T1 (4) GABARITO

Prévia do material em texto

MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
GABARITO RESUMIDO DO T1 feito em 4 setembro de 2012
1. Simplificando, A = −1 + 1√
5
. Temos
√
5 > 1, logo 0 <
1√
5
< 1 e, somando −1,
−1 < −1 + 1√
5
< 1− 1, e −1 < A < 0.
2. Vamos estudar o sinal de
x− 4
x− 2 para x ∈ (−∞, 2) ∪ (2,∞):
x < 2 2 < x < 4 4 < x Sinal de:
− − + x− 4
− + + x− 2
+ − + x− 4
x− 2
Assim,
x− 4
x− 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞, 2) ∪ [4,∞) .
E
x− 4
x− 2 ≤ 0 ⇔ x ∈ (2, 4] .
3. Va´rias respostas poss´ıveis.
4. Por simetria:
b
a+b
2
a
g
Se a = −1 e b = 5, enta˜o xv = −1 + 5
2
= 2.
Se a = −1 e b = 7, enta˜o xv = −1 + 7
2
= 3.
5. {(x, y) ∈ R2 | y = x2 − 3 e 7 ≤ y ≤ 10 } ;
10
7
-3
{(x, y) ∈ R2 | x = 1 e x (x− 3) ≤ y ≤ −x (x− 3) } ;
3
1
2
2
{(x, y) ∈ R2 | y ≥ x e (x− 3)2 + (y − 3)2 ≤ 4 } .
3
31
{(x, y) ∈ R2 | y ≤ x e (x− 3)2 + (y − 3)2 ≤ 4 } .
3
31
6. (a) Vamos estudar o sinal de f(x) · g(x) para x ∈ [a, b]:
a < x < e e < x < i i < x < m m < x < b Sinal de:
− + + + f(x)
− − + − g(x)
+ − + − f(x) · g(x)
Assim,
f(x) · g(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [a, e] ∪ [i,m] .
E
f(x) · g(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [e, i] ∪ [m, b] .
(b) Temos
f(x)− g(x) ≤ 0 ⇔ f(x) ≤ g(x) ⇔ x ∈ [c, d] ∪ [j, k] .
Da mesma forma,
f(x)− g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) ≥ g(x) ⇔ x ∈ [a, c] ∪ [d, j] ∪ [k, b] .