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exercicios_trigonometria

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Desta maneira mostramos que tg(2x) = 2tg(x)
1−tg2(x) .
Exerc´ıcios
1. Converta em radianos as seguintes medidas:
a) 200o b)300o c)135o
2. Converta em graus as seguintes medidas:
a) 11pi
6
rad b) pi
18
rad c)18pi
20
rad
3. Determine os valores reais de m, sabendo que sen(x) = m−4
2
.
4. Determine n de modo que se verifique cos2(x) = 6n− 4
5. Esboce os seguintes gra´ficos:
a) f(x) = sen(3x)
b) f(x) = sen(x+ pi
3
)
20
c) f(x) = 2sen(x)
d) f(x) = 1 + sen(x)
e) f(x) = cos(x
2
)
f) f(x) = cos(x− pi
3
)
g) f(x) = 1
2
cos(x)
h) f(x) = −1 + cos(x)
6. Compare os gra´ficos constru´ıdos no exerc´ıcio anterior com o gra´fico de
f(x) = trig(x), sendo trig uma das func¸o˜es trigonome´tricas. A que
concluso˜es voceˆ chega?
7. (UFC-CE) O conjunto imagem fa func¸a˜o f(x) = 2sen(x− 2) e´:
a) [−1, 1] b)[−2, 2] c)[−4, 0] d) [−3, 3] e)[−3, 0]
8. (UFPB) Qual e´ o maior valor da constante real k, para que a equac¸a˜o
3sen(x) + 13 = k possua soluc¸a˜o?
a) 5
2
b)3 c)7
2
d)11
2
e)4
9. (UEMT) O conjunto imagem da func¸a˜o y = 2− 3sen(x
2
) e´:
a) [−1, 1] b)[−1, 3] c)[−1, 5] d)[1, 5] e)[−5, 5]
10. (FEI-SP) O per´ıodo da func¸a˜o y = 5cos(4pix+ pi
3
) e´:
a) pi
5
b)1
2
c)pi
2
d)pi
3
e)nda*
*nda = nenhuma das alternativas.
11. (UFPB) O per´ıodo da func¸a˜o f : IR�IR definida por f(x) = cos(7x)cos(3x)+
sen(7x)sen(3x) e´:
a) 2pi
7
b)2pi
3
c)pi
2
d)pi
7
e)pi
3
12. (UNESP) Observe o gra´fico.
21
Sabendo-se que ele representa uma func¸a˜o trigonome´trica, a func¸a˜o
y(x) e´
a) −2cos(3x) b)−2sen(3x) c)2cos(3x)
d) 3sen(2x) e)3cos(2x)
13. (UFRN) A figura abaixo representa o gra´fico da func¸a˜o y = asen(bx),
onde a 6= 0 e b > 0.
Para o menor valor poss´ıvel de b, os valores de a e b sa˜o, respectiva-
mente:
a) −3 e 2 b)3 e 2 c)3 e 1
2
d)−3 e 1
2
14. (FURG-RS) Seja f : IR�IR definida por f(x) = 3sen(x) o conjunto
imagem desta func¸a˜o e´
a) [−3, 3] b)[1
3
, 3] c)]−1, 1[ d)[1,+∞[ e)[−∞, 1
3
]
15. (PUC-RS) Se A = 2sen(x)cox(x), enta˜o o maior valor que A pode assumir
e´:
a)
√
2
2
b)
√
2 c)1 d)2 e)4
16. Calcule o per´ıodo e o conjunto imagem de f(x) = (sen(3x)+cos(3x))2.
22
17. (FUVEST) O menor valor de 1
3−cos(x) , com x real, e´
a) 1
6
b)1
4
c)1
2
d)1 e)3
18. (FGV-SP) Considere a func¸a˜o f(x) = 2 − 3cos4(x)
4
. Os valores ma´ximo
e mı´nimo de f(x) sa˜o , respectivamente:
a) 1 e −1 b)1 e 0 c)2 e −3
4
d)2 e 0 e)2 e 5
4
19. Qual e´ a imagem de f(x) = 2sen(x)− 3?
20. (UFRN) Sejam f(x) = 4cos(2x) e g(x) = 2cos(0, 25x). Se Pf e´ o
per´ıodo de f e Pg e´ o per´ıodo de g, enta˜o:
a) Pg = Pf b)Pg = 0, 5Pf c)Pg = 4Pf
d) Pg = 2Pf e)Pg = 8Pf
21. (Fuvest) A figura abaixo mostra parte do gra´fico da func¸a˜o
a) sen(x) b)2sen(x
2
) c)sen(x
2
) d)2sen(x) e)sen(2x)
22. (UFRGS) O gra´fico abaixo representa a func¸a˜o real f .
Esta func¸a˜o e´ dada por:
23
a) f(x) = 1− cos(x) b)f(x) = 1 + cos(x)
c) f(x) = cos(x+ 1) d)cos(x− 1)
e) f(x) = cos(x+ pi)
23. Qual e´ o maior e o menor valor que f(x) = 7 + 5sen(6x+ 2) assume?
24. (UNESP) Do solo, voceˆ observa um amigo numa roda gigante. A altura
h em metros de seu amigo em relac¸a˜o ao solo e´ dada pela expressa˜o
h(t) = 11, 5 + 10sen[ pi
12
(t− 26)], onde o tempo t e´ dado em segundos e
a medida angular em radianos.
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda comec¸ou
a girar (t = 0).
b) Determine as alturas mı´nima e ma´xima que seu amigo alcanc¸a e
o tempo gasto em uma volta completa (per´ıodo).
25. (FGV-SP) Em uma cidade frequentada por viajantes em fe´rias, estima-
se que o nu´emro de pessoas empregadas depende da e´poca do ano, e
pode ser aproximada pela func¸a˜o:
N = 10 + sen(2pix)
Em que N e´ o nu´mero de pessoas empregadas (em milho˜es) e x = 0
representa o in´ıcio do ano de 2006 e assim por diante.
O nu´mero de empregados atinge o menor valor:
a) no in´ıcio do 1o trimestre de cada ano;
b) no in´ıcio do 2o trimestre de cada ano;
c) no in´ıcio do 3o trimestre de cada ano;
d) no in´ıcio e no meio de cada ano;
e) no in´ıcio do 4o trimestre de cada ano;
26. (UNESP) Uma equipe de agroˆnomos coletou dados da temperatura (em
oC) do solo em uma determinada regia˜o, durante treˆs dias, a intervalos
de 1 hora. A medic¸a˜o da temperatura comec¸ou a ser feita a`s 3 horas
da manha˜ do primeiro dia (t = 0) e terminou 72 horas depois (t = 72).
Os dados puderam ser aproximados pela func¸a˜o
H(t) = 15 + 5sen[
pi
12
t+
3pi
2
]
onde t indica o tempo (em horas) decorrido apo´s o in´ıcio da observac¸a˜o
e H(t) a temperatura (em oC) no instante t.
24
a) Resolva a equac¸a˜o sen[ pi
12
t+ 3pi
2
] = 1 para t ∈ [0, 24].
b) Determine a temperatura ma´xima atingida e o hora´rio em que
essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observac¸a˜o.
27. Calcule cos(θ) se sen(θ) = 1
4
e tg(θ) < 0.
28. Calcule tg(θ) se sen(θ) = −2
5
e cos(θ) > 0.
29. (Ibmec-SP) se θ = pi
3
, enta˜o
1−sen2θ
tg2θ+1
− 1−cos2θ
cotg2θ+1
cos2θ − sen2θ
e´ igual a:
a) 0 b)
√
3
8
c)
√
3
8
d)
√
3
2
e)1
30. Mostre que:
a) sec2(x) = 1 + tg2(x)
b) cossec2(x) = 1 + cotg2(x)
c) tg(x+ y) = tg(x)+tg(y)
1−tg(x)tg(y)
d) tg(x− y) = tg(x)−tg(y)
1+tg(x)tg(y)
Respostas
1. a) 10pi
9
rad b)5pi
3
rad c)3pi
4
rad
2. a) 330o b)10o c)162o
3. S= {m ∈ IR/2 ≤ m ≤ 6}
4. S= {n ∈ IR/2
3
≤ n ≤ 5}
25
5.
a) b)
c) d)
e)
f) g)
h)
6. Se considerarmos a func¸a˜o g(x) = a + b × trig(cx − d) com b 6= 0,
c 6= 0 e trig sendo uma das func¸o˜es trigonome´tricas podemos concluir
que quando a assume valores o gra´fico padra˜o e´ deslocado na vertical
(subindo a unidades se a > 0, e descendo |a| unidades se a < 0). A
constante b comprime ou dilata o grafico padra˜o verticalmente (Se |b| >
1 o gra´fico dilata, se 0 < |b| < 1 o gra´fico comprime). A constante c
altera o per´ıodo padra˜o da func¸a˜o trigonome´trica, ou seja comprime ou
dilata o gra´fico padra˜o na horizontal (se |c|¿1 o gra´fico sera´ comprimido
horizontalmente em c unidades, e se 0 < |c| < 1 o gra´fico sera´ dilatado
horizontalmente em |c| unidades). A constante d translada o gra´fico
26
em padra˜o em |d
c
| unidades horizontais (se d > 0 o grafico e´ deslocado
para a direita, e se d < 0 o gra´fico e´ deslocado para a esquerda).
7. C
8. E
9. C
10. B
11. C
12. B
13. B
14. B
15. B
16. p = pi
3
e Im = [0, 2]
17. B
18. E
19. [−5,−1]
20. E
21. B
22. B
23. 12 e 2
24. a) 6, 5 metros
b) hmax = 21, 5 metros, hmin = 1, 5 metros, p = 24 segundos
25. E
26. a) 12
b) 20oC e 15 horas
27. cos(θ) = −
√
15
4
28. cos(θ) =
√
21
5
29. E
27