Formulario Eletricidade

Prévia do material em texto

FORMULÁRIO DE ELETRICIDADE 
Grandezas Elétricas: 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
𝑣 =
𝑑𝑤
𝑑𝑞
 
𝑝 =
𝑑𝑤
𝑑𝑡
 
Lei de Ohm: 
𝑉 = 𝑅. 𝐼 
𝐼 =
𝑉
𝑅
 
𝑅 =
𝑉
𝐼
 
Potência: 
𝑃 = 𝑉. 𝐼 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
 
𝑃 = 𝑅. 𝐼2 
Resistores em série: 
 
 
 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 +⋯+ 𝑅𝑛 
Resistores em paralelo: 
 
 
 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+⋯+
1
𝑅𝑛
 
 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅1. 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 
 
Divisor de tensão: 
 
 
𝑣𝑂 =
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
∙ 𝑉𝑓 
 
Ou 
 
𝑣𝑂 =
𝑅2
𝑅𝑒𝑞
∙ 𝑉𝑓 
 
Divisor de Corrente: 
 
 
 
𝑖2 =
𝑅1
𝑅1 + 𝑅2
. 𝑖 
 
Ou 
 
𝑖2 =
𝑅𝑒𝑞
𝑅2
 . 𝑖 
 
 
FORMULÁRIO DE ELETRICIDADE 
 
Transformação Δ-Y 
 
𝑅𝐴 =
𝑅1𝑅2
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
 
 
𝑅𝐵 =
𝑅1𝑅3
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
 
 
𝑅𝐶 =
𝑅2𝑅3
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
 
Transformação Y-Δ 
 
𝑅1 =
𝑅𝐴𝑅𝐵 + 𝑅𝐴𝑅𝐶 + 𝑅𝐵𝑅𝐶
𝑅𝐶
 
 
𝑅2 =
𝑅𝐴𝑅𝐵 + 𝑅𝐴𝑅𝐶 + 𝑅𝐵𝑅𝐶
𝑅𝐵
 
 
𝑅3 =
𝑅𝐴𝑅𝐵 + 𝑅𝐴𝑅𝐶 + 𝑅𝐵𝑅𝐶
𝑅𝐴
 
Capacitores: 
𝑞 = 𝐶. 𝑉 
𝑖𝑐 = 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
𝑣𝑐 =
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡
 𝑡
𝑡0 
+ 𝑣(𝑡0) 
𝜔(𝑡) =
1
2
𝐶. 𝑣(𝑡)
2 
 
 
Indutores 
𝐿 = 𝜇.
𝑁2. 𝐴
𝑙
 
𝑣𝐿 = 𝐿.
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
 
𝑖𝐿 =
1
𝐿
∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
 𝑡
𝑡0 
+ 𝑖(𝑡0) 
𝜔(𝑡) =
1
2
𝐿. 𝑖(𝑡)
2 
 
Associação de capacitores em série: 
 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+⋯+
1
𝐶𝑛
 
 
Associação de capacitores em paralelo: 
 
 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑛 
Associação de indutores em série: 
 
𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 +⋯+ 𝐿𝑛 
Associação de indutores em paralelo: 
 
1
𝐿𝑒𝑞
=
1
𝐿1
+
1
𝐿2
+⋯+
1
𝐿𝑛
 
 
 
 
FORMULÁRIO DE ELETRICIDADE 
 
Circuito RC – Resposta natural: 
 
𝑣(𝑡) = 𝑉0 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
 
𝜏 = 𝑅𝐶 
 
Circuito RC - Resposta forçada: 
*Capacitor inicialmente descarregado 
 
 
𝑣(𝑡) = {
𝑉0
𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆)𝑒
−𝑡 𝜏⁄
 , ∀ 𝑡 < 0
, ∀ 𝑡 > 0
 
 
Equação geral: 
𝑣𝐶 (𝑡) = 𝑣𝐶 (∞) + [𝑣𝐶 (0) − 𝑣𝐶 (∞)] 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
 
 
Circuito RL – Resposta natural: 
 
𝑖(𝑡) = 𝑖0 𝑒−𝑡𝑅 𝐿⁄ 
𝜏 =
𝐿
𝑅
 
 
Circuito RL – Resposta forçada 
 
 
𝑖𝐿(𝑡) = {
𝑖0
𝑉𝑆
𝑅
+ (𝑖0 −
𝑉𝑆
𝑅
)𝑒−𝑡 𝜏⁄
 , ∀ 𝑡 < 0
, ∀ 𝑡 > 0
 
Equação geral: 
𝒊𝑳 (𝒕) = 𝒊𝑳 (∞) + [𝒊𝑳 (𝟎) − 𝒊𝑳 (∞)] 𝒆
−𝒕 𝝉⁄ 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO DE ELETRICIDADE 
Circuito RLC série – Resposta natural: 
 
 
Condições iniciais: 
 
{
𝑖(0) = 𝑖0
𝑣(0) =
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝑣0
 
𝑑2𝑖
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑖 = 0 
 
𝑆2 +
𝑅
𝐿
𝑆 +
1
𝐿𝐶
= 0 
 
𝑆1 = −𝛼 + √𝛼
2 −𝜔0
2 
 
𝑆2 = −𝛼 − √𝛼
2 −𝜔0
2 
𝛼 =
R
2𝐿
 
 
𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 
Superamortecido (𝛼 > 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2 𝑒
𝑆2𝑡 
Criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 
 
Subamortecido (𝛼 < 𝜔0) 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
 
 
 
 𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 
 
𝑖(𝑡) = (𝐴1. 𝑒
𝑗𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2. 𝑒
−𝑗𝜔𝑑𝑡). 𝑒−𝛼𝑡 
𝑖(𝑡) = [(𝐴1. 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝐴2. 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
 
Circuito RLC série – Resposta forçada: 
 
 
 
𝑑2𝑣
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝐿𝐶
=
𝑉𝑠
𝐿𝐶
 
 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
 
𝛼 =
R
2𝐿
 
 
𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 
Superamortecido (𝛼 > 𝜔0) 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑆2𝑡 
Criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0) 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝐴1 + 𝐴2𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 
 
Subamortecido (𝛼 < 𝜔0) 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + [𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 
 
FORMULÁRIO DE ELETRICIDADE 
Circuito RLC Paralelo – Resposta Natural 
 
Condições iniciais: 
 
{
𝑣(0) = 𝑣0
𝑖(0) =
1
𝐿
∫ 𝑣 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝑖0
 
𝑑2𝑣
𝑑𝑡2
+
1
𝑅𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝐿𝐶
= 0 
𝑆² +
1
𝑅𝐶
𝑆 +
1
𝐿𝐶
= 0 
𝑆1 = −𝛼 + √𝛼
2 −𝜔0
2 
𝑆2 = −𝛼 −√𝛼² − 𝜔0² 
𝛼 =
1
2𝑅𝐶
 
𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 
 
Superamortecido (𝛼 > 𝜔0) 
𝑣(𝑡) = 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑆2𝑡 
 
Criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0) 
𝑣(𝑡) = (𝐴2 + 𝐴1𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 
Subamortecido (𝜶 < 𝝎𝟎) 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
 
𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 
 
𝑣(𝑡) = 𝑒
−𝛼𝑡[𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)] 
 
Circuito RLC paralelo – Resposta forçada: 
 
 
𝑑2𝑖
𝑑𝑡2
+
1
𝑅𝐶
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑖 =
𝑖𝑆
𝐿𝐶
 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
 
𝛼 =
1
2𝑅𝐶
 
𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 
Superamortecido (𝛼 > 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑆 + 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑆2𝑡 
 
Criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑆 + (𝐴1 + 𝐴2𝑡). 𝑒
−𝛼𝑡 
 
Subamortecido (𝛼 < 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑆 + [𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 
 
FORMULÁRIO DE ELETRICIDADE 
Senóides e fasores: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 
�̇� = 𝑉𝑚 𝑒
𝑗𝜙 
 
�̇� = 𝑉𝑚∠𝜙 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
1
𝑓
 
 
 
 
 
𝑍 = 𝑅 ± 𝑗𝑋
𝑍 = |𝑍|∠𝜃
{
 
 
 
 |𝑍| = √𝑅
2 + 𝑋²
𝜃 = 𝑇𝑔−1 (
𝑋
𝑅
)
𝑅 = |𝑍|. cos(𝜃)
𝑋 = |𝑍|. sen(𝜃)
 
 
Admitância 
𝑌 =
1
𝑍
= 𝐺 ± 𝑗𝐵 
 
 
𝐺 =
𝑅
𝑅2 + 𝑋2
 
 
 
𝐵 = −
𝑋
𝑅2 + 𝑋2
 
 
Principais operações matemáticas Operações com j 
Adição 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑗(𝑦1 + 𝑦2) 
𝑗 = √−1 
 
𝑗 = 1∠90° 
 
−𝑗 = 1∠ − 90° 
 
𝑗2 = −1 
1
𝑗
= −𝑗 
Subtração 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 − 𝑥2) + 𝑗(𝑦1 − 𝑦2) 
Multiplicação 𝑟1∠𝜙1 . 𝑟2∠𝜙2 = 𝑟1𝑟2∠(𝜙1 + 𝜙2) 
Divisão 
𝑟1∠𝜙1
𝑟2∠𝜙2
=
𝑟1
𝑟2
∠(𝜙
1
− 𝜙
2
) 
 
Recíproco 
1
r1∠𝜙1
=
1
r1
∠(−𝜙) 
 
Raiz quadrada √r∠𝜙1 = √𝑟 ∠ (
𝜙
2
) 
 
Complexo 
conjugado 
𝑧∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 = 𝑟∠(−𝜙) = 𝑟 𝑒−𝑗𝜙 
 
Identidades trigonométricas: 
𝑆𝑒𝑛(𝐴 ± 𝐵) = 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 𝐶𝑜𝑠(𝐵) ± 𝑆𝑒𝑛(𝐵) 𝐶𝑜𝑠(𝐴) 
𝐶𝑜𝑠(𝐴 ± 𝐵) = 𝐶𝑜𝑠(𝐴) 𝐶𝑜𝑠(𝐵) ∓ 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 
𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 180°) = −𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 ± 180°) = −𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
±𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 90°) 
∓𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 ± 90°) 
 
FORMULÁRIO DE ELETRICIDADE 
Capacitores 
𝑣𝐶 = 𝑉𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 
⇒ 𝑉𝐶 = 𝑉𝑚∠𝜙 
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣𝐶
𝑑𝑡
= −𝜔 𝐶 𝑉𝑚 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) 
𝐼𝐶 = 𝑗𝜔𝐶𝑉𝐶 
𝑉𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶
𝐼𝐶 
𝑋𝐶 = −
1
2𝜋𝑓𝐶
= −
1
𝜔𝐶
 
𝑍𝐶 = −𝑗𝑋𝐶 = −
𝑗
𝜔𝐶
=
1
𝑗𝜔𝐶
 
Indutores 
𝑖𝐿 = 𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 
⇒ 𝐼𝐿 = 𝐼𝑚∠𝜙 
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
= −𝜔 𝐿 𝐼𝑚 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡𝜙) 
𝑉𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 𝐼𝐿 
𝐼𝐿 =
1
𝑗𝜔𝐶
𝑉𝐿 
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 𝜔𝐿 
 
𝑍𝐿 = 𝑗𝑋𝐿 = 𝑗𝜔𝐿