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6. Teste de Hipóteses - Parte IV

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30/08/2013 
1 
TESTE DE HIPÓTESES PARA A 
MÉDIA POPUCIONAL 
Luis Alberto Toscano 
Departamento de Estatística - UFMG 
• Nosso objetivo agora e apresentar procedimentos 
estatísticos simples para verificar se um conjunto de 
dados amostrais da ou não suporte a uma ideia sobre o 
valor médio µ (desconhecido) de uma característica de 
interesse, observável em "indivíduos" de uma população. 
 
Mais precisamente, procedimentos para testar hipóteses 
sobre µ, tomando como base o valor médio dessa 
característica, observado em uma amostra casual simples 
de tamanho n desses "indivíduos". 
2 
X
3 
Exemplo 1: Uma maquina automática para encher pacotes de 
café enche-os segundo uma distribuição normal, com média µ 
e variância sempre igual a 400 g2. A maquina foi regulada para 
µ=500 g. Desejamos, periodicamente, colher uma amostra de 
16 pacotes e verificar se a produção esta sob controle, isto é, 
se µ=500 g ou não. 
 
Se uma dessas amostras apresentasse uma média , 
 você pararia ou não a produção para regular a maquina? 
 
Determine a região critica para um nível de significância de 
1%. 
gX 492
Conclusão: O desvio da média da amostra para a média 
proposta por H0 pode ser considerado como devido ao sorteio 
aleatório dos pacotes . 
Dado que , σ2= 400 e n=16. 
500:
500:
1
0




H
H
6,1
16
400
500492


obsz
492X
Dado que - z/2 < zobs < z/2 não rejeitamos H0 
 
Pela Tabela temos que 
P(Z ≤-1,6|H0)=0,0548 
P-valor = 2P(Z ≤-1,6|H0)=0,1096 
 
Como P-valor > 0,05 não rejeitamos H0 
 
Se (1- ) = 99%, temos que o ponto crítico é z/2 =2,58 
4 
A estatística de teste, sob H0, será 
30/08/2013 
2 
Procedimento: 
1) Formular as hipóteses: 
 
2) Identificar a função de distribuição de probabilidade e fixar o 
nível de significância ( ), se: 
 se  conhecido, n >30, usa-se a distribuição normal; 
 se  conhecido, população normalmente distribuída, n < 30 
usa-se a distribuição Normal. 
 se  desconhecido usar s, população normalmente distribuída, 
n < 30, usa-se a distribuição t de Student com n-1 g.l. 
 se  desconhecido usar s, n> 30 usa-se a distribuição Normal. 
01
00
:
:




H
H
5 
Testes de Hipóteses para a Média Populacional  
/2 /2 
z/2 - z/2 
RA 
RC RC 
1 -  
3) Região Crítica (RC) 
Testes de Hipóteses para a Média Populacional  
6 
4) Calcular o valor da estatísticas do teste 
n
S
obs
n
obs
X
tou
X
Z 00






Onde: é a média amostral; 
0 é o valor da média populacional sobre a H0 
 é o desvio padrão da população 
s é o desvio padrão amostral. 
X
Testes de Hipóteses para a Média Populacional  
7 
Testes de Hipóteses para a Média Populacional  
5) Regra de decisão: Rejeitar ou não rejeitar a hipótese 
nula, de acordo com: 
a) a estimativa obtida da estatística do testes zobs 
comparada com a região crítica. 
 Se - z/2 < zobs < z/2 não rejeitamos H0 
Se zc> z/2 
Rejeitamos H0 
z/2 - z/2 
RA 
RC RC 1 -  
Se zc< - z/2 
Rejeitamos H0 
Dizemos que a 
estatística de teste é 
significante quando 
a hipótese nula é 
rejeitada. 
8 
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3 
Testes de Hipóteses para a Média Populacional  
b) de acordo com P-valor 
Se P-valor <  , Rejeitamos H0 
z/2 - z/2 
RA 
Pr[z >zobs] 
1 -  Pr[z <-zobs] 
Logo, podemos pensar no 
P-valor como o menor 
nível de significância que 
levaria à rejeição da 
hipótese nula. 
P-valor = 2P[z > zobs] 
9 10 
Exemplo 2: Uma fabricante afirma que seus cigarros contem 
não mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros 
fornece média de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg. 
 
No nível de 5%, os dados refutam ou não afirmação do 
fabricante? 
 
Que suposição deve ser adotada para efetuar o teste ? 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, há evidencias de 
que os cigarros contenham mais de 30 g de nicotina. 
Dado que , s= 3, α=0,05 e n=25. 
30:
30:
1
0




H
H
5,2
25/3
305,31


obst
5,31X
Dado que tobs > t(n-1); rejeitamos H0 
P-valor = P(T ≥ 2,5|H0)=0,01 
Como P-valor < 0,05 rejeitamos H0 
Se (1- ) = 99%, temos que o ponto crítico é t24;α =1,711 
11 
A estatística de teste, sob H0, será 
12 
Exemplo 3: Em um anuncio, uma pizzaria alega que o tempo 
médio de entrega é inferior a 30 minutos. 
 
Uma seleção aleatória de 36 tempos de entregas tem uma 
media de amostral de 28,5 minutos e um desvio padrão de 
3,5 minutos. 
 
Há evidências suficientes para confirmar a alegação com 
α=0,01. 
Conclusão: Ao nível de significância de 1%, há evidencias 
suficientes para concluir que o tempo médio de entrega é 
menor do que 30 minutos. 
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4 
Dado que , s= 3,5 e n=36. 
30:
30:
1
0




H
H
57,2
36/5,3
305,28


obsz
5,28X
Dado que zobs < -z/2 rejeitamos H0 
P-valor = P(Z ≤ -2,57)=0,0051 
Como P-valor < 0,01 rejeitamos H0 
Se (1- ) = 99%, temos que o ponto crítico é -z =-2,33 
13 
A estatística de teste, sob H0, será