fluidos petr

entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. 
Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as 
entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção 
(2). 
 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão 
que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
Jorge A. Villar Alé C-45 
 
 
Solução Exemplo 1
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de 
uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa 
especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa 
instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rr
ρρ
∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem 
dependentes do tempo. 
(2) Escoamento uniforme na seção (1). 
 
 
 
Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. 
( ) 0=∫+∫ ∀




sc
AdVvcdt
rr
ρρ
∂
∂ 
• Como ∀=∀∫
vc
d 
0=∫+∀



sc
AdV
t
rr
ρρ
∂
∂ 
 
• O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). 
∫=∫ 1Asc AdVAdV
rrrr
ρρ 
 
• Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). 
 
• Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 
 
111
1
AVAdV
A
ρρ =∫
rr
 
 
( ) 0111 =+∀
∂
∂
AV
t
ρρ 
• Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: 
 
( ) 111 AV
t
ρρ −=
∂
∂
∀ 
 
( )
∀
−=
∂
∂ 111 AV
t
ρ
ρ 
 
( )
( )
( )
s
m
kg
m
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
311
13,6
33
2
3






−=












−=
∂
∂
ρ 
• Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). 
Mecânica dos Fluidos 
PUCRS C-46 
Solução Exemplo 2
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: 
 
i
R
r
UV ˆ1
2
max














−=
r
 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. 
Determine o fluxo de massa da tubulação. 
 
Solução: 
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rr
ρρ
∂
∂ 
 
Hipóteses: 
• Escoamento permanente 
• Escoamento incompressível 
• Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
∫∫∫ === AdVAdVAdVm
rrrrrr
& ρρρ 222111 
 
A
u
R
uR
um
RRR
R
RR
R
rr
rdr
R
r
rdr
R
r
um
drr
R
r
um
pirdrdA
R
R
R
R
224
2
442
1
42
1
42
1
:integral a Resolvendo
12
)2(1
2 : tubodo seçãoda áreade elemento o doConsideran
max2max
2
max
222242
0
242
0
2
0
2
max
0
2
max
ρpiρpiρ
piρ
piρ
==





=
=





−=














−=














−=














−














−=














−=
=
∫
∫
∫
&
&
&
 
Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 
2
maxuu = 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
Jorge A. Villar Alé C-47 
Solução Exemplo 3
[3] Dados 
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 
Fluxo de massa em (3): 
s
kg
m 603 =& (+) 
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s 
Velocidade em (1) 
s
m
iV ˆ0,31 =
r
 
Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 
 
 
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rr
ρρ
∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) Escoamento permanente 
(2) Escoamento incompressível 
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 
0
4331
=+++= ∫∫∫∫∫
AAAAsc
AdVAdVAdVAdVAdV
rrrrrrrrrr
ρρρρρ 
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 
1
1
1111
1
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ 
(-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que 
o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 
 
222
2
22
2
mAVAVAdV
AA
&
rr
=±== ∫∫ ρρρ 
Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção 
 
∫∫ ===
3
33333
3 AA
mAVAVAdV &
rr
ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por 
tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 
 
4
4
4444
4
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ 
(-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que 
o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 
 
04321 =+++=∫ mmmmAdV
sc
&&&&
rr
ρ 
skgmx
s
m
x
m
kg
AVm /6002,00,31000 2
3111
−==−= ρ& (-) entrando no v.c. 
skgm /603 =& (+) saindo do v.c. 
skg
s
m
x
m
kg
QAVm /3003,01000
3
34444
−===−= ρρ& (-) entrando no v.c. 
0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&& 
s
kg
m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. 
Para determinar a velocidade em (2): 
222 AVm ρ=& 
sm
xA
m
V /6,0
05,01000
30
2
2
2 ===
ρ
&
na forma vetorial: 
s
m
jV ˆ6,02 −=
r
 (aponta em sentido negativo do eixo y) 
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. 
Mecânica dos Fluidos 
PUCRS C-48 
Solução Exemplo 4
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. 
 
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) 
devido ao enchimento do reservatório dada por: 
 
 
 
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. 
 
 
resres A
VAVA
A
QQ
t
dh
mmd
t
221121
21 0
+
=
+
=
∂
=−−∀
∂
∂
&&ρ
 
 
( ) ( )
sm
xx
A
VDVD
t
dh
res
/0172,0
18,0
6,0075,09,0025,0
44
22
2
2
21
2
1
=
+
=
+
=
∂
pipi
 
 
021 =−− mm
dt
dh
Ares &&ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
Jorge A. Villar Alé C-49 
 
 
 
 
QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO 
 
(( CCaapp..55 ))
 
Mecânica dos Fluidos 
PUCRS C-50 
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) 
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do 
bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 
 
[2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na 
figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a 
água. 
 
 
[3] Considere o escoamento de água através de um 
cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a 
pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . 
Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é 
descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com 
velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária 
para manter o cotovelo no lugar. 
 
 
 
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ 
definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo 
em que atua. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
Jorge A. Villar Alé C-51 
 
[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força 
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A 
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato