(x) cresce de −∞ a 0.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, tg(x) cresce de 0 a +∞.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , tg(x) cresce de −∞ a 0.
Func¸a˜o cossecante
Func¸a˜o cossecante e´ a func¸a˜o f definida por f(x) = cossec(x) ou f(x) =
12
1
sen(x)
, para todo x ∈ IR tal que sen(x) 6= 0.
O gra´fico de f(x) = cossec(x) e´ representado por:
Observe que:
Quando x tende a valores que cossec(x) na˜o existe (sen(x) = 0), o gra´fico
de f tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tracejadas
nesses valores de x sa˜o chamadas de ass´ıntotas.
O domı´nio de f e´ D(f) = {x ∈ IR/x 6= kpi, com k ∈ ZZ}.
A imagem de f e´ Im(f) = {y ∈ IR/y ≤ −1 ou y ≥ 1}.
O per´ıodo de f e´ 2pi.
Observando o sinal da func¸a˜o cossecante, vemos que a func¸a˜o e´ positiva
para valores da 1o e do 2o quadrantes e negativa para valores do 3o e 4o
quadrantes.
13
Variac¸a˜o da func¸a˜o cossecante
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, cossec(x) decresce de +∞
a 1.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , cossec(x) cresce de 1 a
+∞.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, cossec(x) cresce de −∞ a
−1.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , cossec(x) decresce de −1
a −∞.
Func¸a˜o secante
Func¸a˜o secante e´ a func¸a˜o f definida por f(x) = sec(x) ou f(x) = 1
cos(x)
,
para todo x ∈ IR tal que cos(x) 6= 0.
O gra´fico de f(x) = sec(x) e´ dado por:
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Observe que:
Quando x tende a valores que sec(x) na˜o existe (cos(x) = 0), o gra´fico de
f tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tracejadas
nesses valores de x sa˜o chamadas de ass´ıntotas.
O domı´nio de f e´ D(f) = {x ∈ IR/x 6= pi
2
+ kpi, com k ∈ ZZ}.
A imagem de f e´ Im(f) = {y ∈ IR/y ≤ −1 ou y ≥ 1}.
O per´ıodo de f e´ 2pi.
Observando o sinal da func¸a˜o secante, vemos que a func¸a˜o e´ positiva para
valores da 1o e do 4o quadrantes e negativa para valores do 2o e 3o quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o secante
15
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, sec(x) cresce de 1 a +∞.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , sec(x) cresce de −∞ a −1.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, sec(x) decresce de −1 a
−∞.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , sec(x) decresce de +∞ a
1.
Func¸a˜o cotangente
Func¸a˜o cotangente e´ a func¸a˜o f definida por f(x) = cotg(x) ou f(x) =
cos(x)
sen(x)
, para todo x ∈ IR tal que sen(x) 6= 0.
O gra´fico de f(x) = cotg(x) e´ dado por:
Observe que:
Quando x tende a valores que cotg(x) na˜o existe (sen(x) = 0), o gra´fico de
f tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tracejadas
nesses valores de x sa˜o chamadas de ass´ıntotas.
O domı´nio de f e´ D(f) = {x ∈ IR/x 6= kpi, com k ∈ ZZ}.
A imagem de f e´ Im(f) = IR.
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O per´ıodo de f e´ pi.
Observando o sinal da func¸a˜o cotangente, vemos que a func¸a˜o e´ positiva
para valores da 1o e do 3o quadrantes e negativa para valores do 2o e 4o
quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o cotangente
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, cotg(x) decresce de +∞ a
0.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , cotg(x) decresce de 0 a
−∞.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, cotg(x) dcresce de +∞ a
17
0.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , cotg(x) decresce de 0 a−∞.
Func¸o˜es trigonome´tricas
De modo geral as func¸o˜es do tipo trigonome´tricas sa˜o representadas da se-
guinte forma:
f(x) = a+ b× trig(cx− d),
em que a, b, c, d sa˜o constantes com b 6= 0 e c 6= 0 e trig indica uma das seis
func¸o˜es trigonome´ticas estudadas.
O per´ıodo de func¸o˜es do tipo trigonome´tricas sa˜o dados por p =
ptrig
|c| .
Exerc´ıcios Resolvidos
1. Converta de radiano para graus.
a) pi
6
b)pi
4
Resoluc¸a˜o:
a) Para fazer essa conversa˜o de medidas basta uma regra de treˆs
simples.
pi�180o
pi
6
�x
Multiplicando cruzado obtemos:
xpi = 180
opi
6
= 30pi Logo x = 30o.
b) pi�180o
pi
4
�x
Multiplicando cruzado obtemos:
xpi = 180
opi
4
= 45opi
Logo x = 45o
2. Determine os valores reais que m pode assumir
a) sen(x) = 3m− 2
b) cos(x) = 2m− 1
Resoluc¸a˜o
a) sen(x) = 3m− 2
Como −1 ≤ sen(x) ≤ 1, enta˜o −1 ≤ 3m− 2 ≤ 1
Somando 2 a todas as parcelas obtemos:
18
1 ≤ 3m ≤ 3
Multiplicando todas as parcelas por 1
3
, obtemos:
1
3
≤ m ≤ 1.
Logo, os valores de m sa˜o dados pelo conjunto {m ∈ IR/1
3
≤ m ≤
1}
b) cos(x) = 2m− 1
Como −1 ≤ cos(x) ≤ 1, enta˜o: −1 ≤ 2m− 1 ≤ 1
Somando 1 a todas as parcelas obtemos:
0 ≤ 2m ≤ 2
Multiplicando todas as parcelas por 1
2
, obtemos:
0 ≤ m ≤ 1
Logo, os valores de m sa˜o dados pelo conjunto {m ∈ IR/0 ≤ m ≤
1}.
3. Esboce o grafico de f(x) = 2 + 3cos(3x+ pi
2
)
Resoluc¸a˜o
Para esboc¸ar o gra´fico de f temos que calcular para quais valores de x
a expressa˜o 3x+ pi
2
assume os valores dos arcos nota´veis. Enta˜o temos
que resolver as seguintes equac¸o˜es:
3x+ pi
2
= 0
3x+ pi
2
= pi
2
3x+ pi
2
= pi
3x+ pi
2
= 3pi
2
3x+ pi
2
= 2pi
Resolvendo obtemos respectivamente: x = −pi
6
, x = 0, x = pi
6
, x = pi
3
e
x = pi
2
.
Calculando f(−pi
6
) = 5, f(0) = 2, f(pi
6
) = −1, f(pi
3
) = 2 e f(pi
2
) = 5.
Desta maneira podemos esboc¸ar o seguinte gra´fico:
19
4. Mostre que tg(2x) = 2tg(x)
1−tg2(x) .
Resoluc¸a˜o:
Uma, entre as va´rias formas de se demonstrar, e´ fazendo operac¸o˜es
elementares de um lado e chegar no outro, desta maneira tomemos:
tg(2x) = sen(2x)
cos(2x)
Pela relac¸a˜o 1.5 e 1.6 temos que:
sen(2x)
cos(2x)
= 2sen(x)cos(x)
cos2(x)−sen2(x)
Multiplicando os dois membros da frac¸a˜o por 1
cos2(x)
obtemos:
(2sen(x)cos(x)) 1
cos2(x)
(cos2(x)−sen2(x)) 1
cos2(x)
=
2sen(x)
cos(x)
1− sen2(x)
cos2(x)
= 2tg(x)
1−tg2(x)Desta maneira mostramos que tg(2x) = 2tg(x)
1−tg2(x) .
Exerc´ıcios
1. Converta em radianos as seguintes medidas:
a) 200o b)300o c)135o
2. Converta em graus as seguintes medidas:
a) 11pi
6
rad b) pi
18
rad c)18pi
20
rad
3. Determine os valores reais de m, sabendo que sen(x) = m−4
2
.
4. Determine n de modo que se verifique cos2(x) = 6n− 4
5. Esboce os seguintes gra´ficos:
a) f(x) = sen(3x)
b) f(x) = sen(x+ pi
3
)
20
c) f(x) = 2sen(x)
d) f(x) = 1 + sen(x)
e) f(x) = cos(x
2
)
f) f(x) = cos(x− pi
3
)
g) f(x) = 1
2
cos(x)
h) f(x) = −1 + cos(x)
6. Compare os gra´ficos constru´ıdos no exerc´ıcio anterior com o gra´fico de
f(x) = trig(x), sendo trig uma das func¸o˜es trigonome´tricas. A que
concluso˜es voceˆ chega?
7. (UFC-CE) O conjunto imagem fa func¸a˜o f(x) = 2sen(x− 2) e´:
a) [−1, 1] b)[−2, 2] c)[−4, 0] d) [−3, 3] e)[−3, 0]
8. (UFPB) Qual e´ o maior valor da constante real k, para que a equac¸a˜o
3sen(x) + 13 = k possua soluc¸a˜o?
a) 5
2
b)3 c)7
2
d)11
2
e)4
9. (UEMT) O conjunto imagem da func¸a˜o y = 2− 3sen(x
2
) e´:
a) [−1, 1] b)[−1, 3] c)[−1, 5] d)[1, 5] e)[−5, 5]
10. (FEI-SP) O per´ıodo da func¸a˜o y = 5cos(4pix+ pi
3
) e´:
a) pi
5
b)1
2
c)pi
2
d)pi
3
e)nda*
*nda = nenhuma das alternativas.
11. (UFPB) O per´ıodo da func¸a˜o f : IR�IR definida por f(x) = cos(7x)cos(3x)+
sen(7x)sen(3x) e´:
a) 2pi
7
b)2pi
3
c)pi
2
d)pi
7
e)pi
3
12. (UNESP) Observe o gra´fico.
21
Sabendo-se que ele representa uma func¸a˜o trigonome´trica, a func¸a˜o
y(x) e´
a) −2cos(3x) b)−2sen(3x) c)2cos(3x)
d) 3sen(2x) e)3cos(2x)
13. (UFRN) A figura abaixo representa o gra´fico da func¸a˜o y = asen(bx),
onde a 6= 0 e b > 0.
Para o menor valor poss´ıvel de b, os valores de a e b sa˜o, respectiva-
mente:
a) −3 e 2 b)3 e 2 c)3 e 1
2
d)−3 e 1
2
14. (FURG-RS) Seja f : IR�IR definida por f(x) = 3sen(x) o conjunto
imagem desta func¸a˜o e´
a) [−3, 3] b)[1
3
, 3] c)]−1, 1[ d)[1,+∞[ e)[−∞, 1
3
]
15. (PUC-RS) Se A = 2sen(x)cox(x), enta˜o o maior valor que A pode assumir
e´:
a)
√
2
2
b)
√
2 c)1 d)2 e)4
16. Calcule o per´ıodo e o conjunto imagem de f(x) = (sen(3x)+cos(3x))2.
22
17. (FUVEST) O menor valor de 1
3−cos(x) , com x real, e´
a) 1
6
b)1
4
c)1
2
d)1 e)3
18. (FGV-SP) Considere a func¸a˜o f(x) = 2 − 3cos4(x)
4
. Os valores ma´ximo
e mı´nimo de f(x) sa˜o , respectivamente:
a) 1 e −1 b)1 e 0 c)2 e −3
4
d)2 e 0 e)2 e 5
4
19. Qual e´ a imagem de f(x) = 2sen(x)− 3?
20. (UFRN) Sejam f(x) = 4cos(2x) e g(x) = 2cos(0, 25x). Se Pf e´ o
per´ıodo de f e Pg e´ o per´ıodo de g, enta˜o:
a) Pg = Pf b)Pg = 0, 5Pf c)Pg = 4Pf
d) Pg = 2Pf e)Pg = 8Pf
21. (Fuvest) A figura abaixo mostra parte do gra´fico da func¸a˜o
a) sen(x) b)2sen(x
2
) c)sen(x
2
) d)2sen(x) e)sen(2x)
22. (UFRGS) O gra´fico abaixo representa a func¸a˜o real f .
Esta func¸a˜o e´ dada por:
23
a) f(x) = 1− cos(x) b)f(x) = 1 + cos(x)
c) f(x) = cos(x+ 1) d)cos(x− 1)
e) f(x) = cos(x+ pi)
23. Qual e´ o maior e o menor valor que f(x) = 7 + 5sen(6x+ 2) assume?
24. (UNESP) Do solo, voceˆ observa um amigo numa roda gigante. A altura
h em metros de seu amigo em relac¸a˜o ao solo e´ dada pela expressa˜o
h(t) = 11, 5 + 10sen[ pi
12
(t− 26)], onde o tempo t e´ dado em segundos e
a medida angular em radianos.
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda comec¸ou
a girar (t = 0).
b) Determine as alturas mı´nima e ma´xima que seu amigo alcanc¸a e
o tempo gasto em uma volta completa (per´ıodo).
25. (FGV-SP) Em uma cidade frequentada por viajantes em fe´rias, estima-
se que o nu´emro de pessoas empregadas depende da e´poca do ano, e
pode ser aproximada pela func¸a˜o:
N = 10 + sen(2pix)
Em que N e´ o nu´mero de pessoas empregadas (em milho˜es) e x = 0
representa o in´ıcio do ano de 2006 e assim por diante.
O nu´mero de empregados atinge o menor valor:
a) no in´ıcio do 1o trimestre de cada ano;
b) no in´ıcio do 2o trimestre de cada ano;
c) no in´ıcio do 3o trimestre de cada ano;
d) no in´ıcio e no meio de cada ano;
e) no in´ıcio do 4o trimestre de cada ano;
26. (UNESP) Uma equipe de agroˆnomos coletou dados da temperatura (em
oC) do solo em uma determinada regia˜o, durante treˆs dias, a intervalos
de 1 hora. A medic¸a˜o da temperatura comec¸ou a ser feita a`s 3 horas
da manha˜ do primeiro dia (t = 0) e terminou 72 horas depois (t = 72).
Os dados puderam ser aproximados pela func¸a˜o
H(t) = 15 + 5sen[
pi
12
t+
3pi
2
]
onde t indica o tempo (em horas) decorrido apo´s o in´ıcio da observac¸a˜o
e H(t) a temperatura (em oC) no instante t.
24
a) Resolva a equac¸a˜o sen[ pi
12
t+ 3pi
2
] = 1 para t ∈ [0, 24].
b) Determine a temperatura ma´xima atingida e o hora´rio em que
essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observac¸a˜o.
27. Calcule cos(θ) se sen(θ) = 1
4
e tg(θ) < 0.
28. Calcule tg(θ) se sen(θ) = −2
5
e cos(θ) > 0.
29. (Ibmec-SP) se θ = pi
3
, enta˜o
1−sen2θ
tg2θ+1
− 1−cos2θ
cotg2θ+1
cos2θ − sen2θ
e´ igual a:
a) 0 b)
√
3
8
c)
√
3
8
d)
√
3
2
e)1
30. Mostre que:
a) sec2(x) = 1 + tg2(x)
b) cossec2(x) = 1 + cotg2(x)
c) tg(x+ y) = tg(x)+tg(y)
1−tg(x)tg(y)
d) tg(x− y) = tg(x)−tg(y)
1+tg(x)tg(y)
Respostas
1. a) 10pi
9
rad b)5pi
3
rad c)3pi
4
rad
2. a) 330o b)10o c)162o
3. S= {m ∈ IR/2 ≤ m ≤ 6}
4. S= {n ∈ IR/2
3
≤ n ≤ 5}
25
5.
a) b)
c) d)
e)
f) g)
h)
6. Se considerarmos a func¸a˜o g(x) = a + b × trig(cx − d) com b 6= 0,
c 6= 0 e trig sendo uma das func¸o˜es trigonome´tricas podemos concluir
que quando a assume valores o gra´fico padra˜o e´ deslocado na vertical
(subindo a unidades se a > 0, e descendo |a| unidades se a < 0). A
constante b comprime ou dilata o grafico padra˜o verticalmente (Se |b| >
1 o gra´fico dilata, se 0 < |b| < 1 o gra´fico comprime). A constante c
altera o per´ıodo padra˜o da func¸a˜o trigonome´trica, ou seja comprime ou
dilata o gra´fico padra˜o na horizontal (se |c|¿1 o gra´fico sera´ comprimido
horizontalmente em c unidades, e se 0 < |c| < 1 o gra´fico sera´ dilatado
horizontalmente em |c| unidades). A constante d translada o gra´fico
26
em padra˜o em |d
c
| unidades horizontais (se d > 0 o grafico e´ deslocado
para a direita, e se d < 0 o gra´fico e´ deslocado para a esquerda).
7. C
8. E
9. C
10. B
11. C
12. B
13. B
14. B
15. B
16. p = pi
3
e Im = [0, 2]
17. B
18. E
19. [−5,−1]
20. E
21. B
22. B
23. 12 e 2
24. a) 6, 5 metros
b) hmax = 21, 5 metros, hmin = 1, 5 metros, p = 24 segundos
25. E
26. a) 12
b) 20oC e 15 horas
27. cos(θ) = −
√
15
4
28. cos(θ) =
√
21
5
29. E
27