Apostila I

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE 
 
 
 
CONVERSÃO DE ENERGIA I 
 
 
Parte I 
 
LEIS FUNDAMENTAIS EM ELETROTÉCNICA 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 
 
 
 
 
Manaus/AM 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 1 
1. LEIS FUNDAMENTAIS EM ELETROTÉCNICA 
 
 Os fenômenos que intervêm na eletrotécnica e no funcionamento das máquinas elétricas 
estão baseados em três leis simples, a saber: 
 
- Lei de BIOT e SAVART ou Teorema de Ampère; 
- A expressão da Força de LAPLACE, ou de LORENTZ; 
- A lei de indução de FARADAY, ou de LENZ. 
 
Estas três leis são expressas implicitamente nas equações gerais do eletromagnetismo de 
MAXWELL. Tais equações são uma forma vetorial mais complicada e geralmente sem interesse 
em eletrotécnica. De fato, por um lado, a freqüência dos fenômenos associada é baixa (50 Hz ou 
60 Hz para as correntes); por outro, nunca intervem um campo eletrostático significativo (o que 
possibilita desprezar a “corrente de deslocamento” nas equações de AMPÈRE-MAXWELL). 
 
A seguir será feita uma breve discussão acerca destas leis. 
 
1.1 CRIAÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO POR CORRENTES ELÉTRICAS 
 
A existência de um campo magnético H em um ponto do espaço pode ser devido à 
presença de uma matéria magnetizada ou da circulação de correntes elétricas. 
 
1.1.1 Fórmula de Biot e Savart 
 
Considere (Figura 1.1) um circuito elétrico (C), percorrido por uma corrente i: a circulação 
desta corrente provoca, por “indução”, o surgimento de um campo magnético ao redor de um 
ponto no espaço. Em um ponto M, situado a uma distância r de um elemento dl do circuito, o 
campo pode ser definido pela seguinte expressão vetorial: 
 
dl
(c)
i
M
r


Hd
 
Figura 1.1. Fórmula de BIOT e SAVART. 
 
 

  dlr
grad
i
H
C
1
4
 [1-1] 
Na prática, se calcula o campo magnético por meio de duas leis deduzidas da relação [1-1]. 
 
A primeira delas é a Fórmula de BIOT e SAVART que indica o módulo elementar do 
campo (figura 1.1): 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 2 
2
sen
4 r
dli
dH



 [1-2] 
Seja  designando o ângulo entre o elemento de circuito e a linha que une este elemento 
ao ponto M, de comprimento r. 
 
A segunda é a regra de observação de AMPÈRE que indica o sentido do campo (figura 
1.2): 
 “Para um observador localizado ao longo do circuito no sentido da corrente e olhando o 
ponto M, o campo está dirigido para sua esquerda”. 
 
 
Figura 1.2. Sentido do campo. 
 
1.1.2 Campo criado por uma espira circular 
 
Considere (figura 1.3) uma espira circular de raio a, percorrida por uma corrente i, e 
calcule o campo magnético que ela cria em seu centro. Cada elemento dl cria um campo 
elementar 
dH
normal ao plano da espira, dirigido para cima, onde o módulo vale, de acordo coma 
a expressão [1-2]: 
24 a
dli
dH


 
 
 
Figura 1.3. Campo no centro de uma espira. 
 
 Para obter o campo total é necessário integrar os elementos de campo ao longo de todo o 
comprimento da circunferência, assim: 
 
a
a
i
dl
a
i
H
C
 244 22  
 
 
a
i
H
2

 [1-3] 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 3 
1.1.3 Campo criado por um fio infinito 
 
Considere (figura 1.4) um filme retilíneo infinito, e estude o campo magnético que este 
cria em um ponto M situado a uma distância a = KM. 
i
dl
K
M
a
r



H
l
 
 
Figura 1.4. Campo a uma distância a de um fio infinito. 
 
Cada elemento dl situado a uma distância “l” do ponto K cria em M um campo elementar 

dH
dirigido como indicado na figura, onde o módulo vale: 
 
2
sen
4 r
dli
dH



 
 
 Para integrar o efeito da corrente, falta expressar o segundo membro da expressão em 
função de uma só variável (pois , r e l variam). Escolhendo o ângulo  = 90 - : 
 





2cos
cos
cos
da
dlou
a
l
tg
a
rou
r
a


 
 
De onde se obtêm: 
 


d
a
i
dH cos
4

 
 Para obter o campo total, deve-se integrar variando  entre +90 e - 90 (fio infinito): 
 
 
a
i
a
i
d
a
i
H  2sen4cos4
90
90
90
90









 
 
a
i
H
2

 [1-4] 
 É evidente, pela simetria radial, que o campo será o mesmo em torno do ponto situado a 
mesma distância do fio, isto é sobre um cilindro ao redor do fio. De outro modo, vimos que o 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 4 
l
a
M
H
 
i i
campo é inversamente proporcional à distância “a”. Foi assim que foi descoberta, 
experimentalmente, a lei de BIOT e SAVART. 
 
1.1.4 Campo criado por uma bobina 
 
Considere (figura 1.5) uma bobina regular, um solenóide, de comprimento “l” e de raio 
“a”. É possível demonstrar que, em um ponto M do eixo, o campo está dirigido ao longo do eixo, 
e vale: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5. Campo em ponto M do eixo de um solenóide. 
 





 

2
coscos
. 21

l
ni
H
 [1-5] 
onde n é o número de espiras, e 1 e 2 os ângulos sob os quais um observador vê, do ponto M, os 
extremos dos raios. Em particular se M está no centro da bobina: 
cos.
l
ni
H 
 [1-6] 
 Caso de uma bobina muito longa 
 
 Suponha que o comprimento l de uma bobina seja muito maior que seu raio a (figura 
1.6a). 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
Figura 1.6. Bobinas (a) muito longa, (b) muito plana. 
 
É possível obter uma expressão aproximada do campo em seu centro, supondo que: 
 
cos   1 ( próximo de 0), assim: 
 
l
ni
H 
 [1-7] 
 
 
l
a
M
H
1 2
i i
l
a
M
H
 
i i
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 5 
Caso de uma bobina muito plana 
 
 Supondo agora, ao contrário, que o raio “a” da bobina seja muito maior que seu 
comprimento l (figura 1.6b). Também é possível obter uma expressão aproximada do campo em 
seu centro, supondo que: 
  902cotcos depróximo
a
l
g  , assim: 
a
ni
H
2

 [1-8] 
 
 A expressão encontrada é da mesma forma que a [1-3], o campo estando aqui multiplicado 
pelo número de espiras. 
 
 
1.2 TEOREMA DE AMPÈRE 
 
 Os exemplos anteriores mostram que a fórmula de Biot e Savart permite o cálculo de 
campos magnéticos no caso de circuitos que possuem uma geometria simples. Entretanto, existem 
outras fórmulas para cálculo de campo e, em particular, uma fórmula conhecida pelo nome de 
“Teorema de Ampère”. 
 A relação mais geral que existe nas equações de Maxwell para definição do campo 
magnético é: 
t
D
jHrot




 [1-9] 
onde
j
representa o vetor denominado “densidade de corrente de condução”, 
t
D



 representa o 
vetor denominado “densidade de corrente de deslocamento” (derivada parcial do vetor D , 
indução eletrostática). 
 
1.2.1 Integral de Ampère 
 
 Em eletrotécnica, é possível desprezar o segundo termo 
t
D



, e escrever simplesmente: 

 jHrot
 [1-10] 
Uma integral dupla desta relação conduz à relação [1.1], mas uma integral simples conduz a 
seguinte forma, portanto, equivalente: 
nidl.H 




 [1-11] 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 6 
 “A circulação do campo H ao longo de uma linha de indução  formado na proximidade 
de um circuitoC percorrido por uma corrente i, é igual ao produto da corrente i pelo número de 
vezes que esta linha  atravessa o circuito C”. (Figura 7). 
 
 
 
Figura 1.7. Teorema de Ampère. 
 
 O interesse deste teorema na eletrotécnica decorre do fato que, muito freqüentemente, a 
linha de indução  está evidente, como se poderá observar nos exemplos a seguir. 
 Deve ser observado que o número de vezes que a linha  atravessa o circuito C é igual ao 
número de vezes que o circuito envolve a linha . No caso prático, será o número de espiras do 
circuito C. 
 A quantidade associada ao segundo membro da equação [1-11]: 
F 
ni
 [1-12] 
é denominada “força magnetomotriz” do circuito (f.m.m.). 
 
1.2.2 Campo em um toróide 
 
 Considere (figura 1.8) uma bobina regular de n espiras do tipo “toroidal”. Para calcular o 
campo magnético em um ponto M do núcleo, é evidente que a aplicação da relação [1-2] será 
longa e cansativa. Por outro lado, o Teorema de Ampère fornece imediatamente a solução se 
escolhermos como “linha de indução”  a linha média do toróide (supondo o material homogêneo 
e isotrópico). 
 
 
Figura 1.8. Campo em um toróide. 
niR2XHdlHdl.H   
 
R2
ni
H


 [1-13] 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 7 
1.2.3 Bobinas de um transformador 
 
 A aplicação correta do teorema de Ampère é sua generalização ao caso de vários circuitos 
elétricos agindo ao mesmo tempo criando um campo, implicando em precisar perfeitamente o 
sentido da corrente e a maneira da linha de indução  atravessar estas correntes. 
 Considere, por exemplo (figura 1.9), as bobinas de um transformador. 
 
 
Figura 1.9. Bobina de um transformador. 
 
 Para o sentido indicado da corrente no caso (a), um observador instalado ao longo da linha 
de indução  na direção indicada, verá a corrente i1 ir para a sua esquerda, e verá igualmente a 
corrente i2 ir para sua esquerda. Dessa forma, o teorema terá que ser escrito como: 
2211 inindl.H 
 
 Se o núcleo é homogêneo, o campo H é o mesmo, portanto, pode-se escrever, designando 
por l o comprimento médio do núcleo: 
2211 ininlH 
 [1-14] 
 
 No caso (b), tem-se uma inversão no sentido da bobina do circuito 2. O observador verá a 
corrente i2 ir para a sua direita (uma direção oposta a da corrente i1). Essa situação nos leva a 
escrever o teorema da seguinte forma: 
 
2211 ininlH 
 [1-15] 
 
1.2.4 Circuito não homogêneo 
 
Se o núcleo da bobina não for homogêneo, por exemplo, se ele é constituído de dois 
materiais diferentes (figura 1.10), o campo magnético terá um valor diferente no interior de cada 
um dos materiais. 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 8 
 
 
Figura 1.10. Circuito não homogêneo. 
 
 Se designarmos por l1 e l2 os comprimentos médios da linha de indução no interior de cada 
material, o teorema da Ampère seria escrito da seguinte forma: 
nilHlH 2211 
 [1-16] 
 Na prática da eletrotécnica, se o primeiro material é ferromagnético e o segundo é o ar, 
teremos constituído o que se denomina de “entreferro”. 
 
 
1.3 LEI CONSTITUTIVA DOS MEIOS: PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 
 
 Para caracterizar os diversos meios, e em particular os meios ferromagnéticos, é necessário 
introduzir um outro vetor B , denominado “indução magnética”, ou ainda “densidade de fluxo 
magnético”, relacionado com o campo pela relação [1-17], na qual o coeficiente de 
proporcionalidade  é denominado de “permeabilidade magnética”: 

 HB
 [1-17] 
 No SI a unidade é o Tesla [T] e a permeabilidade magnética é medida em Henry por metro 
[H/m]. 
A permeabilidade magnética do vácuo, com o sentido de Maxwell, não é nula e vale: 
m/H104 7o

 [1-18] 
 A permeabilidade magnética da maioria dos meios comuns (ar, água, líquidos etc.) é muito 
próxima de o e praticamente linear. Por outro lado, a permeabilidade dos meios ditos 
“ferromagnéticos” é extremamente elevada e variável não linearmente. O estado magnético desses 
materiais é definido por uma curva representando B em função de H (figura 1.11), chamada 
“curva de magnetização”, ou então “lei constitutiva magnética”. A permeabilidade magnética está 
representada graficamente sobre esta curva pela inclinação da tangente em cada ponto. 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 9 
B (T)
H (A/m)
vácuo
material ferromagnético 
o
 
 
Figura 1.11. Curva de magnetização. 
 
 É conveniente introduzir a “permeabilidade magnética relativa”, r, grandeza 
adimensional que mede a amplitude magnética do material com relação à do vácuo: 
o
r



 [1-19] 
 As propriedades particulares dos materiais ferromagnéticos serão estudadas mais adiante. 
 
 
1.4 FORÇA EXERCIDA POR UMA INDUÇÃO SOBRE UMA CORRENTE 
 
 A conversão da energia eletromagnética que ocorre em máquinas elétricas está alicerçada 
em uma lei simples, que informa que uma indução B exerce uma força sobre uma carga animada 
de velocidade. Como uma corrente elétrica consiste em uma circulação de cargas (elétricas), e que 
uma indução magnética resulta da circulação de correntes, uma máquina é constituída por dois 
circuitos elétricos (bobina do estator e do rotor) entre os quais são exercidas “forças de indução”. 
 
1.4.1 Expressão de LORENTZ 
 A expressão mais geral da força F que é exercida sobre uma carga elétrica “q” animada de 
uma velocidade u , sujeita a um campo eletrostático E e a indução magnética B , é a seguinte, 
denominada de Lorentz: 








BuxEqF
 [1-20] 
 Quando é possível desprezar o campo eletrostático, se escreve: 








BuqF
 [1-21] 
 Esta força é um vetor, cujo módulo vale: 
 
 senBuqF
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 10 
 designa o ângulo entre B eu , e o sentido é tal que a tríade [B , u ,F ], são perpendiculares 
(figura 1.12): “para um observador posicionado no sentido da velocidade 
u
 e olhando no sentido 
da indução, a força está dirigida para sua esquerda”. 
 
Figura 1.12. Força de Lorentz. 
 
1.4.2 Expressão de LAPLACE 
 
 Pode-se utilizar uma forma da relação [1-21], válida para as bobinas. Seja a circulação de 
uma corrente elétrica i em um fio correspondente ao deslocamento, durante um intervalo de tempo 
elementar dt, de uma corrente elétrica 
 
dq = i dt 
a uma velocidade 
dt
dl
u 
 
 A força elementar dF exercida sobre o elemento dl pela induçãoB vale, de acordo com 
[1-21]: 



 BidlB
dt
dl
idtdF
 
 De onde se obtêm a expressão dita de “LAPLACE”. 

 BidldF [1-22] 
 O sentido desta força é tal que “para um observador posicionado no sentido da corrente e 
olhando no sentido da indução, a força estará dirigida para sua esquerda” (figura 1.13). 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 11 
 
Figura 1.13. Força de LAPLACE. 
 
 Pode-se ainda determinar o sentido da força pela regra da mão esquerda. Colocando-se o 
polegar no sentido do campo e o indicador no sentido da corrente, então o médio dará o 
sentido da força (ver figura 1.14). 
 
 
Figura 1.14. Regra da mão esquerda. 
 Se o fio tem um comprimento “l”, e a indução B lhe é perpendicular, o módulo da força 
vale: 
l*i*BF 
 [1-23] 
OBS: Ao comparar asduas expressões [1-22] e [1-21], pode parecer, à primeira vista, que estas 
estão em contradição no que diz respeito ao sentido de força (veja que “q” é negativo na 
fórmula [1-21], uma vez que as cargas móveis geralmente são constituídas de elétrons). De 
fato, por causa do sentido positivo convencional para a corrente “i” na fórmula [1-22], esta 
está no sentido oposto ao sentido do deslocamento dos elétrons no interior do fio. 
 
1.4.3 Interação entre duas correntes retilíneas paralelas 
 
 Considere dois fios retilíneos paralelos situados a uma distância “a”, percorridos por duas 
correntes i1 e i2 nos sentidos indicados (figura 1.15). A corrente i1 cria um campo 
1H
em torno de 
um ponto no espaço, e em particular na vizinhança de um elemento dl de corrente i2. De acordo 
com [1-4]: 
a2
i
H 11


 
com o sentido indicado na figura 1.15. 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 12 
1i
2i

1H
a
dl

dF
 
Figura 1.15. Interação entre duas correntes. 
 
 Ao campo 
1H
, corresponde uma indução 
1B
que vale, se  designar a permeabilidade do 
meio no qual estão os fios: 
a2
i
HB 111


 
 Esta indução exerce sobre um elemento dl percorrido por uma corrente i2 uma força 
dirigida no sentido indicado (figura 1.14), de módulo: 
dl
a2
i
iB.dlidF 1212



 
 Assim, a força de interação por unidade de comprimento vale: 
a2
ii
dl
dF 21


 [1-24] 
 A existência desta força (de atração se as correntes estão no mesmo sentido, e de repulsão 
estão em sentidos opostos) mostra que é possível que os 2 fios realizem uma conversão de energia 
eletromagnética (se estão livres para se mover). 
 
1.4.4 Torque exercido por uma indução sobre uma bobina 
 
 Na figura 1.16a tem-se uma espira, de área S, percorrida por uma corrente elétrica (I) 
imersa numa região onde existe uma indução magnética (B). Na Figura 1.16b, tem-se um 
diagrama representativos das forças que atuam nos lados das espiras, bem como do vetor indução 
magnética (B). 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
Figura 1.16. Demonstração de torque. 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 13 
 As forças que atuam nos lados 1 e 3 da espira possuem mesma intensidade, sentidos 
opostos e estão aplicadas sobre o mesmo eixo, portanto, sua resultante é nula. Assim, podemos 
escrever: 
0FFFF 3131 
 
 Deve-se observar que o mesmo não ocorre com as forças que atuam nos lados 2 e 4, pois, 
embora tenham mesmo intensidade, estas não estão aplicadas sob o mesmo eixo. Portanto, 
considerando que comprimento do lado 2 é igual ao comprimento do lado 4, sendo o mesmo 
representado por “a”, podemos escrever: 
iaBFF 42


 [1-25] 
 
 Verifica-se, portanto, o surgimento de um binário de forças atuando sobre a bobina, como 
pode ser visto na figura figura 1.16 b. Se assumirmos que o comprimento do lado 1 é igual ao 
comprimento do lado 3, e que o mesmo vale “b”, o que exercido sobre a bobina será dado por: 
 
 sen*B*S*isen*B*ab*isen
2
b
*Fsen
2
b
*FT 42
 [1-26] 
Onde: 
b sen θ é o segmento perpendicular ao eixo de aplicação das forças e S = ab é a área da espira. 
 
 Se admitirmos que a bobina possui “n” espiras, o torque será dado por: 
 

 Bxmsen*B*S*niT
 [1-27] 
 
Onde: m = ni*S denominado momento magnético. 
 
 O vetor momento magnético pode ser expresso como: 

 n*S*nim
 
Onde: 
 
:n
 é o vetor unitário orientado conforme a normal ao plano definido pela espira. 
 
1.5 Fluxo magnético 
 
 Uma quantidade importante que está associada ao estudo de máquinas é o “fluxo 
magnético”, ou então, “fluxo de indução” que atravessa uma superfície. 
 Considere um circuito ( C ) e sua superfície S (figura 1.17). 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 14 
 
Figura 1.17- Densidade de fluxo. 
 
 Se este circuito está na presença de uma induçãoB uniforme, diz-se que esta indução 
provoca ao atravessar ( C ) um “fluxo”: 



S
dS.B
 [1-28] 
 Quando o circuito é plano, se pode tomar sua própria superfície para definir o fluxo, 
como: 
SBcosBSS.B n
 [1-29] 
onde Bn é a componente normal de B sobre o vetor axial S da superfície do circuito C. 
 Se B está perpendicular ao plano do circuito ( = 0), tem-se: 
 = B S [1-30] 
 A unidade do  é o Weber (Wb). 
 
 É necessário lembrar que o fluxo que atravessa um circuito pode resultar da circulação de 
uma corrente no próprio circuito: sendo denominado de “fluxo próprio”. 
 As convenções se sinal (figura 1.18) adotadas para o fluxo corresponde à regra de 
observação de Ampère. 
 Para uma bobina como a da figura 1.18a, o campo e a indução são dirigidas para cima. 
Nesse caso se assume que o  > 0. 
 No caso da figura 1.18b, B e H são dirigidos para baixo, assim,  < 0. 
 Uma propriedade importante do fluxo é ser “conservativo” no espaço. Na equação geral de 
Maxwell, esta propriedade é expressa pela relação: 
0Bdiv 
 [1-31] 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 15 
 
Figura 1.18. Convenção do sinal para o fluxo. 
 
 Em eletrotécnica, freqüentemente supõe-se que o “espaço” está limitado a uma região 
conhecida (núcleo ou carcaça ferromagnética e seu entreferro) onde se diz que o fluxo se conserva 
nesta região, exceto o “fluxo de fuga”. 
 
1.6 TENSÕES INDUZIDAS EM UM CIRCUITO POR UMA VARIAÇÃO DE FLUXO 
 
 Em todo circuito elétrico atravessado por um fluxo magnético pode surgir uma tensão em 
seus bornes, se este fluxo variar em função do tempo. Esta tensão é chamada de “força 
magnetomotriz induzida” (f.e.m.). 
 
1.6.1 Leis fundamentais de Faraday e de Lenz 
 
 A Lei de Faraday, na sua forma geral, fornece o valor do campo elétrico E induzido por 
uma variação de indução B : 
t
B
Erot




 [1-32] 
 
 Para circuitos de bobina, a expressão [1-32] pode ser simplificada, expressando a f.e.m. 
em função da variação do fluxo: 
dt
d
ne


 [1-33] 
 “A f.e.m. nos bornes de um circuito é igual a derivada do fluxo que o atravessa com 
relação ao tempo, por cada espira do circuito”. 
 É possível introduzir um sinal ( - ) na fórmula [1-33] para representar que a f.e.m. é um 
efeito que se opõe a causa que lhe dá origem. Este efeito de oposição é determinado pela lei de 
Lenz, que diz respeito a corrente induzida. 
 “Em um circuito fechado onde aparece uma f.e.m., o sentido da corrente induzida é tal que 
se opõe ao fluxo que a gerou”. 
 As duas leis precedentes são muito gerais, e são válidas qualquer que seja a forma do 
circuito e o sentido em que se varia o fluxo: 
a) Quando as variações de fluxo são devidas a um movimento (ou a uma deformação) do 
circuito, ele pode ser denominado de um fluxo “cortado” para o circuito, e a f.e.m. 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 16 
denominada de “f.e.m. de velocidade” (por exemplo, f.e.m. que aparece nos bornes de um 
fio rígido que se move em uma região com uma indução uniforme). 
b) Quando a variação do fluxo se deve a variação da indução (ou seja, da corrente que a cria) 
este se chamará fluxo “enlaçado”, e a f.e.m. correspondente será denominada de “f.e.m. de 
transformação”. 
 
A seguir são apresentados alguns exemplos práticos de criação da f.e.m. 
 
1.6.2 F.E.M. de “velocidade”, produzida por uma variação de fluxo “cortado” 
 
 Considere um fio de comprimento “l” se deslocando a uma velocidade u emuma região 
com uma indução B uniforme (Figura 1.19). 
 
 
 
Figura 1.19. F.E.M. de “velocidade”. 
 
 Durante um deslocamento elementar dx, o fio “cortará” um fluxo elementar: 
 
dxlBdSBd 
 
 Isto produzirá em seus bornes uma f.e.m. dada por: 
ulB
dt
dx
lB
dt
d
e 


 
 Quandou , B e l tem direções não conhecidas, esta relação se generaliza por um 
produto “misto”: 




























ul.BlB.uBu.le
 
 Ao designar por  o ângulo entre u (direção do deslocamento) e l (direção do fio), e 
por  o ângulo entre B e uma perpendicular à u el , o módulo da f.e.m. vale: 
 cossenulBe
 [1-34] 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 17 
 Quando o fio se desloca com uma velocidade u perpendicular a sua direção l (ou seja, 
 = 90o e sen  = 1), escreve-se e = Blu cos . 
 Introduzindo agora a componente normal da indução, ou seja a componente 

B perpendicular ao plano deu el : 
ulBeoucosBB nn 
 
 A polaridade de “e” é tal que a corrente induzida se oporá ao movimento, isto é tal como 
indicado na figura 1.18. De fato, em um circuito fechado (fio considerado como gerador), tais 
correntes estarão sujeitas, devido à B , a uma força de LAPLACE   Blif dirigida para 
baixo, e por conseqüência se oporá ao movimento para cima. 
 
1.6.3 F.E.M. auto-induzida 
 
 Todo circuito elétrico percorrido por uma corrente cria uma f.e.m. que se oporá a sua fonte 
de alimentação. Naturalmente, este efeito é muito mais sentido, se o mesmo ocorre em uma 
bobina (efeito multiplicado pelo número de voltas) e se ele tem um núcleo de ferro, capaz de 
capturar todo o fluxo. 
 Considere uma bobina ao redor de um núcleo de seção S constante e de comprimento 
médio “l” alimentado por uma fonte “v” (figura 1.20): a circulação da corrente cria no núcleo um 
campo 
l
ni
H 
, ao qual corresponde uma indução 
l
ni
B 
 . 
 
Figura 1.20. F.E.M. auto-induzida. 
 
 Cada espira do circuito, de superfície S, é atravessada por um fluxo desta indução: 
S
l
ni
SB 
 
 Se a corrente “i” é variável (alternada, por exemplo) o fluxo também é variável fazendo 
aparecer, por conseqüência, nos bornes a e b do circuito, uma f.e.m. dada por: 
dt
di
.
S
l
n
dt
d
ne
2




 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 18 
 O fator de proporcionalidade é denominado “indutância própria” da bobina: 
S
l
n
L
2


 [1-35] 
 E a f.e.m. é expressa da seguinte forma: 
dt
di
.Le 
 [1-36] 
 O sentido da f.e.m. auto-induzida é tal que se opõe à tensão “v”, que alimenta a bobina; 
tendo assim a polaridade indicada na figura 1.19. Considerando a bobina como um gerador, teria 
seu pólo (+) em a, e seu pólo ( - ) em b (em um momento em que as polaridades de “v” são as 
indicadas), isto é correspondente a uma corrente “ i’ ”se opondo a corrente “ i ”. 
 Se for desprezada a resistência da bobina, pela lei de Kirchoff, se escreve: 
v – e = 0. 
 
 Considere o circulo R-L da figura 1.21a. Na figura 1.21b, tem-se a representação elétrica 
do indutor, ou seja, a f.e.m auto induzida no mesmo se comportará como uma fonte de tensão que 
se oporá a fonte tensão que alimenta o circuito. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1.21. Demonstração do efeito da fem auto-induzida. 
 
 Ao fecharmos a chave na figura 1.21a, a corrente não alcançará instantaneamente seu valor 
dado por Vo/R. 
 Aplicando a lei de Kirchhoff na malha da figura 1.21b, temos: 












 t
L
R
exp1
R
V
i0V
dt
di
LiR0VVV 00cabcab
 
 Portanto, o comportamento da corrente será como apresentado na figura 1.22. 
 
 
Figura 1.22. Comportamento da corrente em função do tempo. 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 19 
 Se R/L é grande, como acontece na maioria dos casos práticos, a corrente atinge seu valor 
máximo constante muito rapidamente. 
 
 
1.6.4 F.E.M. de “transformação”, produzida por uma variação de fluxo “enlaçado” 
 
 Uma f.e.m. pode ser criada nos bornes de um circuito fazendo variar o fluxo que o 
atravessa por um meio exterior. 
 Considere (figura 1.23) um núcleo ferromagnético sobre o qual tem uma bobina: 
a) Um circuito no. 1 percorrido por uma corrente i1 alternada (fonte v1), de n1 espiras. 
b) Um circuito no. 2, em circuito aberto, de n2 espiras. 
 
Figura 1.23. F.e.m. de transformação. 
 
 O fluxo alternado  devido a i1 atravessa os 2 circuitos, se este não é de fuga. Aparece 
assim, nos bornes do circuito n
o. 2, uma f.e.m. de “transformação”. 
dt
d
ne 22


 
e a f.e.m. nos bornes do primeiro circuito, vale: 
dt
d
ne 11


 
onde se deduz que: 
2
1
2
1
n
n
e
e

 [1-37] 
 A polaridade de e2 está representada na figura 1.20. De fato, se fecharmos o circuito n
o
. 2, 
a circulação da corrente induzida i’ será como a indicada na Figura 1.23. Uma vez que esta criará 
um fluxo ’ tal como indicado, que se oporá ao fluxo . 
 
 
1.6.5 Forma matemática geral da f.e.m. induzida 
 
 Os exemplos precedentes mostram que as f.e.m. induzidas em um circuito podem ser 
provenientes da modificação de sua forma (parâmetros geométricos), ou da modificação da 
indução (que é o mesmo que a modificação da corrente i). 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 20 
 Isto é completamente normal, porque a lei de FARADAY 
dt
d
ne


 se refere a existência 
de uma variação de fluxo, que depende de 2 parâmetros: B (na verdade i) e S (na verdade x). 
 Seja um circuito com n espiras onde definimos ao mesmo tempo o “fluxo equivalente” e o 
“fluxo por espira”. 
 n
 [1-38] 
que corresponde ao fluxo que atravessa o circuito se este tem um único caminho para todas as 
espiras (seria o mesmo que atravessar n espiras com o fluxo , ou uma só espira com o fluxo ). 
Para um circuito móvel onde a posição é definida por um parâmetro de posição x, excitado por 
uma corrente i, o fluxo é função de duas variáveis i e x: 
 = (i , x) 
e a lei de FARADAY se escreve agora, em derivadas parciais para fazer referência a i e à x: 
 
dt
dx
xdt
di
idt
d
e








 [1-39] 
 Para os circuitos lineares o primeiro termo corresponde à f.e.m. de “transformação”, e o 
segundo termo a f.e.m. de “velocidade”. 
 
 
1.7 DIVERSAS DEFINIÇÕES DE INDUTÂNCIA 
 
 Já definimos anteriormente a “indutância própria” de uma bobina com núcleo de ferro, em 
função do comprimento “l” do núcleo, de sua seção S, e do número de espiras n (ver [35]). Esta 
definição não é a mais geral e, de fato, a definição precisa das indutâncias de um circuito não é 
simples: na teoria eletromagnética geral, podemos definir a indutância “mútua” de dois circuitos 
por meio da fórmula de Newmann. 
 
1.7.1 Fórmula de Newmann para indutância mútua 
 
 Seja o estudo da interação magnética de dois circuitos, C1 e C2, percorridos pelas correntes 
i1 e i2, em situação de influência mútua em um meio de permeabilidade  (figura 24), onde 
podemos demonstrar que os fluxos mútuos (i.e. envolve os dois circuitos), são proporcionais as 
correntes i1 e i2 (se  é constante): 
 
 




1C 2C
21
21m
r
dl.dl
i
4
 
 




2C 1C
12
12m
r
dl.dl
i
4
 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 21 
 
Figura 24. Fórmula de Neumann. 
 
 O coeficiente de proporcionalidade entre os fluxos mútuos e as correntes é denominado de 
“coeficiente de indutância mútua” (é possível ver que é o mesmo para os dois circuitos). 
 




1C 2C
21
r
dl.dl
4
M[1-40] 
 Se quisermos definir agora, a partir da fórmula [40], a influência que um circuito exerce 
sobre ele mesmo, como sua “indutância própria”, vê-se que está introduzida uma dificuldade. De 
fato, a distância r do denominador, no caso de somente um circuito, pode tender para zero nas 
proximidades do circuito, o que equivalerá a uma indeterminação. 
 Assim, é necessário definir a “indutância própria”, de modo geral, como a média do , 
supondo que este é conhecido. 
 
1.7.2 Indutância de fuga e indutância de magnetização 
 
 Chamando  o fluxo produzido por um circuito percorrido por uma corrente i, composto 
por n espiras, podemos definir a “indutância própria” L pela relação: 
i
nL


 [1-41] 
 A dificuldade aqui provém do fato que  não é sempre perfeitamente definido. 
 Se considerarmos, por exemplo, o fluxo de uma bobina no interior de um material 
ferromagnético (figura 1.25), uma parte deste fluxo, representado por f, flui no ar, e resta 
somente uma parte útil m =  - f dentro do núcleo. 
 
 
 
Figura 1.25. Fluxo de fuga. 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 22 
 Da mesma forma, se considerarmos uma bobina imersa no ar, tal como na figura 1.26, na 
qual as espiras interiores são menores que as espiras mais externas, uma fração do fluxo 
produzido pelas espiras exteriores não atravessa as espiras interiores. 
 
 
Figura 1.26. Bobina no ar. 
 
 Isto leva a definir duas outras indutâncias, fazendo intervir os fluxos de fuga f e de 
magnetização m: 
 










i
nTãomagnetizaçdeindutância
i
nlfugadeindutância
m
f
 [1-42] 
 Vamos admitir por comodidade, que os fluxos f e m são proporcionais as correntes. 
 A indutância “própria” é dada pela soma da indutância de “fuga” e a indutância de 
“magnetização”. 
L = l + T [1-43] 
 É possível ainda, definir o “coeficiente de fuga” da bobina, K, como a razão entre o fluxo 
“útil” ou de “magnetização”, m, e o fluxo “total”  = f + m: 
L
T
K
mf
m 



 [1-44] 
 O coeficiente é, portanto, menor que 1, sendo determinado de forma empírica. 
 
1.7.3 Indutância “dinâmica” 
 
 Quando tratamos com materiais não lineares, como os materiais ferromagnéticos, o fluxo 
produzido no núcleo não é mais diretamente proporcional a corrente: a partir de certo valor de 
corrente de excitação i, o fluxo quase não aumenta: dizemos que o núcleo “saturou”. 
 Sobre a curva representando as variações do fluxo n

 em função de i (figura 27), que 
possui o mesmo comportamento da curva B(H) da figura 1.11, vemos que a indutância, tal como 
definida na equação [1-41], não pode mais ser considerada como uma constante; com rigor, 
devemos definir a “indutância dinâmica”, na sua forma diferencial: 
 
di
d
nLdin


 [1-45] 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 23 
 Assim, para um circuito polarizado em corrente contínua, e excitado por uma pequena 
corrente alternada superposta, a indutância dinâmica é igual a inclinação da curva n (i) em cada 
ponto, apresentando as variações apresentadas na curva da figura 1.27. 
 
 
Figura 1.27. Indutância “dinâmica”. 
 
1.8 RELUTÂNCIA DE UM CIRCUITO MAGNÉTICO 
 
 No interior de núcleos de circuitos magnéticos, é cômodo expressar a lei de Ampère sobre 
uma forma onde intervêem o fluxo. 
 Considere (Figura 1.28) um núcleo de seção variável excitado por uma bobina. Ao longo 
de uma linha de indução , o teorema de Ampère se escreve: 
indl.H 
 
 Substituindo-se nessa relação à indução B = H, e o fluxo  = BS, se obtêm: 
in
S
dl



 
 Se admitirmos o fluxo conservativo no interior do núcleo, podemos deixá-lo fora do sinal 

, e escrevemos a seguinte relação: 
ni
 [1-46] 
onde: 
 

S
dl
 [1-47] 
 A relação [46] é outra forma do teorema de Ampère, conhecida como “Lei do circuito 
magnético”, e a relação [1-47] exprimi a definição da “relutância” do circuito magnético: esta é 
uma quantidade característica da geometria do núcleo (comprimento l e seção S) e de sua aptidão 
para capturar um campo magnético (permeabilidade ). 
 Nos casos de geometria simples a relutância se calcula usando a relação [1-47]. Nos outros 
casos, decompõe-se o núcleo em tantas partes quanto necessário, de acordo com as variações de 
sua superfície S ao longo das diversas linhas de indução. 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 24 
 
Figura 1.28. Definição de relutância. 
 
 
Exemplo 1: Indutância própria de um núcleo em função de sua relutância. 
 
 Se considerarmos um núcleo de seção constante (figura 1.19), sua relutância vale: 
S
l


 
 
e sua indutância própria pode ser definida em função de sua relutância e do quadrado do número 
de espiras, conforme [1-35]: 


2n
L
 [1-48] 
 
1.9 ENERGIA MAGNÉTICA ARMAZENADA: O CONCEITO DE COENERGIA 
 
1.9.1 Definições 
 
 Considere um pequeno elemento de volume d no espaço, de permeabilidade , onde há 
um campo magnético H (figura 1.29). As considerações das equações de Maxwell mostram que 
está armazenada no interior deste elemento de volume d uma energia magnética, dW. 
 A “energia por unidade de volume” (ou a densidade de energia) vale, por definição: 



H.B
2
1
d
dW [1-49] 
 Esta quantidade é um número (produto escalar entre dois vetores) medido, no sistema 
internacional, em J/m
3
. 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 25 
 
Figura 1.29. Definição de energia. 
 
 No vácuo, esta energia magnética aparece no interior de “ondas eletromagnéticas”, 
associadas à energia elétrica 
E.D
2
1 . 
 Nos materiais ferromagnéticos, de grande permeabilidade, a energia magnética está 
armazenada de maneira condensada, e pode ser encontrada sobre a forma mecânica, térmica ou 
elétrica, dentro de certas condições. 
 
 Quando a permeabilidade do material é constante, isto é, praticamente na zona linear da 
curva B(H) (ver figura 1.30), os vetores B e H são paralelos, e podemos expressar a “densidade 
de energia” sob uma ou outra das seguintes formas: 

2
2
2
1
2
1
2
1 B
HBH
d
dW

 [1-50] 
 
O H
B
M
H [A/m]
B [T]

 
Figura 1.30. Curva de magnetização B(H) e densidade de energia. 
 
 Sobre a “curva de magnetização” B(H), a densidade de energia correspondente a um 
estado magnético representado pelo ponto M, aparece como a superfície do triângulo OMB (igual 
à 

2
2
1 B
), e ele é igual à superfície do triângulo OMH (igual à 
2
2
1
H
). 
 
 
 
 
 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 26 
1.9.2 Diversas expressões da energia armazenada 
 
 No estudo das máquinas, consideramos geralmente que o “espaço” está limitado ao 
material ferromagnético constituído de carcaça e seus “entreferros”. Podemos então, definir 
diretamente a energia armazenada neste espaço, de dimensões geralmente conhecidas. 
 Considere, por exemplo, uma bobina enroladas sobre um núcleo ferromagnético de 
volume V = S l (Figura 1.31). 
 
 
 
Figura 1.31. Toróide ferromagnético. 
 
 A energia armazenada vale, da expressão [50]: 
 
lSHBW
2
1

 
 
 Ao utilizar o fluxo  no interior do toróide ( = BS) e a força magnetomotriz F = ni da 
bobina (relacionado com um campo por H l = ni = F), podemos expressar a energia armazenada 
pela seguinte relação: 
F
2
1
W [1-51] 
 O estado magnético do núcleo pode ser representado sobre a curva  (F) (figura 1.32), que 
é idêntica, mudando as escalas dos seus eixos, à curva de magnetização B(H). Sobre esta curva, a 
energia correspondente a um ponto M é igual à superfície do triângulo OM. De acordo com a 
relação [1-46], a inclinação da curva OM é igual ao inverso da relutância, que denominamos de 
“permeância”: 
F
1 



 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.32. Curva de magnetização (F) e energia. 
 
O F
M
F

]Wb[

Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 27 
 Podemos assim, exprimir a energia sob uma das seguintes formas: 
22 F
2
1
2
1
W 
 [1-52] 
 É às vezes, mais cômodo introduzir a “indutância” 
ii
nL




. 
 Representamos então, a curva de magnetização de uma terceira forma (i) (figura 1.33), de 
maneira idêntica, mudando as escalas de seus eixos, as curvas B(H) e (F), na qual a inclinação 
representa a indutância L do núcleo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.33. Curva de magnetização (i) e energia. 
 
 A energia armazenada no núcleo pode ser escrita como: 
2Li
2
1
i
2
1
W 
 [1-53] 
 Do ponto de vista da energia armazenada, toda a energia elétrica da fonte de corrente é 
transferida sob a forma magnética para o interior do toróide ao desprezarmos a resistência da 
bobina. 
 De fato, quando a corrente varia de 0 a i, a energia armazenada fornecida pela fonte vale: 
 
2i
0
t
0
t
0
iL
2
1
diiLdtiedtivW  
 
 Se circularmos pela bobina uma corrente contínua i, o ponto representativo do estado 
magnético do toróide se fixará em M, e se terá gasto a energia hachurada na figura para obter este 
estado magnético. 
 Se circularmos uma corrente alternada na bobina, o ponto representativo do estado 
magnético do toróide variará sobre a curva de magnetização segundo as variações de corrente 
(como veremos ao falar de histerese). 
 
1.9.3 Materiais de permeabilidade magnética variável: coenergia e energia total 
 
 No caso dos materiais de permeabilidade variável, isto é, praticamente para os materiais 
ferromagnéticos na vizinhança da saturação, os vetores B e H não são mais paralelos, e assim, 
temos que definir a energia de modo diferente. 
 A densidade de energia elementar vale, para uma variação elementar dB de indução que 
sai do campo constante H: 
O i
M
i (A)

 n
L
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 28 
dBH
d
dW
d 






 [1-54] 
ou então, para uma variação elementar dH do campo que sai da indução B constante: 
dHB
d
dW
d 






 [1-55] 
 Podemos ver que a integral das relações [1-54] e [1-55] conduz a dois diferentes 
resultados, uma vez que a relação B(H) é suposta qualquer. 
 A quantidade 







B
0
dBHtetanconsHà
W
 [1-56] 
é denominada de densidade de “energia”. 
 A quantidade 







H
0
dHBtetanconsBà
W
 [1-57] 
é chamada de densidade de “coenergia” associada. 
 
 Se representarmos o estado de magnetização de um núcleo por sua curva de magnetização 
sobre a forma (F) (figura 1.34), sua energia será definida por: 


 f
0
dFW
 [1-58] 
e sua coenergia será definida por: 
  f
F
0
dF'W
 [1-59] 
 
F

f
fF
M
energia - W
coenergia - W'
0
 
 
Figura 1.34. Energia e coenergia. 
 
 Podemos ver que, o estado de magnetização de um material é, de fato, representado pela 
soma dessas duas quantidades (todo o retângulo OfMFf hachurado sobre a figura), que 
chamamos de “energia total”. 
 
F'WWWTOT 
 [1-60] 
Conversão de Energia I – Parte I 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 29 
 A energia total é uma “função de estado” do material, dependente de duas “variáveis de 
estado”  e F (ou B e H). No caso de um material linear ela é igual ao “dobro” da energia no 
sentido clássico (de fato, neste caso, energia e coenergia são iguais). 
 Se representarmos o estado magnético do núcleo por sua curva (i), se pode usar as 
fórmulas seguintes: 
 






 
 

i'WWWtotalenergia
di'Wcoenergia
diWenergia
TOT
i
0
0 [1-61]