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GEX101 – MATEMÁTICA FUNDAMENTAL 
Turmas 02A, 07A, 09A, 10A 
Aulas 23 e 24 
 01 e 02 e 05 de abril de 2013 
 
Professora Isabel Amorim 
Capítulo 6 e 7 do livro: 
Connallly, Hughes-Hallett, Gleason, et al.; Funções para modelar variações: uma preparação para o 
cálculo. 3ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (continuação) 
 
1 Funções trigonométricas para triângulos retângulos: 
 
Um ângulo θ determina um ponto P sobre uma circunferência unitária, cujo centro está na origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ângulo θ também determina o triângulo retângulo com hipotenusa 1. 
Como a distância do ponto P, com coordenadas até a origem é 1, temos que : 
 
 
 
Tal que elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos a equação da circunferência: 
 
 
 
Assim, podemos utilizar o ângulo θ para localizar pontos sobre a circunferência unitária. 
Por exemplo, 
o ângulo θ = 90º especifica o ponto P=(0,1) sobre a circunferência unitária. 
o ângulo θ = 180º especifica o ponto P=(-1,0) sobre a circunferência unitária. 
 
Definição de seno e cosseno de um ângulo: 
O cosseno de um ângulo θ, ( ) é a coordenada x do ponto P especificado pelo ângulo θ sobre a 
circunferência unitária. 
O seno de um ângulo θ, ( ) é a coordenada y do ponto P especificado pelo ângulo θ sobre a 
circunferência unitária. 
 
Suponha que P=(x, y) seja o ponto, sobre a circunferência unitária, especificado pelo ângulo 
Então definimos as funções O cosseno de θ, ( ) e seno θ, ( ) pelas fórmulas: 
 
 e . 
 
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O seno, cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de um ângulo agudo positivo θ 
podem ser definidos como razões entre os lados de um triângulo retângulo. 
O triângulo retângulo é um polígono de três lados que possui um ângulo reto (90 ou rad). 
Por definição, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois lados de catetos. 
 
Seja θ um ângulo agudo de um triângulo retângulo. O lado do triângulo diretamente em frente ao ângulo θ 
é denominado cateto oposto, e o outro lado, que constitui um lado do ângulo θ, é denominado cateto 
adjacente. Usando esta terminologia, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dizemos que sen, cos, tg cossec, sec, cotg são funções trigonométricas. 
No caso especial em que as circunferência tem raio 1 ( ), temos que e . 
Observe que o lado final do ângulo intersecta o círculo unitário no ponto P =( . 
Então podemos expressar as funções trigonométricas de por: 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1 Valores das funções trigonométricas: 
Em princípio, podemos determinar os valores das funções trigonométricas para qualquer ângulo θ. 
Entretanto não existem fórmulas algébricas para calcular esses valores. Na prática, utilizamos 
calculadoras, computadores ou contamos com tabelas trigonométricas que nos fornecem valores para os 
principais ângulos 
 
Procedimento para cálculo de funções trigonométricas de ângulos θ comuns: 
 Construa o ângulo θ na posição padrão de um sistema de coordenadas 
 Encontre as coordenadas da intersecção do lado final do ângulo com o círculo unitário; as 
coordenadas são respectivamente, os valores de θ e θ. 
 Use as fórmulas definidas anteriormente para encontrar os valores das funções trigonométricas a 
partir dos valores de e : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: (pg A5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule as funções trigonométricas para o ângulo θ=150º. 
Solução: 
 Construa um círculo unitário e coloque ângulo θ = 150º na posição padrão de um sistema de 
coordenadas 
 Observe que o ângulo AOP mede 30º e o triângulo OAP tem ângulos 30º, 60º e 90º. 
Da geometria, sabe-se que o lado menor deste triângulo tem comprimento ½ (metade da 
hipotenusa) e lado maior, pelo Teorema de Pitágoras, tem comprimento . 
 
 Assim, as coordenadas de P são: 
 
 
 
 
 
 que são respectivamente, os valores de θ e θ. 
 Usando as fórmulas definidas anteriormente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
Calcule as funções trigonométricas de . 
Solução: Como , esse problema é equivalente ao do exemplo 2. Assim temos que: 
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Ângulos especiais: 
Por exemplo, sabemos da Geometria: 
 que dois lados de um triângulo retângulo de ângulos 45º, 45º e 90º são iguais; 
 que a hipotenusa de um triângulo de ângulos 30º, 60º e 90º é duas vezes o lado menor , que o lado 
oposto ao ângulo de 30º. 
A partir destes fatos e do teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte tabela: 
 
Tabela 2: valores de , , , , e para os ângulos 30º, 45º e 60º. 
 / 
 
 
 
 
 
 
 
2. Identidades trigonométricas: 
Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas que é verdadeira para 
todos os ângulos para os quais ambos os lados da equação estão definidos. 
 
Uma das identidades trigonométricas mais importantes pode ser deduzida aplicando o teorema de 
Pitágoras no triângulo retângulo da figura 1: 
 
 
Dividindo ambos os lados por e utilizando as definições e obtemos: 
 
 
 
As seguintes identidades podem ser obtidas a partir da anterior, dividindo ambos os membros por e 
 respectivamente, e então aplicando as fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtemos: 
 
 
 
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Se for um ponto no círculo unitário, também estarão nele os pontos , e . 
Este quatro pontos formam os vértices de um retângulo com os lados paralelos aos eixos coordenados. 
As coordenadas x e y de cada vértice representam o seno e cosseno de ângulo na posição padrão. 
Assim obtemos as seguintes identidades para seno, cosseno e tangente: 
 
 
 
 
 
Dois ângulos na posição padrão que tenham o mesmo lado final, devem ter os mesmos valores para suas 
funções trigonométricas, pois seus lados finais intersectam o círculo unitário no mesmo ponto . 
 
Em particular, dois ângulos cujas medidas em radianos diferem por um múltiplo de 2π, têm o mesmo lado 
final, e portanto, as suas funções trigonométricas têm os mesmos valores. Isso resulta nas seguintes 
identidades: 
 
 
 
De modo geral: 
 
 
 
Já vimos que e substituindo por θ obtemos . Essas duas 
identidades estabelecem que somar ou subtrair de um ângulo, não afeta o valor de sua tangente. 
Isso é verdadeiro para todomúltiplo de Assim: 
 
 
2.1A lei dos cossenos: 
Teorema: 
Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b, c e se for o ângulo entre os lados com 
comprimento a e b, então: