A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
27 pág.
exercicios_trigonometria

Pré-visualização | Página 2 de 3

transladada pi
2
unidades para a esquerda. Isso faz
com que a maioria dos aspectos relevantes da func¸a˜o cosseno seja a mesma
da func¸a˜o seno.
O domı´nio de f e´: D(f) = IR.
A imagem de f e´: Im = [−1; 1].
O per´ıodo de f e´: p = 2pi.
A func¸a˜o cosseno na˜o e´ injetiva nem sobrejetiva.
A func¸a˜o cosseno, diferente da func¸a˜o seno, e´ par pois cos(x) = cos(−x) para
todo x ∈ D(f).
Ale´m disso observe que o domı´nio, a imagem e o per´ıodo de f e´ o mesmo da
func¸a˜o g(x) = sen(x).
Observando o sinal da func¸a˜o f(x) = cos(x), vemos que a func¸a˜o cosseno
e´ positiva para valores do 1o e 4o quadrantes e negativa para valores do 2o e
3o quadrantes.
10
Variac¸a˜o da func¸a˜o cosseno
Observe que:
No primeiro quadrante, quando x cresce de 0 a pi
2
, cos(x) decresce de 1 a 0.
No segundo quadrante, quando x cresde de pi
2
a pi, cos(x) decresce de 0 a −1.
No terceiro quadrante, quando x cresde de pi a 3pi
2
, cos(x) cresce de −1 a 0.
No quarto quadrante, quando x cresce de 3pi
2
a 2pi, cos(x) crese de 0 a 1.
Func¸a˜o tangente
Definimos a func¸a˜o tangente como sendo f :D�IR tal que f(x) = tg(x) em
que D = {x ∈ IR/x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ ZZ }, lembrando que x, medida de aˆngulo
(ou arco), e´ expresso em radianos.
O gra´fico da func¸a˜o tangente f(x) = tg(x) e´ a curva chamada tangen-
toide, que tem o seguinte aspecto:
Quando x tende a valores em que tg(x) na˜o existe (pi
2
+ kpi, k ∈ ZZ ), o gra´fico
da tangente tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tra-
cejadas nesses valores sa˜o chamadas de ass´ıntotas, ou seja, retas cujo ponto
de intersec¸a˜o com o gra´fico tende ao infinito.
Observe que:
D(f) = {x ∈ IR/x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ ZZ } e Im(f) = IR.
A func¸a˜o tangente na˜o e´ injetiva, mas e´ sobrejetiva.
11
A func¸a˜o tangente e´ func¸a˜o impar, isto e´, tg(x) = −tg(−x) para todo
x ∈ D(f).
Afunc¸a˜o tangente e´ perio´dica de per´ıodo p = pi.
Observando o sinal da func¸a˜o tangente, vemos que a func¸a˜o e´ positiva
para valores da 1o e do 3o quadrantes e negativa para valores do 2o e 4o
quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o tangente
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, tg(x) cresce de 0 a +∞.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , tg(x) cresce de −∞ a 0.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, tg(x) cresce de 0 a +∞.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , tg(x) cresce de −∞ a 0.
Func¸a˜o cossecante
Func¸a˜o cossecante e´ a func¸a˜o f definida por f(x) = cossec(x) ou f(x) =
12
1
sen(x)
, para todo x ∈ IR tal que sen(x) 6= 0.
O gra´fico de f(x) = cossec(x) e´ representado por:
Observe que:
Quando x tende a valores que cossec(x) na˜o existe (sen(x) = 0), o gra´fico
de f tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tracejadas
nesses valores de x sa˜o chamadas de ass´ıntotas.
O domı´nio de f e´ D(f) = {x ∈ IR/x 6= kpi, com k ∈ ZZ}.
A imagem de f e´ Im(f) = {y ∈ IR/y ≤ −1 ou y ≥ 1}.
O per´ıodo de f e´ 2pi.
Observando o sinal da func¸a˜o cossecante, vemos que a func¸a˜o e´ positiva
para valores da 1o e do 2o quadrantes e negativa para valores do 3o e 4o
quadrantes.
13
Variac¸a˜o da func¸a˜o cossecante
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, cossec(x) decresce de +∞
a 1.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , cossec(x) cresce de 1 a
+∞.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, cossec(x) cresce de −∞ a
−1.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , cossec(x) decresce de −1
a −∞.
Func¸a˜o secante
Func¸a˜o secante e´ a func¸a˜o f definida por f(x) = sec(x) ou f(x) = 1
cos(x)
,
para todo x ∈ IR tal que cos(x) 6= 0.
O gra´fico de f(x) = sec(x) e´ dado por:
14
Observe que:
Quando x tende a valores que sec(x) na˜o existe (cos(x) = 0), o gra´fico de
f tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tracejadas
nesses valores de x sa˜o chamadas de ass´ıntotas.
O domı´nio de f e´ D(f) = {x ∈ IR/x 6= pi
2
+ kpi, com k ∈ ZZ}.
A imagem de f e´ Im(f) = {y ∈ IR/y ≤ −1 ou y ≥ 1}.
O per´ıodo de f e´ 2pi.
Observando o sinal da func¸a˜o secante, vemos que a func¸a˜o e´ positiva para
valores da 1o e do 4o quadrantes e negativa para valores do 2o e 3o quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o secante
15
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, sec(x) cresce de 1 a +∞.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , sec(x) cresce de −∞ a −1.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, sec(x) decresce de −1 a
−∞.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , sec(x) decresce de +∞ a
1.
Func¸a˜o cotangente
Func¸a˜o cotangente e´ a func¸a˜o f definida por f(x) = cotg(x) ou f(x) =
cos(x)
sen(x)
, para todo x ∈ IR tal que sen(x) 6= 0.
O gra´fico de f(x) = cotg(x) e´ dado por:
Observe que:
Quando x tende a valores que cotg(x) na˜o existe (sen(x) = 0), o gra´fico de
f tende ao infinito (positivo ou negativo). Essas retas verticais tracejadas
nesses valores de x sa˜o chamadas de ass´ıntotas.
O domı´nio de f e´ D(f) = {x ∈ IR/x 6= kpi, com k ∈ ZZ}.
A imagem de f e´ Im(f) = IR.
16
O per´ıodo de f e´ pi.
Observando o sinal da func¸a˜o cotangente, vemos que a func¸a˜o e´ positiva
para valores da 1o e do 3o quadrantes e negativa para valores do 2o e 4o
quadrantes.
Variac¸a˜o da func¸a˜o cotangente
Observe que:
No primeiro quadrante quando x cresce de 0 a pi
2
, cotg(x) decresce de +∞ a
0.
No segundo quadrante quando x cresce de pi
2
a pi , cotg(x) decresce de 0 a
−∞.
No terceiro quadrante quando x cresce de pi a 3pi
2
, cotg(x) dcresce de +∞ a
17
0.
No quarto quadrante quando x cresce de 3pi
2
a 2pi , cotg(x) decresce de 0 a−∞.
Func¸o˜es trigonome´tricas
De modo geral as func¸o˜es do tipo trigonome´tricas sa˜o representadas da se-
guinte forma:
f(x) = a+ b× trig(cx− d),
em que a, b, c, d sa˜o constantes com b 6= 0 e c 6= 0 e trig indica uma das seis
func¸o˜es trigonome´ticas estudadas.
O per´ıodo de func¸o˜es do tipo trigonome´tricas sa˜o dados por p =
ptrig
|c| .
Exerc´ıcios Resolvidos
1. Converta de radiano para graus.
a) pi
6
b)pi
4
Resoluc¸a˜o:
a) Para fazer essa conversa˜o de medidas basta uma regra de treˆs
simples.
pi�180o
pi
6
�x
Multiplicando cruzado obtemos:
xpi = 180
opi
6
= 30pi Logo x = 30o.
b) pi�180o
pi
4
�x
Multiplicando cruzado obtemos:
xpi = 180
opi
4
= 45opi
Logo x = 45o
2. Determine os valores reais que m pode assumir
a) sen(x) = 3m− 2
b) cos(x) = 2m− 1
Resoluc¸a˜o
a) sen(x) = 3m− 2
Como −1 ≤ sen(x) ≤ 1, enta˜o −1 ≤ 3m− 2 ≤ 1
Somando 2 a todas as parcelas obtemos:
18
1 ≤ 3m ≤ 3
Multiplicando todas as parcelas por 1
3
, obtemos:
1
3
≤ m ≤ 1.
Logo, os valores de m sa˜o dados pelo conjunto {m ∈ IR/1
3
≤ m ≤
1}
b) cos(x) = 2m− 1
Como −1 ≤ cos(x) ≤ 1, enta˜o: −1 ≤ 2m− 1 ≤ 1
Somando 1 a todas as parcelas obtemos:
0 ≤ 2m ≤ 2
Multiplicando todas as parcelas por 1
2
, obtemos:
0 ≤ m ≤ 1
Logo, os valores de m sa˜o dados pelo conjunto {m ∈ IR/0 ≤ m ≤
1}.
3. Esboce o grafico de f(x) = 2 + 3cos(3x+ pi
2
)
Resoluc¸a˜o
Para esboc¸ar o gra´fico de f temos que calcular para quais valores de x
a expressa˜o 3x+ pi
2
assume os valores dos arcos nota´veis. Enta˜o temos
que resolver as seguintes equac¸o˜es:
3x+ pi
2
= 0
3x+ pi
2
= pi
2
3x+ pi
2
= pi
3x+ pi
2
= 3pi
2
3x+ pi
2
= 2pi
Resolvendo obtemos respectivamente: x = −pi
6
, x = 0, x = pi
6
, x = pi
3
e
x = pi
2
.
Calculando f(−pi
6
) = 5, f(0) = 2, f(pi
6
) = −1, f(pi
3
) = 2 e f(pi
2
) = 5.
Desta maneira podemos esboc¸ar o seguinte gra´fico:
19
4. Mostre que tg(2x) = 2tg(x)
1−tg2(x) .
Resoluc¸a˜o:
Uma, entre as va´rias formas de se demonstrar, e´ fazendo operac¸o˜es
elementares de um lado e chegar no outro, desta maneira tomemos:
tg(2x) = sen(2x)
cos(2x)
Pela relac¸a˜o 1.5 e 1.6 temos que:
sen(2x)
cos(2x)
= 2sen(x)cos(x)
cos2(x)−sen2(x)
Multiplicando os dois membros da frac¸a˜o por 1
cos2(x)
obtemos:
(2sen(x)cos(x)) 1
cos2(x)
(cos2(x)−sen2(x)) 1
cos2(x)
=
2sen(x)
cos(x)
1− sen2(x)
cos2(x)
= 2tg(x)
1−tg2(x)