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Mecanica_dos_Fluidos inter

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≅≅=
==
 
c) 
sAp
W
V
WpVpW
d
d
⋅
==�⋅= 
 
224
3
/2/102
5,0105
50
cmkgfmkgfxp
x
p
==
⋅
=
−
 
 
b) 
5,0
5,010x5
t
sAp
t
VdQ
3
⋅
=
⋅
==
−
 
Prof° J. Gabriel F. Simões 
36 
 
s/5Q 
s/10x10x5Q
1000m1 s/m10x5Q
33
333
�
�
�
=
=
==
−
−
 
 
ou: 
 
c) 310x5
100
Q
NpQpN
−
==∴⋅= 
 
 
24 /102 mkgfxp = 
 
 
 
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37 
Capítulo 4 
 
4.1- O Princípio da Conservação da Energia Mecânica para Fluídos 
Perfeitos (Ideais) 
 
De posição 
Potencial De pressão 
Energia 
 Mecânica 
 
 Cinética 
 
 
 
a) Energia Potencial 
 
a.1 – De Posição 
 
 
 
EPPo = G . Z 
 
 
a.2 – De Pressão 
 
Ro
r
EPPEPPEP
PGEPP
+=
γ
⋅=
 
 
b) Energia Cinética 
 
 
2
mvE
2
c = 
 Mas: 
 
g2
vGE 
g
G
m mgG
2
c ⋅=∴
=∴=
 
 Energia Total (E) 
 
 E = EP + Ec 
 
E = EPPo + EPPr + Ec 
Equação de Bernoulli 
W = G . Z 
 
E PPo = W 
P.H.R 
(Plano horizontal 
de referência) 
G 
Z 
W = G . h =
γ
PG 
 
E PPr = W 
 
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38 
 
Princípio da Conservação de Energia Mecânica 
(P.C.E.M.) 
E = cte. 
Ou 
∆EP = ∆Ec 
Exemplo: 
 
TORRICELLI gz2v
2
vmgzm
2
mvZG
EE
2
mvE
ZGE
2
2
21
2
2
1
=
/
=/
=⋅
=
=
⋅=
 
 
4.2- Equação de Bernoulli para Fluído Perfeito Incompressível em 
Regime Permanente 
 
 
 
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39 
 
 E1 = EP1 + EC1 = 1ro ECEPPEPP 11 ++++++++ 
 
g2
vGPGGZE
ECEPPEPPECEPE
g2
vGPGGZE
2
22
22
2Ro222
2
11
11
22
+
γ
+=
++=+=
+
γ
+=∴
 
P.C.E.M. 
 
E1 = E2 
g2
VPZ
g2
VPZ
g2
VGPGZG
g2
VGPGZG
2
22
2
2
11
1
2
22
2
2
11
+
γ
+=+
γ
+
/+
γ
/+/=/+
γ
/+/
 
 
Equação de Bernoulli 
 
“No escoamento de um fluído perfeito incompressível em regime permanente a 
energia total do fluído por unidade de peso permanece constante”. 
Z1 e Z2: Energias potenciais de posição por unidade de peso (“Cargas de Posição”). 
:
P
 e 
P 21
γγ
 Energias potenciais de pressão por unidades de peso (“Cargas de 
Pressão”). 
:
g2
V
 e 
g2
V 2221
 Energias cinéticas por unidade de peso. (“Cargas Cinéticas”). 
:
g2
VPZ e 
g2
VPZ
2
22
2
2
11
1 +γ
++
γ
+ 
Carga de Pressão = energia de Pressão por unidade de peso. 
Carga de Posição = energia de posição por unidade de peso. 
Carga Cinética = energia cinética por unidade de peso. 
Carga Total (H) = energia total por unidade de peso. 
H1 = H2 Equação de Bernoulli 
Unidades de Carga: m, cm, mm, etc. ou seja: 
Unidades de energia por unidade de peso: m, cm, mm, etc. 
 
Energias totais por unidade de peso. 
(Cargas Totais = H) 
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40 
 
Exercícios: 
1- 
 
 
 
 
 
 
Tanque de grandes dimensões 
Fluído perfeito 
g = 10 m/s2 
O tanque da figura descarrega água a atmosfera pelo tubo indicado. 
Sendo o tanque de grandes dimensões e o fluído considerado perfeito, determinar a 
vazão da água descarregada se a área da seção do tubo é 10 cm2. 
 
s/10s/m10 x 10Q
10 x 10 x 10AVQ
s/m105 x 10 x 2gz2V 
g2
VZ
g2
VPZ
g2
VPZ
ECEPPEPPECEPPEPP
HH
33
4
2
12
2
2
1
2
2
0Patm
20
2
02
1
0Patm
1
1
2ro1ro
21
2211
�==
==
===∴=
+
γ
+//=+
γ
+
++=++
+
−
−
==
 
 
2- Idem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5m
 
P.H.R. 
Patm (1) 
B 
A=10 cm2 
 
Patm 
(2) 
3m
 
P.H.R. 
p = 0,5 kgf/cm²
 (1) 
B 
A=10 cm2 
Patm 
(2) 
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41 
 
- Tanque de grandes dimensões 
- Fluído perfeito 
g = 10 m/s2 = 1000 cm/s2 
2rO1rO
21
3
OH
ECEPPEPPECEPPEPP
HH
?Q
m/kgf1000
2211
2
++=++
=
=
=γ
 
s/10s/m10 x 10Q
10 x 10 x 10AVQ
m/s 10V 100V
10
10 x 203 x 10 x 2PZg2V
PZg2V 
g2
VPZ
g2
VPZ 
g2
VPZ
0 0 0 
33
4
2
22
3
4
12
1
2
2
2
21
1
2
22
2
2
11
1
�==
==∴
=�=
��
�
�
		
� ⋅
+=��
�
�
		
�
γ
+=
��
�
�
		
�
γ
+=�=
γ
+
+
γ
+==
γ
+
−
−
 
 
1. Um dos métodos para produzir vácuo numa câmara é descarregar água por um 
tubo convergente como é mostrado na figura. 
Qual deverá ser a vazão em massa no tubo da figura para produzir um vácuo de 
50 cmHg na câmara? 
 
 
h = 50 cm (carga de pressão do mercúrio) 
H1 = H2 
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42 
(1) 
2
2
 
2
00 
1
1
2
2
2
1
2
22
2
2
11
1
γ
γγ
PZ
g
VV
g
VPZ
g
VPZ
 
−−=
−
++=++
 
Equação da Continuidade 
( )
)PZ(
6,132
g2V
PZ
g2
VV6,133
PZ
g2
VV56,11
)1( em )2(
)2( V 56,11V
1
4,3V
d
dVV
4/d
4/dV
A
AVV
AVAV
QQ
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
21
2
2
2
1
2
21
2
1
2
2
2
1
22
1
2211
21
γ
−−=
γ
−−=
−⋅
γ
−=
−
=
�
�
�
	
�
=��
�
�
		
�
=
Π
Π
==
=
=
 
onde: 
m4Z1 = 
mxmkgfhP Hg 5,0 / 13600 31 −=⋅−= γ 
2
1 / 6800 mkgfP −= 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
� −
−−=
1000
68004
6,132
20V 22 
42,0
6,132
56V 22 == 
42,0V2 = 
V2 = 0,65 m/s 
 
s/m5,7V65,0x56,11V 11 =∴= 
( )ρ=ρ=ρρ=ρ=ρ=ρ= 21221121m AVAVQQQ 
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43 
 
( )
4x10
01,0x14,3x5,7x1000
4
dV
g
Q
22
1
1m =
piγ
=∴ Qm= 0,059 utm/s 
4.3- Equação de Bernoulli para Fluido Perfeito Incompressível com 
a Presença de uma Máquina no Escoamento 
 
Máquina Bomba (B) - Fornece energia ao fluido 
 (M) 
 Turbina (T) - Retira energia do fluido 
 
a) BOMBA 
 
 
 
 
 
 
H1 + HB = H2 
 
H1 < H2 
 
HB: Energia fornecida ao 
fluido pela bomba pro 
unidade de peso. 
(“Carga ou altura 
manométrica da bomba”) 
 
b) TURBINA 
 
 
 
 
 
 
 
 
H1 – HT = H2 
 
 
H1 > H2 
 
HT: Energia retirada do 
fluído pela turbina por 
unidade de peso. (“Carga 
ou altura manométrica da 
turbina”) 
 
 
Genericamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
H1 + Hm = H2 
Hm > 0 ���� M é Bomba (Hm = HB) 
 
 
 
Hm < 0 ⇐⇐⇐⇐ M é Turbina (Hm - HT) 
 
 
 
(1) 
B 
(2) 
(1) 
T 
(2) 
(1) 
M 
(2) 
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44 
 
Fluido Perfeito 
 
 a) ∃ Máquina H1 = H2 
 b) ∃ Máquina H1 + Hm = H2 
 
4.4- Potência Fornecida ou Retirada do Fluido na Passagem pela 
Máquina. Noção de Rendimento 
 
G : Peso de fluido que atravessa a máquina no intervalo de tempo t. 
W : Energia fornecida ou retirada do peso G de fluido na passagem pela 
 Máquina. 
Hm : Energia fornecida ou retirada do fluido pela máquina por unidade de peso. 
mm HGWG
WH ⋅=�= Mas: 
VG
V
G γ=�=γ 
 
Substituindo: mVHW γ= 
mHt
V
t
Wt γ=÷ 
 
 
potência vazão 
N = γQHm 
 - M.K*.S - 
γ � kgf/m3 
Q � m3/s N � kgf . m/s (kgm/s) 
Hm � m 
 - S.I. 
γ � N/m3 
Q � m3/s N � W
s
J
s
mN
==
⋅
 
Hm � m 
 
1C.V. = 75 kgf . m/s 
1C.V. = 736 W = 0,736 kW 
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45 
 
Rendimento (η) 
 
jogo em posta Potência
útil Potência
====ηηηη 
a) BOMBA 
 
 
B
B N
N
=η 
 
 
QHNNN
B
B
B
B
B η
γ
=�
η
=∴ 
b) TURBINA 
 
N
NT
T =η 
N : Potência retirada do fluido 
NT : Potência útil = Potência da turbina 
TmTTT QHN NN η⋅γ=η⋅= 
 
1- O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água para a atmosfera 
através de uma tubulação com uma vazão de 10�/s. 
Verificar se a máquina instalada é BOMBA ou TURBINA e determinar sua 
potência se o rendimento é 75%. 
 
N : Potência útil = Potência fornecida ao fluído 
 
NB : Potência da Bomba 
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Supor fluido perfeito. 
 
 
 
 
 
 
23 10m/sg;1000kgf/m
2
==OHγ 
s/m10Q 32−= 
=−=�=+ 12m2m1 HHHHHH 
��
�
�
		
�
+
γ
+−+
γ
+
g2
VPZ
g2
VPZ
 
11
1
22
2
02 0 2 0
 
20
g2
V5H
2
2
m −��
�
�
		
�
+= 
s/m10
10
10
A
QVAVQ 3
2
22 ===�⋅=
−
−
 
20
20
1005Hm −�
�
�
	
�
+= 
Hm = -10m 
Hm < 0 � M é Turbina 
 
75
100
75
101010QHN
23
T =
⋅⋅
=γ=
−
 
N = 1,33 C.V. 
 
∴NT = NηT = 1,33 x 0,75 
 
NT = 1 C.V. 
 
 
 
 
 
2 – Idem 
 
20
m
 
Patm (1) 
B 
A=10 cm2 
(2) 
5 m 
PHR 
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47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Fluido Perfeito