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água sobre a represa é dada por
1
2 gHAU , ou seja, o produto da pressão manométrica
através da face da represa pela área da represa.
 (b) Mostre que o torque produzido pela força
da água em relação ao eixo passando no fundo da
represa é dado por 216 gH AU .
 (c) Como a força e o torque dependem do
tamanho da represa?
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8 
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14.51 Um astronauta está em pé no pólo
norte de um novo planeta descoberto com simetria
esférica de raio R. Ele sustenta em suas mãos um
recipiente que contém um líquido de massa m
volume V. Na superfície do líquido a pressão é p0; a 
uma profundidade d abaixo da superfície, a pressão
possui um valor maior que p. A partir dessas
informações, determine a massa do planeta.
14.52 Para calcular a densidade em um
dado ponto no interior de um material, considere um
pequeno volume dV em torno desseponto. Se a
massa no interior do volume for igual a dm, a 
densidade no referido ponto será dada por
dm
dV
U . Considere uma barra cilíndrica com
massa M, raio R e comprimento L, cuja densidade
varia com o quadrado da distância a uma de suas
extremidades, . 2C xU ˜
(a) Mostre que
2 3
3M
C
R LS . 
(b) Mostre que a densidade média, dada
pela Equação 
m
V
U é igual a um terço da
densidade na extremidade x = L.
14.53 A Terra não possui uma densidade
constante; ela é mais densa em seu centro e menos
densa na sua superfície. Uma expressão aproximada
para sua densidade é dada por , 
onde A =12.700 kg/m
� �r A BrU �
� �dm r drU 
3 e B = 1,50. 103 kg/m4.
Considere a Terra como uma esfera com raio R =
6,37. 106 m.
(a) Evidências geológicas indicam que as
densidades são de 13.100 kg/m3 no centro e de 2400
kg/m3 na superfície. Quais os valores previstos pela
aproximação linear da densidade para estes pontos?
(b) Imagine a Terra dividida em camadas
esféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r,
espessura dr, volume e massa
. Integrando desde r = 0 até r = R,
mostre que a massa da Terra com este modelo é
dada por:
24dV r drS 
34 3
3 4
M R A BRS § · �¨ ¸© ¹ 
(c) Mostre que os valores dados de A e B 
fornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%.
(d) Vimos na que uma camada esférica não
fornece nenhuma contribuição de g no interior da 
camada. Mostre que esse modelo fornece: � � 4 3
3 4
g r Gr A BrS § · �¨ ¸© ¹
(e) Mostre que a expressão obtida no item
(d) fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s2
na superfície da Terra,
(f) Mostre que com este modelo g não
diminui uniformemente com a profundidade e, ao
contrário, atinge um valor máximo igual a
24
9
GA
B
S
= 10,01 m/s no ponto
r = 2A/3 B = 5640 km.
14.54 No Exemplo 12.9 (Seção 12.7) vimos
que no interior de um planeta com densidade
constante (uma hipótese irreal para a Terra) a
aceleração da gravidade cresce uniformemente com a 
distância ao centro do planeta. Ou seja,� � rˆg r g
R
 , onde g é a aceleração da gravidade na
superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é o 
raio do planeta. O interior do planeta pode ser
considerado aproximadamente como um fluido
incompressível com densidade U.
(a) Substitua a altura h na Equação (14.4) 
pela coordenada radial r e integre para achar a 
pressão no interior de um planeta com densidade
constante em função de r. Considere a pressão na
superfície igual a zero- (Isso significa desprezar a 
pressão da atmosfera do planeta.)
(b) Usando este modelo, calcule a pressão no
centro do Terra. (Use o valor da densidade média da 
Terra, calculando-a mediante os valores da massa e 
do raio indicados no Apêndice F.)
(c) Os geólogos estimam um valor
aproximadamente igual a 4.1011 Pa para a pressão no
centro da Terra- Este valor concorda com o que você
calculou para r = 0? O que poderia contribuir para
uma eventual diferença?
14.55 Um tubo em forma de ü está aberto em 
ambas as extremidades e contém uma porção de
mercúrio. Uma quantidade de água é cuidadosamente
derramada na extremidade esquerda do tubo em
forma de U até que a altura da coluna de água seja 
igual a 15.0 cm (Figura 14.36).
(a) Qual é a pressão manométrica na 
interface água-mercürio?
(b) Calcule a distância vertical h entre o topo
da superfície do mercúrio do lado direito e o topo da
superfície da água do lado esquerdo.
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 
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14.56 A Grande inundação de melaço. Na
tarde do dia 15 de janeiro de 1919, em um dia não
usualmente quente em Boston, correu a ruptura de
um tanque cilíndrico metálico com diâmetro de 27,4
m e altura de 27,4 m que continha melaço. O 
melaço inundou uma rua formando uma corrente
com profundidade igual 9 m, matando pedestres e
cavalos e destruindo edifícios. A densidade do
melaço era igual a 1600 kg/m3. Supondo que o
tanque estava completamente cheio antes do
acidente, qual era a força total exercida para fora
pelo melaço sobre a superfície lateral do tanque?
(Sugestão: Considere a força para fora
exercida sobre um anel circular da parede do tanque
com largura dy situado a uma profundidade y abaixo 
da superfície superior. Integre para achar a força
total para fora. Suponha que antes do tanque se
romper, a pressão sobre a superfície do melaço era
igual à pressão atmosférica fora do tanque.)
14.57 Uma barca aberta possui as
dimensões indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se
que todas as partes da barca são feitas com placas de
aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de
carvão que a barca pode suportar em água doce sem 
afundar? Existe espaço suficiente na parte interna da
barca para manter esta quantidade de carvão? (A 
densidade do carvão é aproximadamente iguala
1500 kg/m3.)
14.58 Um balão com ar quente possui
volume igual a 2200 m3. O tecido (envoltório) do
balão pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e o
tanque cheio de propano pesa 1700 N. Se o balão
pode suportar no limite um peso máximo igual a 
3200 N, incluindo passageiros, alimentos e bebidas,
sabendo-se que a densidade do ar externo é de l ,23
kg/m', qual é a densidade média dos gases quentes
no interior do balão?
14.59 A propaganda de um certo carro
afirma que ele flutua na água.
(a) Sabendo-se que a massa do carro é igual
900 kg e seu volume interno é de 3,0 m', qual é a
fração do carro que fica submersa quando ele flutua?
Despreze o volume do aço e de outros materiais,
(b) Através de uma passagem, a água 
penetra gradualmente deslocando o ar do interior do
carro. Qual será a fração do carro que fica cheia 
quando ele afunda?
14.60 Um cubo de gelo de massa igual a
9,70 g flutua em um copo de 420 cm completamente
cheio de água. A tensão superficial da água e a
variação da densidade com a temperatura são
desprezíveis (quando ela permanece líquida),
(a) Qual é o volume de água deslocado pelo
cubo de gelo?
(b) Depois que o gelo se fundiu
complelamente, a água transborda? Em caso 
afirmativo, calcule o volume da água que
transbordou. Em caso negativo, explique por que isto
ocorre,
(c) Suponha que a água do copo seja água
salgada com densidade igual a 1050 kg/m3, qual seria
o volume da água salgada deslocado pelo cubo de
gelo de 9,70 g?
(d) Refaça o item (b) para o caso de um cubo
de gelo de água doce flutuando em água salgada.
14.61 Um bloco de madeira possui
comprimento de 0,600 m, largura de 0,250 m,
espessura de 0,080 m e densidade de 600 kg/m3. Qual
deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado
embaixo do bloco de madeira para que ele possa
flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja
alinhado com a superfície da água? Qual é a massa
deste volume de chumbo?
14.62 Um densímetro é constituído por um
bulbo esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta 
possuí área igual a 0,400 cm
(Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste é 
igual a 13,2 cm'. Quando imerso em água, o
densímetro flutua mantendo a haste a uma altura de 
8,00 cm acima da superfície da água. Quando imerso
em um fluido orgânico, a haste fica a uma altura de
3,20 cm acima da superfície.